单因素方差分析的计算步骤

一、 单因素方差分析的计算步骤

假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。结果如下表3.1： 表3.1单因素方差分析数据结构表

为了考察因素

A 对实验结果是否有显着性影响，

我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可

设()m j n i a N x j ij

,2,1;,2,1,,~2==σ。

可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。因此检验因素A 的各

水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：

μ====m a a a H 210:或者

具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值 令j x 表示第

j 种水平的样本均值，

式中，ij x 是第

j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数

（二）计算离差平方和

在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。

首先，总离差平方和，用SST 代表，则， 其中,n

x

x ij

∑∑=

它反映了离差平方和的总体情况。

其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：

其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。

最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：

用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。

根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：

在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有， 即SSA SSE SST

+=

（三）计算平均平方

用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST 来说，其自由度为1-n ，因为它只有一个约束条件，即

0)(=-∑∑x x

ij

。对SSA 来说，其自由度是1-m ，这里m 表

示水平的个数，SSA 反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：

对SSE 来说，其自由度为m n -，因为对每一种水平而言，其观察值个数为j n ，该水平下的自由度为1-j n ，总共有m 个水平，因此拥有自由度的个数为m n n m j -=-)1(。

与离差平方和一样，SSE SSA SST ,,之间的自由度也存在着关系，即 这样对SSA ，其平均平方MSA 为： 对于SSE ，平均平方MSE 为： （四）方差分析表

由F 分布知，F 值的计算公式为：

为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：

表3.2方差分析表

（五）作出统计判断

对于给定的显着性水平α，由F 分布表查出自由度为),1(m n m --的临界值αF ，如果

αF F >，则拒绝原假设，说明因素对指标起显着影响；如果αF F ≤，则接受原假设，说

明因素的不同水平对试验结果影响不显着。