量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)

量子力学讲义

一、量子力学是什么？

量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。

研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架

1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性：

光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。

2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h

p λ

=

de Broglie 关系（对粒子）： E

=ω， p

k =

总之，),(),(k p E

ω?

3.（派生出的）三大基本特征：

几率幅描述 ——(,)r t ψ

量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2

≥

???p x

4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设

(1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设

(3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A

r A

)(?)(*

ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用

四、课程教学的基本要求

教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社

参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社

第一章 绪论

§1.1 辐射的微粒性

1.黑体辐射

所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即

)T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。

辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E

)T ,(E ν的单位为2

/米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为

)T ,(u 4

c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米

焦耳3

）

吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领

)T ,(f )T ,(E ν=ν

就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。

????λ

λ

ν=λλλν=λλ

νν=ννd c )T ,(E d d c

d

)

T ,(E d d d )

T ,(E d )T ,(E 2

)T ,(E c

)T ,(E 2

νν

=

λ (秒米焦耳?3

)

A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领

T ,(E λ与λ的变化关系在理论上，

① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领

h 32

e

c

h 2)T ,(E ν-νπ=

ν

??

?=π=k

h c c h 2c 22

1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123

焦耳-?）

② 瑞利―金斯（Rayleigh-Jeans ）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领

kT c

2)T ,(E 22

πν=

ν

)T ,(u ν仅当频率足够低，温度足够高时（

1

10

)

s K (10

T

-?<<ν ）符合实验（即ν>>h kT ）。而在ν很

高，即λ很小时，发生无穷，这即紫外灾难。而维恩在低波符合，高波不符。所以，这两个公式并不

完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。

B ．斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law ） 他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4

T 成正比

4

T d )T ,(E ?=σνν

（事实上，2

4

8

2

345

m s K 10

67.5c

h 15k 2???==-

焦耳

πσ）显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这样

的结果。

C ．Wein 位移定律

维恩发现，对于一确定的0T ，相应地有一波长0λ，使)T (E 00λ达极大，而常数=λ00T 。即 米??==λ=λ=λ-K 10

2898.0T T T 2221100

这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯公式给出回答。总之，在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失败了。

2.固体低温比热：

根据经典理论，如一分子有n 个原子，则一克分子固体有n 3No 个自由度（No 为Avogadro's number ，阿伏伽法罗数，克分子23

10

022.6?）所以，固体定容比热：

nR 3nNok 3C v == （为气体常数K 314.8R

克分子焦耳=）

称为能均分定律（Dulog –Relit 经验规律）。实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，是以0T 3

→，因而理论与实验结果不符合。

如何解决这些问题呢？

普朗克（Planck ）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量νnh 显示，即能量模式是不连续的。

ω=ν n nh ,2,1,0n =

（秒焦耳??=-34

10

626.6h ，秒焦耳??=-34100545.1 ） ）

辐射的平均能量可如此计算得： 经典的能量分布几率 dE E E +- ?∞

--0kT

E kT

E dE e

dE e

（玻尔兹曼几率分布）

所以对于连续分布的辐射平均能量为 ??∞--∞=

0kT

E kT

E 0dE e

dE e

E E ??∞-∞-∞---=0

kT

E 0

kT

E 0

kT

E dE e

)dE e

e

E (kT

kT =

而对于Planck 假设的能量分布几率，则为

∑∞

=--0

n kT

nh kT

nh e

e

νν

∴ ∑∑∞

=--∞

==

0n kT

nh kT

nh 0

n e

e

nh E ννν

∑∑∞

=-∞

=--=0

n nx

n nx

e

e

dx d

h ν

1

x 1

x )

e

1()e

1(dx

d h -------=ν

)1e

(h kT

h -=νν

于是，用电动力学和统计力学导出的公式 kT c

2)T ,(E 2

2

νπν= （Rayleigh –Jeans ）

应改为

)1e

(c

h 2)T ,(E kT

h 2

3

-=

ννπν

这就是Planck 假设下的辐射本领，它与实验完全符合。

① 当νh kT << （高频区）

kT

h 2

3

e

c

h 2)T ,(E ννπν-→

（即Wein 公式 T

c 312e

c νν-）

当νh kT >> （低频区）

kT c

2)T ,(E 2

2

πνν=

（Rayleigh –Jeans ）

② Stefan-Boltznmann law

?νν=d )T ,(E )T (R

ν-νπ=

-ν?d )

1e

(c

h 21

h 32

dx )1e (x )h kT (c

h 21

x 342

--π=

? ∑?∞

=-π=

1n nx

33

2

4

dx e x h

c )kT (2 ∑

∞

=??π=

1n 4

4

3

2

4

n

1

6T h

c )kT (2

③ 维恩位移定律

)T ,(E c

)T ,(E 2

νν

=

λ

)1e

(c

h 2c

kT

h 2

3

2

-νπ?

ν

=

ν

)1e

(hc 2kT hc 5

2

-λ

π=

λ

0)1

e e

kT hc

11

51e

hc 2)

T ,('E kT hc kT hc 2

56kT hc 2

T 0=-λλ+λ--π=

λλλ

λ

（固定

从而有 5)e

1(kT hc kT hc =-λ

λ

-

?

m K 10

2898.0T 200??=λ-

④ 低温定容比热

由总辐射能量密度（3

米焦耳

）

)c

2(

T h

c 15k 4T

h

c 15k 8

d )T ,(E c

4d )T ,(u )T (W 3

4

3

3

454

3

345

π=

π=

λλ=λλ=?

?

(横波2所受)可推出固体中原子振动能为

)v

1v

2(

T h

c 15k 43L

3T

4

3

3

45+

π （即固体中声速）

所以，低温下，定容比热3

T ∝

这一公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离2倍，即

a 2v >ν

，a

2v <

ν∴），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能

时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。

3.光电效应：

光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：

A ．发射光电子的生成依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率min ν。

B ．当照射光的频率min ν>ν时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。

这从经典物理学基础去看是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。所以，经典理论与实验截然相反。

A. Einstein 假设一束单色光由辐射能量大小为νh 的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量νh 。电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功），所以飞出电子的动能

w h E k -ν= -w 功函数

电子吸引两个光量子的几率几乎为0，所以，要飞离金属，则至少0E k =

∴ w h m i n =ν， 即有一最低频率。而

)(h w h E m i n k ν-ν=-ν=

我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量E 除以频率ν为一常数

)h E 常数（=ν

而这一常数与ν，光强度，电子及金属材料无关。这一常数并不能由经典物理学中常数所给出。所以，ν=h E 是一个与经典物理学完全不相容的关系。

4.康普顿散射（Compton scattering ）

实验发现，单色x 射线与电子作用使电子发生散射，其散射x 射线的波长 )cos 1(A 'θ-=λ-λ

这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的

A. Einstein 认为x 射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量和动量，而

其能量和动量为

ν=h E ， n h n c

h n c

E P λ

=

ν=

=

假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有

e 2

e E 'h c m h =ν-+ν ① e P 'P P =- ②

①2

/c 2

-②2

2

2e 2e 2

2

e 2

22e 2

c m P c

E )'P P ()'h c m h (c

1=-=

--ν-+ν

2

2

22e 2

2e 2

2

2

22e 22

2

c

'h 2c

m

'P P 2'P P )'(h m 2c

'h c

m

c

h νν+

=?+--ν-ν+ν+

+ν

∴ θ-νν=

ν-νcos 'PP 'c

h )'(h m 2

2e

∴ )cos 1('

h

)'c c (

h m 2

e θ-λλ=

λ-

λ

即 )cos 1(c

m h

'e θ-=

λ-λ

c

m h e 称为电子的康普顿散射波长，它等于m 10

43.212

-?

所以，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中，我们可以得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系

ω=ν= h E k n h n c

h n c

E P =λ

=

ν=

= λ

π2k =

而秒焦耳??=-34

10626.6h ，秒焦耳??=-34

10054.1 。所以， 起着重要的作用， 很

小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连续→连续，辐射的微粒性消失。

§1.2 原子结构的稳定性

1.原子行星模型：

卢瑟福（Rutherford ）组用α粒子轰击原子发现，α粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个α粒子约有一个α粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。按照原子行星模型，原子中电子绕原子核运动，则电子在进行加速运动。因此会不断辐射能量（其功率为

3

2

2

c a

e 32，

即3

022c

6a

e dt

dE πε=

，a 为加速度）。从而应该发生原子坍塌（6

10

-秒），但事实上没有出现这现象，原子基态是出奇地稳定，没有辐射发现（因负电荷粒子加速）。

2.元素的线光谱

)m

1n

1(

eV 6.13h 2

2

)

m ,n (-

=ν

m n <（氢原子）

（类氢原子应为

a

8e

02

πε， 2

2

2

0z

e 4a μπε=

）为解释这些现象，N.Bohr （尼.玻尔）提出二点假设：

(1) 原子仅能稳定地处于与分立能量（ ,E ,E 21）相对应的一系列定态中，不辐射能量。 (2) 原子从一个定态到另一个定态时，也就是电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或

发射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差，其频率为

h )E E (n m -=ν

(3)为了确定电子的轨道，即定态相应的分立能量，玻尔提出了量子化条件，即电 子运动的角动量是量子化的。

n mvr = （ ,2,1n =） （圆形轨道）

后来，索末菲尔德（Sommerfeld ）推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件 ?=nh dq P i i （ ,2,1n =） i q —广义坐标，i P —广义动量。

例：考虑一电子绕电荷为Ze 的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。 解： r

4Ze

)r

P P (m

21H 02

2

2

2r

πε-

+

=

? 根据有心力下角动量守恒，

=?P 常数 （0H P =?

??=

?）

h n d P ??=?? ∴ ??=n P

由 r

4Ze

mr

2P m

2P E 02

2

22

r

πε-

+

=

?

∴ 2

102

2

2

r )

r

4m Z e

2r

P mE 2(P πε-

-

=?

∴ dr )

r 4mZe

2r

P mE 2(dr P 2

102

2

2

r πε-

-

=???

E

m 24Ze

P 20

2

-πεπ+π-=?

h n r = ∴

n )n n (E

m 22

4Ze

r 02

=+=-

?πε? （ ,2,1n =） 于是有

2

02

n an

8Ze

E πε-

= 2

2

0m Z e

4a πε-

=

旧量子理论虽然在解释氢原子和类氢原子上取得一定成功，但对多电子体系，半整数角动量等等无能为力，特别是人为假设（加速不辐射和量子化条件等）。因此，要求有崭新的基础来说明客观存在与经典物理学矛盾的事实。

§1.3 物质粒子的波动性

1.德布罗意假设（de Broglie 1923年）

它根据对辐射具有微粒性的研究而进一步推论，建议具有一定动量的粒子和一定波长的波相联系

P

h =

λ 即 k P = （λ

π=2k ）

称为德布罗意关系当然，能量与频率关系仍为

ω=ν= h E （称为Einstein 关系）

这两关系，把粒子的动力学变量与波的特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波长（波数）及一定的传播方向P P 。而我们知道，有一定频率和波长的波（并有一定的传播方向）是一平面波 )

t r k (i Ae

ω-? ?

)Et r P (i Ae

-? k P ?，ω? E

n 2k λ

π=

通常把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）而一般可计算得，物质微粒的波长10

10

-

氧原子尺度4.0≈? DNA 分子尺度4

10

-≈?,

电子波长1≈?。

因此，通常物质微粒不显示出波动性，而电子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。波长计算

2

0k c m E E +=

2

20k 42022)c m E (c m c P +=+

∴ 2

12

0k k )]

c m 2E (E [hc

P h +=

=

λ

2

12

0k k m )]

c m 2E (E [f MeV 3.1972+??π=

当电子 k 2

0E c m >>，则

)

eV (E 12k ≈λ电子?

2.物质粒子波动性的实验证据

A ． 戴维逊、革末（Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707）

当可变电子束（eV 60030-）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度φ方向有强的反射（即有较多电子波吸收），而φ满足

P h n sin a =φ

若P

h =

λ，则上式与Bragg 光栅衍射公式相同

（λ=φn sin a ），它证明了，电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长 P

h =

λ

这现象无法用粒子的图象来解释。

B . G ..P.Thomson 实验（1927年）（J.J.Thomson 1897年测定e

m e ）

电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反映

了电子的波动性（keV 4010-，所以波长06.04.0~-?，可穿透厚度为1000?的箔）。如象x 射线照到单晶 粉末压成的金箔上，满足λ=θn sin d 2一样，电子入射满足P h n sin d 2=θ，而产生衍射。（注意现在不是明暗相间，而是电子数多少。）

注意，这是小晶粒（金属箔）组成，所以晶面方向是无

规的，总有一些晶粒的面与入射电子夹角满足衍射条件λ=θn sin d 2，而又由于是无规的（因此，对绕入射束一周，

而又保持晶面与入射束的夹角不变的晶粒总是存在。）。所以，形成衍射环。

这一特点，不仅电子有，后来热中子试验都有，即物质粒子还有波动性，当然，经典物理学是无法解释的。

第2章

波函数和薛定谔方程

既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现：

a. 波－粒两象性

P （粒子） ν λ （波）

ω=ν= h E （Planck 假设）Einstein 关系

k P = （P

h =

λ，λ

π=

2k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系

∴ 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述

)Et r P (i )

t r k (i A

Ae

-?ω-?==ψ

b. 物理量取值不一定是连续的

辐射体辐射的能量取值 ν=nh E ,2,1,0n = 氢原子的能量

2

02

n 8n a e

E πε?-=

cm 10

529.0e

m 4a 8

2

e 2

00-?=πε=

由于平常粒子的波长10

10-<λ?，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子1≈λ?，因

此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。

将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因

经典粒子 经典波

√原子性（整体性） ?实在物理量的空间分布

?轨道 √干涉，衍射

这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。

§1 波函数的统计解释

一、波函数的引入

描述自由粒子可用平面波波函数)

(Et r p i

p

Ae -?=ψ

来描述。如果粒子处于随时间和位置变化的力场

中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波(,)r t ψ

完全描述。

二、波函数的解释

1、经典物理学中粒子与波的有关概念

经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;

2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典概念中波意味着：1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 2、对波粒二象性的两种错误的看法 (1). 波由粒子组成

波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。 (2). 粒子由波组成

电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 3、Born 波函数的统计解释几率波

波函数的统计解释（它是量子力学的基本原理）：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。

2

(,,)()x y z r ωψ∝

D-B 所提出的由波函数所描述的“物质波”是刻画粒子在空间几率分布的几率波。波函数Ψ(r )有时也称为几率幅。

五、波函数的物理意义

2

(,)(,)r t r t ψψ→→

几率分布→运动状态 波函数完全描写了微观粒子的运动状态（即波函数的物理意义） 经典概念和量子力学对粒子和波的理解：

??

?

????

?形式出现

只是以一种几率分布的无确定轨道定论微观粒子不遵循经典决沿确定轨道运动论经典认为遵循经典决定

不同点电荷等属性的客体

即是具有一定质量颗粒性共同点粒子性,,,:,,:

?

?

?

?????描述的只是一种几率波存在这样的物理量量子力学中的物质波不期性变化物理量的空间分布作周经典波是指某种实在的

不同点具有相干迭加性

遵循波动规律共同点波动性,:,:

六、波函数的特性：

2

*

()()()r r r ψψψ=

1、常数因子不定性： ()C r ψ 和()r ψ

描述同一种运动状态。

2、相位因子不定性： ()r ψ 与()i C r e α

ψ 描述同一种运动状态，e i α称为相因子。

七、波函数的归一化

1、几率和几率密度

设体系（即粒子）的状态波函数为(,,)x y z ψ，则在时刻t 、在dx x x +→，dy y y +→，

dz z z +→的体积元d dxdydz τ=内出现该粒子的几率为

2

()()dW r C r d ψτ=

（由波函数的统计解释可得） 式中，C 是比例常数，dxdydz d =τ。

以体积元τd 去除几率dW ，可得到在时刻t ，在),,(z y x 点附近单位体积内出现该粒子的几率，即几率密度为

2

()()/()r dW r d C r ωτψ==

在体积V 内，t 时刻找到粒子的几率为： V

W dW =?

V

d ωτ=

?

2

()V

C r d ψτ=?

2、平方可积

2

()r d ψτ∞

=?

有限值 平方可积

一维坐标系（设沿x 方向）的情况下： ?

?

∞

∞

∞-dx d ~

τ

三维直角坐标系的情况下： ??

?

?

∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

∞-dz dy dx d ~

τ

三维球坐标系的情况下：

?

?

?

?

∞

∞

π

π

?θ

θτ20

2

d d dr

r d sin ~

注意：自由粒子波函数()(,)i p r Et p r t Ae ψ?-=

不是平方可积

3、归一化波函数

若ψ(r , t)没有归一化，

2

()r d A ψτ∞

=?

（A 是大于零的常数）

则有

2

()1r d τ∞

=?

也就是说，(A )-1/2ψ (x ,y ,z )是归一化的波函数，与ψ (x ,y ,z )描写同一几率波，(A )-1/2称为归一化因子。

波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化。 令12

(,,)(,,,)x y z A

x y z t φψ-=，由波函数的特性可知，φ(x ,y ,z )和ψ (x ,y ,z )均描述同一状态，但是

归一化波函数φ(x ,y ,z )有如下两个特点：

① 2

(,,,)(,,)x y z t x y z ωφ= 求几率密度 ②

2

(,,)1x y z d φτ∞

=?

(1) 波函数归一化条件

并不是所有的波函数可按(1)式进行归一化，这种归一化条件要求波函数平方可积的，即2

d φτ

∞

?为有限。

以后,为表述简便,引进符号 *

()

(,)d ψψψψτ≡

?

全2

()

d ψ

τ=

?

全

归一化条件就可以简单表示为(,)1ψψ= 八、平面波归一化 1、δ 函数

定义：0

00

0()x x x x x x δ?≠?-=?∞=??

0000()()1x x x x dx x x dx εε

δδ+∞--∞

-=

-=?

?

(0)ε>

或等价的表示：对于x=x 0领域连续的任何函数f (x )有： 00()()()f x x x dx f x δ∞-∞

-=?

δ函数亦可写成Fourier 积分形式：

0()

01()2ik x x x x dke

δπ

∞--∞

-=?

令x p k =

，x dp dk =

, 则

0()

01

()2x i

p x x x x x e dp δπ∞--∞

-=

?

作变换：x p x ?，0x

p x '? ()1()2x x

i

p p x x x

p p e

dx δπ'∞--∞

'-=?

δ函数性质：

()()x x δδ-= 1()()ax x a

δδ=

000()()()()f x x x f x x x δδ-=-

2、平面波归一化

()(,)i p r Et p r t Ae ψ?-= ()i

Et

p r e φ-= 其中φ()p

r φ

表示t =0时的平面波。 写成分量形式 ()i p r p r Ae φ?=

()()()x y z p p p x y z φφφ=123x y z i i i

p x p y p z A e A e A e =

考虑一维积分 ()*

*

(,)(,)()()x x x x

x x

i

E E t

p p p p x t x t dx e

x x dx ψ

ψ

φφ''

'

∞

∞--∞

-∞

=??

2

2

(

)*

22()()x x

x x

p p i

t

p p e

x x dx μ

μ

φφ'

'

-

∞-∞=?

()*21

()()x x x x i

p p x

p p x x dx A

e dx φ

φ''

∞∞--∞

-∞

=?

?

2

12()x x A p p πδ'=- ()x x

p p δ'=- 因为()1

()2x x

i

p p x x x

p p e dx δπ'∞--∞

'-=?

若取2

121A π=

，则1A =

()x x

i

p x

p x φ=

*

(,)(,)x x

p p x t x t dx ψ

ψ

'

∞-∞

?

2

2

()*22()()x x

x x p p i

t

p p e

x x dx μ

μ

φ

φ'

'

-

∞-∞

=?

2

2

(

)22()()x x

p p i

t

x x x x

e

p p p p μ

μ

δδ'

-

''=-=- 因为000()()()()f x x x f x x x δδ-=-

平面波可归一化为()x x

p p δ'-函数 三维情况：*

()()()()()p p x x y y z z

r r d p p p p p p φφτδδδ∞'-∞

'''=---? ()p p δ'=- ()**

(,)(,)()()i

E E t p p p p r t r t d e r r d ψ

ψτφφτ'∞

∞-'

'-∞

-∞

=??

()()i

E E t

e

p p δ'-'=-

()p p δ'=-

1233

2

1

(2)A A A A π==

()

(,)()i

i

p r Et Et p

p r t r e ψφ?--==

其中()i p r p

r φ?=

例1设粒子的波函数为),,(z y x ψ，求

(1)、在),(dx x x +范围内找到粒子的几率：dx dz z y x dy ???∞

∞

-∞

∞

-2

),,(ψ；

(2)、在),(21y y 范围内找到粒子的几率：???∞

∞

-∞

∞

-dz z y x dy dx y y 2

),,(2

1

ψ；

(3)、在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率：???∞

∞

-2

1

2

1

2

),,(z z x x dz z y x dy dx ψ。

§2 量子态叠加原理

一、经典波的叠加原理

如果1φ和2φ是两个可能的波动过程，那么它们的线性叠加 21φφφb a += （b a ,都是常数） 也是一个可能的波动过程。

二、经典统计几率相加的原则

在经典统计中满足的几率相加原则是：互相排斥事件之任何一件发生的几率等于每个事件单独发生的几率之和。这里不存在相干迭加，没有出现干涉现象，它充分体现了经典物理中粒子与波这两个