周世勋量子力学教案

一. 算符

算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用

表示一算符。

二．力学量算符

1.坐标的算符就是坐标本身：

2.动量算符：

, ,

3.动能算符

4.哈密顿算符：

5.角动量算符：

如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将

换成算符得出

算符和它所表示的力学量的关系？

一线性算符

满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符

保持波函数不改变的算符

三算符之和

加法交换律

加法结合律

两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积

定义: 算符与的积为

注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符

设能唯一解出，则定义的逆算符为：

注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，

六算符的复共轭，转置，厄密共轭

1．两个任意波函数与的标积

2．复共轭算符

算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量

3．转置算符

定义: 算符的转置算符满足：

即：

4．厄密共轭算符

算符的厄密共轭算符定义为

即

算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符

5.厄密算符

厄密算符是满足下列关系的算符

注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符

例：证明是厄密算符

证：

为厄密算符，为厄密算符

第三节力学量算符的本征值与本征函数

一厄密算符的本征值与与本征函数

设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为

如为厄密算符，也是厄密算符

存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下

称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。

二力学量算符的性质

1.力学量算符是厄密算符

量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。

厄密算符的本征值必为实数

证：设

为厄密算符

取

是实数

表示力学量的算符为厄密算符

2．力学量算符为线性算符

态叠加原理决定了力学量算符为线性算符

【证】：设

也应是体系的态

即

为线性算符

三厄密算符本征函数的性质

1正交性

厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。

如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行,则称与相互正交。

[证]: 已知为实数

由厄密算符性质

这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的

对归一化的本征函数

分离谱

连续谱

这样的本征函数构成正交归一系.

2.完备性

设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数

可按展开

本征函数的这种性质称为完备性

与x无关,利用的正交归一性,将等式两边，对x在整个区域积分

即:

如总归一化

讨论:

当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量

值必是

当不是的本征函数时, 可按本征函数展开,

测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为

波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态

量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它

们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符

的本征值之一,测得的几率是

四力学量算符的平均值.

对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开

是归一化的

出现本征值的几率为,则按由几率求平均值的法则

上式可改写为

是归一化的[证明]

如未归一化：

如本征值是连续谱

定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数

[证明]

逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符

例1:设为厄密算符, 则

[证明]

第四节几种典型力学量算符的本征函数

一.坐标算符

即为坐标算符本征值为的本征函数。

二.动量算符

动量算符的本征值方程

，，

它们的解

如何确定归一化系数C

这是由于本征值可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样

的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化函数

取, 归一化为函数

归一化的动量本征函数为

箱归一化:

如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值

，，

同理：，，为正负整数或零。

本征值谱由分离变为连续.

加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为。

归一化波函数为

三.角动量算符

，，

用球坐标表示：，，

可以看出角动量算符只与有关

1.的本征函数

，

解出

应满足边界条件

exp =1 ，

归一化后，

是的本征值为的归一化本征函数。

2．角动量的共同本征态：球谐函数

的共同本征函数为球谐函数：

轨道角量子数

磁量子数

具体表达式：

是正交归一的：

对应于的一个本征值有个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函

数的情况称为简并。的本征值是度简并。

第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系

一.量子力学的基本对易关系

记

1.坐标与动量算符的对易关系

为任意波函数,所以

同理

概括起来

2.角动量算符的对易关系式

同理可证

常用的对易关系式

二.共同本征态

如两算符, 满足. 称对易

定理: 如果两算符有一组共同本征函数，而且组成完全系，则对易

[证]

设是任一波函数

＝

逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数

上述定理可推广到两个以上情况。

它们的共同本征函数完全集是

相互对易，它们有共同本征函数

要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对

易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角

动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。

三．测不准原理

设两算符对易关系为

令

考虑积分

是实参数

都是厄密算符

不等式成立的条件是

对坐标和动量

例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能

【解】振子的平均能量是

和不能同时为零最小值不能为零

为求最小值，测不准关系取等号

得出的最小值，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。

第六节电子在库仑场中的运动氢原子

一．电子在库仑场中的运动

核（Ze），核外电子(-e)氢原子 Z=1

类氢原子 Z>1

势能

薛定谔方程

分离变量法

径向方程的解

与角度部分有关的解

n主量子数

轨道角动量量子数

m磁量子数

可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量有

个波函数

电子第个能级是度简并的。

二．氢原子

对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题

薛定谔方程

相对坐标

质心坐标

第22章量子力学基础教案

第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，

会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意

义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的

量子力学答案完整版周世勋第三版

找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

《无机化学》电子教案

第 1 章原子结构与元素周期系 [ 教学要求] 1 ．掌握近代理论在解决核外电子运动状态问题上的重要结论：电子云概念，四个量子数的意义，s 、p 、d 原子轨道和电子云分布的图象。 2 ．了解屏蔽效应和钻穿效应对多电子原子能级的影响，熟练掌握核外电子的排布。 3 ．从原子结构与元素周期系的关系，了解元素某些性质的周期性。 [ 教学重点] 1 ．量子力学对核外电子运动状态的描述。 2 ．基态原子电子组态的构造原理。 3 ．元素的位置、结构、性质之间的关系。 [ 教学难点] 1 ．核外电子的运动状态。 2 ．元素原子的价电子构型。 [ 教学时数] 8 学时 [ 教学内容] 1 ．核外电子运动的特殊性：核外电子运动的量子化特征（氢原子光谱和玻尔理论）。核外电子运动的波粒二象性（德布罗衣的预言，电子的衍射试验，测不准关系）。 2 ．核外电子运动状态的描述：波函数、电子云及其图象表示（径向与角度分布图）。波函数、原子轨道和电子云的区别与联系。四个量子数（主量子数n ，角量子数l ，磁量子数m ，自旋量子数ms ）。 3 ．核外电子排布和元素周期表；多电子原子的能级（屏蔽效应，钻穿效应，近似能级图，原子能级与原子序数关系图）。核外电子排布原理和电子排布（能量最低原理，保里原理，洪特规则）。原子结构与元素周期性的关系（元素性质呈周期性的原因，电子层结构和周期的划分，电子层结构和族的划分，电子层结构和元素的分区）。 4 ．元素某些性质的周期性，原子半径，电离势，电子亲和势，电负性。 1-1 道尔顿原子论古代自然哲学家对物质之源的臆测：本原论（元素论）和微粒论（原子论）古希腊哲学家德谟克利特（Democritus, 约460—370 B C ）：宇宙由虚空和原子构成，每一种物质由一种原子构成。波意耳：第一次给出了化学元素的操作性定义---- 化学元素是用物理方法不能再分解的最基本的物质组分，化学相互作用是通过最小微粒进行的，一切元素都是由这样的最小微粒组成的。 1732 年，尤拉（Leonhard Euler, 1707—1783 ）：自然界存在多少种原子，就存在多少种元素。 1785 年，法国化学家拉瓦锡（Antoine L. Lavoisier 1743—1794 ）：提出了质量守衡定律：化学反应发生了物质组成的变化，但反应前后物质的总质量不变。 1797 年，里希特（J. B. Richter 1762—1807 ）：发现了当量定律。 1799 年，法国化学家普鲁斯特（Joseph L. Proust 1754—1826 ）：发现定比定律：来源不同的同一种物质中元素的组成是不变的。 1805 年，英国科学家道尔顿（John Dalton 1766—1844 ）：把元素和原子两个概念真正联系在一起，创立了化学原子论：每一种化学元素有一种原子；同种原子质量相同，不同种原子质量不同；原子不可再分；一种不会转变为另一种原子；化学反应只是改变了原子的结合方式，使反应前的物质变成反应后的物质。

《量子力学》课程教学大纲

《量子力学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4 （二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。（四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排第一章微观粒子状态的描述第一节光的波粒二象性第二节原子结构的玻尔理论第三节微观粒子的波粒二象性第四节量子力学的第一公设：波函数（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时（二）内容及基本要求主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射

电子教案(6)

第六章原子结构与周期系 6.1 引言 6.1.1 物质结构的研究对象物质结构主要是研究物质（原子、分子、晶体等）的组成、结构和性能。这里所说的结构，既包括物质的“几何结构”（如分子中原子，晶体中粒子的结合排布方式等），也包括物质的电子结构（如原子的电子层结构，分子、固体中的化学键，以及分子间作用力等）。物质结构知识的理论基础是量子力学（研究微观粒子运动规律的科学）。实验基础是合成化学和结构化学等，它们提供了大量实验事实，需要理论解释，从而推动了理论化学的发展。物质结构知识是化学三大重要理论之一。 6.1.2学习目的 1．了解化学反应的本质例1．汽车尾气的治理。例2．反应H 2 + I 2 = 2HI 的速率方程为v=kc （H 2）c （I 2），是二级反应。在1967年前，人们一致认为这是一个二级基元反应。但是1967年人们通过实验发现这是一个复杂反应，如果用分子轨道理论中的前线轨道理论，很容易得到解决。例3．“相似互溶原理” 从热力学观点来看，溶解过程的ΔS>0，而一般情况下ΔH>0（即吸热），而根据ΔG=ΔH-T ΔS ，要使ΔG<0，则 H ?应尽量小。为什么结构相似H ?就小呢？ 2．发现、制取符合人类一定需要的物质例4．“硬质合金” 硬质合金广泛应用于火箭材料、高速切削材料、以及高级磨料等。一般是由IV 、V 、VI 副族金属元素，加少量C 、N 、B 等元素制成。为什么？例5．金属表面扩渗稀土元素按过去金相学的观点，稀土原子的半径较大，不能扩散进入金属表面层。但实验结果确实进入了，这又为什么？例6．C 60的发现例7．活性炭泽林斯基认为：棉花和泥土有吸收气体的能力，是因为暴露在固体表面的固体分子只受到内层及左右两旁分子的吸引，吸引力没有完全抵消掉。如右示意图所示←·→ ，表面分子受到一个指向固体内部的作用力，即还有剩余吸引力可以吸引来到它近旁的气体分子。 ↓ 于是，泽林斯基得出结论：完全用不着为每一种毒气去找它们的防御品。只要能选择一种比棉花或泥土有更大的比表面的固体，就能够对付所有的毒气了。泽林斯基为了加强木炭吸附化学物质的能力，经过不断的研究，终于在1917年得到了一种特殊物质——“活性炭”。制成的活性炭，具有质轻、疏松、多孔等特点。每一克就有几百平方米的比表面积。因为吸附气体的能力特别强，当然防毒效果也就更好了。 3．对化学发展起重要作用第一次革命性飞跃发生在1804年，道尔顿提出了原子论（即一切物质都是由原子组成的）。它合理地解释了当时许多化学现象和规律。标志着近代化学的开始。因此，道尔顿被

量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)

量子力学讲义

一、量子力学是什么？量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性：光原本是波 ——现在发现它有粒子性；电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征：几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设三、作用四、课程教学的基本要求教材：《量子力学教程》周世勋，高等教育出版社参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿，复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言，科学出版社

第一章绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米焦耳3 ）吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?）

量子力学简明教程

量子力学教案主讲周宙安《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材：周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.360docs.net/doc/c810931254.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）

第一章绪论量子力学的研究对象：量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难一、经典物理学是“最终理论”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：机械运动（v<

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 λνc =，（2） ||λνρρλd d v =，（3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：如果令x=kT hc λ ，则上述方程为这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x 以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =，因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ，电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.

量子力学教程(周世勋)课后答案详解-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 λνc =，（2） ||λνρρλd d v =，（3）有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学教学大纲

《量子力学》课程教学大纲课程代码：090631011 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：光电信息科学与工程专业大纲编写（修订）时间：2017.10 一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标量子力学是近代物理的两大科学之一，是描述微观运动世界的基本理论，是近代光学技术的重要基础，是光信息科学与工程专业一门重要的专业必修基础课。本课程主要讲授量子力学的基本概念，基本原理和数学方法。为后续的专业课程学习打下夯实的量子力学基础。通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握量子理论的物理图像，基本概念； 2.获得描述微观物理规律的理论工具--量子力学的基本原理和框架结构，能用这些原理解决常见的，简单的微观物理现象； 3.加深对现代科学理论的形式、特点的认识，提高科学方法论水平； 4.了解量子力学有关的科学发展。（二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握量子力学的基本原理和总的理论框架 2.基本理论和方法：掌握用波函数描述微观粒子的状态，用算符描述相应的力学量，以及波函数的演化规律——薛定谔方程。会解简单的一维定态薛定谔方程。掌握用矩阵描述态和算符的方法。掌握简并和非简并的微扰理论，以及含时微扰理论，能用含时微扰理论解释原子的跃迁和发光。掌握电子自旋的基本理论，全同粒子的特性及其描述方法。 3.基本技能: 利用数学手段解决具体物理问题的能力。（三）实施说明 1.大纲中的重点内容是学习量子力学基本理论所必需掌握的内容，教学中如果学生接受的较好，可适当增加一些在实际中有很广泛应用的问题作为重点内容。 2.教学方法，课堂讲授中要重点对基本概念、基本原理和基本方法进行讲解；要站在学生的角度进行讲解，以使学生能较自然的接受以前没有接触到的新的概念，新的理论框架和思想方法。并在讲解中使学生深入理解现代科学理论的建立过程，反过来促进学生对所学内容的理解和掌握。 3.教学手段，本课程属于理论课，在教学中对基本原理，基本方法的讲解主要采用板书形式；对于具体应用并且数学推导较繁琐的问题可采用课件形式，既能使学生看清解题的思路、过程、特点，又能节省时间。（四）对先修课的要求本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程的先修课程是《线性代数》，《数学物理方法》，《原子物理》（五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：一维问题的计算，力学量平均值和幺正变换的计算，微扰问题的计

量子力学答案-周世勋

第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =???? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ

量子力学周世勋习题解答第四章

第四章习题解答 4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。解：? ??'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r p i p p x )??()21()(3 ? ??'--=τπd e zp yp e r p i y z r p i )()21(3 ???'-??-??-=τπd e p p p p i e r p i z y y z r p i ))(()21(3 ? ?'-??-??-=τπd e p p p p i r p p i z y y z ）（3)21)()(( )()(p p p p p p i y z z y '-?? -??= δ ?''=τψψd L x L p x p p p x 2 *2)()( ? ??'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i 23)??()21( ???'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r p i )??)(??()21(3 ?''-??-??-=τπd e p p p p i p z p y e r p i y z z y y z r p i ))()(??()21(3 ???'--??-??=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r p i y z z y )??()21)()((3 ??'-??-??-=τπd e p p p p r p p i y z z y ）（322 )21()( )()(22p p p p p p y z z y '-??-??-= δ # 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：x a n a x u n π sin 2)(= 能量：2 2 222a n E n μπ = 对角元：2sin 202 a xdx a m x a x a mm ==?π 当时，n m ≠ ???=a mn dx a x x a m a x 0)(sin )(sin 2π

量子力学教案2

§2.1 波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、 z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则

周世勋量子力学教案2

§ 2.1波函数的统计解释一.波动—粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现岀来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现岀来。传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。二.波函数的统计解释 1926年玻恩提岀了几率波的概念：在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率岀现。设波函数二...丄描写粒子的状态，波的强度':I _ !，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、 z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，“；应正比于体积「；=dxdydz和强度 |列止球（忌”和）= U|①dr 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。归一化常数可由归一化条件确定 j|4>|2dr 重新定义波函数.mu ■-f- ■1 --1叫归一化的波函数。 Ji 甲F 国￡=Jcjef dr=\ 在时刻t、在坐标（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则

《量子力学简明教程》授课教案

《量子力学》电子教案杨子元编宝鸡文理学院物理系

一、简单介绍《量子力学》在物理学中的地位与作用 1．物理学课程体系中，分为基础课与专业课基础课包括力、热、光、电、原子物理专业课——四大力学：理论、热统、电动、量子力学 2．大学四年中所学所有课程大多为经典物理（即十八、九世纪物理）只有在量子力学中才涉及近代物理的内容 3．量子力学是从事物理教学及其研究中的一门基础专业学科（讲授意义）二、学习中应注意的几个问题 1．关于“概念”问题；量子力学中物理概念距离我们的生活越来越远，因此更加抽象。例“波函数” 概念（与经典概念比较，例“力”概念） 2．克服经典物理思想的束缚，防止用经典物理方法解决量子力学问题。例：①轨道概念在量子力学已抛弃；②K P E E E +=不再成立，而用 P K E E E +=表示 3．必要的数学知识：偏微分方程，勒让德多项式，贝塞尔函数，矩阵（尤其是矩阵的对角化），厄米多项式，傅里叶变换。三、教材与参考书 1．张怿慈《量子力学简明教程》人民教育出版社 2．曾谨言《量子力学》上、下册科学出版社 3．蔡建华《量子力学》上、下册人民教育出版社 4．梁昆淼《物学物理方法》人民教育出版社 5．[美]玻姆量子理论商务印书馆 6．大学物理（93.9—95.4）《量子力学自学辅导》

第一章绪论量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）运动规律的基础理论，它是本世纪二十年代总结大量事实和旧量子的基础上建立起来的，它不仅是近代物理学的基础，而且被广泛的应用于化学和电子学等领域。在介绍量子力学之前，首先回顾一下量子力学产生的历史过程。 §1.1 经典物理学的困难一、困难 1687年，牛顿的划时代巨著《自然哲学的教学原理》在伦敦出现。当时，自然科学没有完全从哲学分划出来，而用了哲学这个名称。牛顿经典力学的主要内容是它的三大定律，到了十九世纪末，二十世纪初牛顿建立的力学大厦远远超出了这三条定律，可以说整个经典物理的大厦已竣工。机械运动——牛顿力学电磁现象——麦氏方程光学——波动理论热学——完整热力学和玻耳兹曼和吉布斯建立的统计物理学当时物理学家非常自豪和得意，因为当时几乎所有的新发现都能很好地套进现有的模子中。然而正当经典物理大厦逐渐升高时，它庞大的躯体却产生了两大裂痕。其一是迈克尔逊——莫雷关于地球相对于以太漂移速度零的结果。经典力学相对原理表明，力学规律在不同参照系中应有相同形式 S 系 a m F = Ｓ/ 系 a m F '=' 也就是说对一切力学现象而言，一切惯性系都是等价的。麦氏电磁理论中，有一光速C （常数），在伽利略变换下，由麦氏方程推出的波动

量子力学简明教程授课教案

《量子力学》电子教案杨子元编

宝鸡文理学院物理系