投影法的基本性质
一、投影法的基本性質
在一定的投影條件下,求得空間投影面上的投影的方法,稱為投影法。
投影法分為中心投影法和平行投影法
1.中心投影法
空間形體各頂點引出的投射線都通過投影中心。投射線都相交於一點投影法,稱為中心投影法,所得的投影稱為中心投影。在中心投影法中,將形體平行移動靠近或遠离投影面時,其投影就會變小或變大,且一般不能反映空間形體表面的真實形狀和大小,作圖又比較復雜,所以中心投影法在機械工程中很少采用。
2.平行投影法
將投影中心移至無限遠處時,則投射線成為互相平行。這种投射線互相平行的投影法,稱為平行投影法,所得的投影稱為平行投影。在平行投影法中,投射線相對投影面的方向稱為投影方向。當空間形體平行移動時,其投影的形狀和大小都不會改變。平行投影法按投影方向的不同又分為斜投影法各正投影法
a.斜投影法投影方向傾斜於投影面時稱為斜投影法,由此法所得的投影稱為斜投影。
b.正投影法投影方向垂直於投影面時稱為正投影法,由此法所得的投影稱為正投影。
平行投影的基本性質
(1)同類性
一般情況下,直線的投影仍是直線,平面圖形的投影仍是原圖形的類似形(多邊形的投影仍為同邊數的多邊形)。
(2)真形性
當直線或平面平行於投影面時,其投影反映原線段的實長或平面圖形的真形。(3)積聚性
當直線或平面平行於投影方向時,直線的投影積聚成點,平面的投影積聚成直線。這種性質稱為積聚性,其投影稱為積聚性的投影
(4)從屬性
若點在直線上,則點的投影仍在該直線的投影上。
(5)平行性
若兩直線平行,則其投影仍相互平行。
(6)定比性
直線上兩線段長度之比或兩平行線段長度之比,分別等於其長度之比。
二、軸測投影圖和正投影圖
1.軸測投影圖按平行投影法把空間形體連同確定其空間位置的直角坐標
系一並投影到一個適當位置的投影面上,使其投影能現時反映形體三度
的空間形狀。這種投影法稱為軸測投影法,所得的投影圖稱為軸測投影圖,
簡稱軸測圖。
這种圖有較好的直觀性,容易看懂,但形體表面的形狀在投影圖上變形,致命
質量性差,因此軸測圖僅在某此工程圖樣或產品使用說明書使用。
2.正投影圖(多面正投影圖)
按正投影法將空間形體分別投影到兩個或兩個以上互相垂直的投影面上,然後把各投影面展開成一個平面。用這种方法在一個平面上得到的一組投影,稱為多面正投影圖,簡稱正投影圖。
要機械制圖中,把空間形體在每個投影面上的正投影稱為視圖。在v面上的投影稱為主視圖,在H面上的投影稱為俯視圖,在W上面的投影稱為左視圖, 根據三個投影面的相對位置及其展開的規定,三視圖的位置關係是:俯視圖在主視圖的正下方,左視圖在主視圖的正右方。
正投影圖能反映空間形體的實際形狀和大小、度量性好,作圖簡便,所以在機械等工程上被廣泛使用。這种圖的缺點是直觀性較差,只有學過的人才能完全看懂。
2013年浙教版九年级上第3章圆的基本性质检测题含答案详解
第3章 圆的基本性质检测题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. （2012·湖北襄阳中考）△AB C 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是（ ） A.80° B.160° C.100° D.80°或100° 2. （2012· 浙江台州中考）如图所示，点A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC ＝130°，则∠ABC 等于（ ） A.50° B.60° C.65° D.70° 3. 下列四个命题中，正确的有（ ） ①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； ④半径相等的两个半圆是等弧． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4. （2012·江苏苏州中考）如图所示，已知BD 是⊙O 直径，点A ，C 在⊙O 上，弧AB =弧BC ，∠AOB =60°，则∠BDC 的度数是（ ） A.20° B.25° C.30° D.40° 5.如图，在⊙错误！未找到引用源。中，直径错误！未找到引用源。垂直弦错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。，连接错误！未找到引用源。，已知⊙错误！未找到引用源。的半径为2，错误！未找到引用源。32,则∠错误！未找到引用源。的大小为( ) A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB =30°，⊙O 的半径为3，则弦CD 的长为（ ） A.2 3 B.3 C.32 D.9 7.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有( )
正投影及其性质
29.1 投影 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ （1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
圆的基本性质练习题一
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
土木工程材料基本性质(1)
1.土木工程材料基本性质：物理性质：密度，孔隙率，含水率，几何尺寸。力 学性质：强度，弹性模量，抗冲击，抗剪性，抗扭曲性。耐久性能：抗渗性，抗冻性，抗腐蚀性等。 2.胶凝材料：是在物理，化学作用下将其他物理胶结为具有一定力学强度的整 体物质。 3.石灰：石灰的主要原料是以碳酸钙为主要成分的矿物，天然岩石，常用的有 石灰石，白云石或贝壳等。 4.水泥：水泥是制造各种形式的混凝土，钢筋混凝土和预应力混凝土建筑物或 构筑物的基本材料之一，它广泛应用于建筑，道桥，铁路，水利和国防等工程中。 5.水泥砂浆：水泥砂浆是以砂为主体材料，加入一定量的水泥或其他掺和料和 水经拌和均匀而得到的稠状材料。根据用途可分为：砌筑砂浆，抹灰砂浆，锚固砂浆，补修砂浆，保温砂浆等。 6.水泥混凝土：它是以水泥为胶凝材料，由粗细集料，水混合而成，必要时也 可以加入适量的外加剂，掺和料以及其他改性材料改变其性能。 7.防水材料：是指能够防止雨水，地下水，工业污水，湿气等渗透的材料。应 具有防潮，防渗，防漏的功能，以及良好的变形性能与耐老化性能。分为刚性防水（混凝土，防水砂浆），柔性防水防水卷材，防水涂料，密封材料等） 8.绝热材料：是用于减少建筑结构物与环境热交换的一种功能材料。按化学成 分分为有机和无机两类。按材料构造分为纤维状，松散粒状，多孔组织等。 9.装饰材料：装饰材料不但应具有良好的装饰性能外，还应具有良好的物理学 性能，施工与加工性能以及房屋建筑所需的绿色环保特色。装饰材料包括木，石，砖，石膏，石棉玻璃，陶瓷，金属等。 10.土木工程材料发展趋势：土木工程自身发展与其材料之间存在着相互依赖和 相互促进的关系。随着社会对工程安全，低碳，可持续额发展的需要，土木工程材料需向高强，轻质，耐久以及节能，环保，生态等方向发展。 11.地基：承受建筑物荷载的那一部分土层成为地基，建筑物向地基传递荷载的 下部结结构称为基础。地基与基础是保证建筑物安全和满足使用要求的关键之一。12.基础：基础形式多样，设计时应该选择能适应上部结构和场地工程地质条件， 符合使用要求，满足地基基础设计基本要求以及技术上合理的基础结构方案。 13.地基勘察报告书的编制：勘察工作结束后，把取得的野外工作和室内试验的 记录和数据，以及搜集到的各种直接和间接的资料进行分析整理、检查校对、归纳总结后作出建筑场地的工程地质评价，最终要以简明扼要的文字和图表变成报告书。 14.浅基础：天然地基上的浅基础埋置深度较浅，用料较省，无需复杂的施工设 备，在开挖基坑，必要时支护坑壁和排水疏干后对地基不加处理即可修建，工期短，造价低，因而设计时宜优先选用天然地基。 15.浅基础的结构形式：扩展基础，条形基础，伐形基础，箱型基础。 16.箱型基础：为了使基础具有更大的刚度，大大减少建筑物的相对弯曲，可将基础做成由 顶板，底板及若干纵横隔墙组成的箱型基础。他是伐片基础的进一步发展，一般都是用钢筋混凝土建造，基础顶板和底板之间的空间可以作为地下室。 17.桩基础：桩基础是一种古老的基础形式。桩基础具有承载力高，稳定性好，沉降量小而 均匀的特点。 18.采用桩基础的条件：一般对采用天然地基而使地基承载力不足或沉降量过大时，宜考虑 桩基础，比如高层建筑物，纪念性或永久性建筑，设有大吨位的重级工作制吊车的重型单层工业房，高耸建筑物等。
平面的基本性质(一)
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
投影基本知识习题及答案
一、填空题 1、工程上常采用的投影法是 中心投影法 和 平行投影 法，其中平行投影法按投射线与投影面是否垂直又分为 正投影 和 斜投影 法。 2、当直线平行于投影面时，其投影 直线 ，这种性质叫 真实 性，当直线垂直投影面时，其投影 点 ，这种性质叫 积聚 性，当平面倾斜于投影面时，其投影 平面 ，这种性质叫 类似 性。 3、主视图所在的投影面称为 正立面投影面 ，简称 正立面 ，用字母 V 表示，俯视图所在的投影面称为 水平投影面 ，简称 水平面 ，用字母 H 表示。左视图所在的投影面称为 侧立投影面 简称 侧立面 ，用字母 W 表示。 4、三视图的投影规律是：主视图与俯视图 长对正 ；主视图与左视图 高平齐 ；俯视图与左视图 宽相等 。 6、直线按其对三个投影面的相对位置关系不同，可分为 投影面垂直线、 投影面平行线、 一般位置直线 。 7、与一个投影面垂直的直线，一定与其它两个投影面 平行 ，这样的直线称为投影面的 投影面垂直线 。 8、与正面垂直的直线，与其它两个投影面一定 平行 ，这样的直线称为 正垂线 。 9、与一个投影面平行，与其它两个投影面倾斜的直线，称为投影面的 投影面平行线 ，具体又可分为 正平线 、 水平线 、 侧平线 。 10、与三个投影面都倾斜的直线称为 一般位置直线 。 11、空间平面按其对三个投影面的相对位置不同，可分投影面垂直面、 投影面平行面、 一般位置面 12. 正垂面与正面 垂直 ，与水平面 倾斜 ，与侧面 倾斜 ，正垂面在正面投影为 直线 ，在水平面和侧面投影为 投影面的类似性 。 13.正平面与正面 ，与水平面 ，与侧面 ，正平面在正面投影为 ，在水平面投影和侧面投影为 。 14.参照图下图中的立体图，在三视图中填写物体的六个方位。（填前、后、左、右、上、下） 二、选择题（12分） 1.下列投影法中不属于平行投影法的是（ A ） A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（ A ） 上 下 左 前 右 后
中考数学-圆的基本性质和计算经典练习题
8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学
圆的基本性质练习含答案详解
的基本性质 考点1 对称性 圆既是________ ① ___ 对称图形，又是_____ ② ________ 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的— ③_________ O它的对称中心是一④°同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条宜线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 建理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条⑥。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条____ ⑧____________ 0温馨提示：垂径立理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式岀现，一般分值都任3 分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径左理和勾股左理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形：（2）常用的辅助线：连接半径：过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位巻不确泄，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径立理，一条直线只要满足：①过圆心：②垂直于弦；③平分弦：④平分弦所对的优弧：⑤平分弦所对的劣弧： 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 ￥ 泄理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______ （9）_____ ,所对的弦也______ ⑩________ 。 常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—?______________ ,所对的（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角—?_______________ ，所对的弧_____ ? 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、狐、弦之间的关系立理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地苴余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述怎理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的狐与弦都不相等。 （2）在由弦相等推岀弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角泄理及其推论
平面的基本性质
平面的基本性质（一） 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的． 1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法． 3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． 4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述． （二）能力训练点 1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
圆的基本性质测试题
内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ≥b C ．a ＜b D ． a ≤b 2.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧。 A ．1个 Ｂ．2个 C ．3个 Ｄ．4个 3．已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的 点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ． B ．3.5 C ． D ． 5．如图， ，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（ ） B. 600 C.800 6．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° (第4题) (第5题) (第6题) 7．已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） A ．1 cm B ．7 cm C.1 cm 或7 cm D.无法确定 8．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．80 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30o，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30o B ．60o C ．45o D ．75o 10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A ．(45) cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm (第8题) (第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 。 12．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是 。 （11） （12） （13） （14） 13．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，连接OA ，OB ，BD ，若∠AOB ＝100°，则∠ABD ＝ 度。 14．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= 。 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段 OE 与OF 的数量关系，并给予证明。 16．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求： １、尺规作图；２、保留作图痕迹。（可不写作法。） 四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） O P B A A D B C O _ O _E _ D _ C _ B _ A A B O M A E O F B P AmB O 30 D B C A O D C B A
圆的基本性质练习(含答案)
圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。
中考试题中的数学文化第六章 圆
第六章圆 第一节圆的基本性质 中考试题中的数学文化 一、《九章算术》——圆材埋壁 1.(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸． 第1题图 二、《农政全书》——筒车 2.(2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上 方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88) 第2题图
参考答案 中考试题中的数学文化 1. 26 【解析】如解图，作DE ⊥AB 于点H ，连接OA ，由题意可得DH ＝1寸，AB ＝1尺＝10寸，∴ AH ＝BH ＝12 AB ＝5寸．设OH ＝x 寸，∴OD ＝OA ＝(x ＋1)寸，∴(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12，∴OA ＝OD ＝13 寸，∴DE ＝2OD ＝26 寸，即圆材的直径为26寸． 第1题解图 2. 解：如解图，连接CO 并延长，交AB 于点D ，则CD ⊥AB ， ∴D 为AB 的中点，所求运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长． 在Rt △AOD 中，∵AD ＝12 AB ＝3，∠OAD ＝41.3°， ∴OD ＝AD ·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64，OA ＝AD cos 41.3°≈30.75 ＝4， ∴CD ＝CO ＋OD ＝AO ＋OD ＝4＋2.64＝6.64(米)． 答：运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米． 第2题解图
平面及其基本性质--三个公理三个推论的应用
资源信息表
（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
投影基本知识习题及答案
一、填空题 1、工程上常采用的投影法是中心投影法和平行投影法，其中平行投影法按投射线与投影面是否垂直又分为正投影和斜投影法。 2、当直线平行于投影面时，其投影直线，这种性质叫真实性，当直线垂直投影面时，其投影点，这种性质叫积聚性，当平面倾斜于投影面时，其投影平面，这种性质叫类似性。 3、主视图所在的投影面称为正立面投影面，简称正立面，用字母V 表示，俯视图所在的投影面称为水平投影面，简称水平面，用字母H 表示。左视图所在的投影面称为侧立投影面简称侧立面，用字母W 表示。 4、三视图的投影规律是：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；俯视图与左视图宽相等。 6、直线按其对三个投影面的相对位置关系不同，可分为投影面垂直线、投影面平行线、一般位置直线。 7、与一个投影面垂直的直线，一定与其它两个投影面平行，这样的直线称为投影面的投影面垂直线。 8、与正面垂直的直线，与其它两个投影面一定平行，这样的直线称为正垂线。 9、与一个投影面平行，与其它两个投影面倾斜的直线，称为投影面的投影面平行线，具体又可分为正平线、水平线、侧平线。 10、与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 11、空间平面按其对三个投影面的相对位置不同，可分投影面垂直面、投影面平行面、一般位置面 12. 正垂面与正面垂直，与水平面倾斜，与侧面倾斜，正垂面在正面投影为直线，在水平面和侧面投影为投影面的类似性。 13.正平面与正面，与水平面，与侧面，正平面在正面投影为，在水平面投影和侧面投影为。
14.参照图下图中的立体图，在三视图中填写物体的六个方位。（填前、后、左、右、上、下） 二、选择题（12分） 1.下列投影法中不属于平行投影法的是（ A ） A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（ A ） A 、实形性 B 、类似性 C 、积聚性 3、当一条直线垂直于投影面时，在该投影面上反映（ C ） A 、实形性 B 、类似性 C 、积聚性 4、在三视图中，主视图反映物体的（ B ） A 、长和宽 B 、长和高 C 、宽和高 5、主视图与俯视图（ ） A 、长对正 B 、高平齐 C 、宽相等 6、主视图与左视图（ B ） A 、长对正 B 、高平齐 C 、宽相等 7、为了将物体的外部形状表达清楚，一般采用（A ）个视图来表达。 A 、三 B 、四 C 、五 8、三视图是采用（ B ）得到的 A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 9、当一个面平行于一个投影面时，必（ B ）于另外两个投影面 A 、平行 B 、垂直 C 、倾斜 10、当一条线垂直于一个投影面时，必（ C ）于另外两个投影面 A 、平行 B 、垂直 C 、倾斜 上 下 左 前 右 后
圆的基本性质经典练习题
1 圆的基本性质 一、 填空题： 1、 如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=?，则BOC ∠=_________ 2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=?，则BAD ∠=__________ 3、如图，点O 是ABC ?的外心，已知40OAB ∠=?，则ACB ∠=___________ （1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=?，则BOD ∠= ． （5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ． 6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ． 7、如图，在⊙O 中，∠B=50o，∠C=20o，则∠BOC 的=____________ 二、解答题 1、如图，AB 是⊙O 的直径. (1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？ (2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 2、已知：如图，在⊙O 中，弦AB=CD. 求证：⑴弧AC=弧BD ；⑵∠ AOC=∠BOD 3、如图，已知：⊙O 中，AB 、CD 为弦，OC 交AB 于D ， 求证：（1）∠ODB>∠OBD ，（2）∠ODB>∠OBC ； 4、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ， 且AC=BD 。 求证：CE=DF 5、已知如图，，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，MN 是△ABC 的中位线吗？ 6、已知⊙O 中，M 、N 分别是不平行的两条弦AB 和CD 的中点， 且AB = CD ， 求证：∠AMN=∠CNM B D BD B C
第一章-建筑材料的基本性质(附答案)
第一章 建筑材料的基本性质 一、填空题 1.材料的实际密度是指材料在（ 绝对密实 ）状态下（ 单位体积的质量 ）。用公式表示为（ ρ＝m/V ）。 2.材料的体积密度是指材料在（ 自然 ）状态下（ 单位体积的质量 ）。用公式表示为（ρ0＝m/V0 ）。 3.材料的外观体积包括（固体物质）和（ 孔隙 ）两部分。 4.材料的堆积密度是指（散粒状、纤维状）材料在堆积状态下（ 单位体积 ）的质量，其大小与堆积的（ 紧密程度 ）有关。 5.材料孔隙率的计算公式是（ 01 ），式中ρ为材料的（ 实际密度 ），ρ0为材料的（ 体积密度 ）。 6.材料内部的孔隙分为（ 开口 ）孔和（ 闭口 ）孔。一般情况下，材料的孔隙率越大，且连通孔隙越多的材料，则其强度越（低），吸水性、吸湿性越（大）。导热性越（差）保温隔热性能越（好）。 7.材料空隙率的计算公式为（ ''001 ）。式中0为材料的（体积）密度，0ρ'为材料的（ 堆积 ）密度。 8.材料的耐水性用（ 软化系数）表示，其值越大，则耐水性越（ 好 ）。一般认为，（ 软化系数 ）大于（ 0.80 ）的材料称为耐水材料。 9.材料的抗冻性用（ 抗冻等级 ）表示，抗渗性一般用（ 抗渗等级）表示，材料的导热性用（ 热导率 ）表示。 10.材料的导热系数越小，则材料的导热性越（ 差 ），保温隔热性能越（ 好）。常将导热系数（k m w *175.0≤）的材料称为绝热材料。
二、名词解释 1.软化系数：材料吸水饱和时的抗压强度与其干燥状态下抗压强度的比值。 2.材料的吸湿性：材料在潮湿的空气中吸收水分的能力。 3.材料的强度：材料抵抗外力作用而不破坏的能力。 4.材料的耐久性：材料在使用过程中能长期抵抗周围各种介质的侵蚀而不破坏，也不易失去其 原有性能的性质。 5.材料的弹性和塑性：材料在外力作用下产生变形，当外力取消后，材料变形即可消失并能完 全恢复原来形状的性质称为弹性； 材料在外力作用下产生变形，当外力取消后，仍保持变形后的形状尺寸， 并且不产生裂缝的性质称为塑性。 三、简述题 1.材料的质量吸水率和体积吸水率有何不同？什么情况下采用体积吸水率来反映材料的吸水性？ 答：质量吸水率是材料吸收水的质量与材料干燥状态下质量的比值； 体积吸水率是材料吸收水的体积与材料自然状态下体积的比值。 一般轻质、多孔材料常用体积吸水率来反映其吸水性。 2.什么是材料的导热性？材料导热系数的大小与哪些因素有关？ 答：材料的导热性是指材料传导热量的能力。 材料导热系数的大小与材料的化学成分、组成结构、密实程度、含水状态等因素有关。 3.材料的抗渗性好坏主要与哪些因素有关？怎样提高材料的抗渗性？ 答：材料的抗渗性好坏主要与材料的亲水性、憎水性、材料的孔隙率、孔隙特征等因素有关。 提高材料的抗渗性主要应提高材料的密实度、减少材料内部的开口孔和毛细孔的数量。 4.材料的强度按通常所受外力作用不同分为哪几个（画出示意图）？分别如何计算？单位如何？
圆的基本性质-测试题
C B O A D 圆的基本性质测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE C ．弧AE=弧BE D ．OD=DE 2、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米 3、如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠=（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 第2题 第3题 4. 如图，以 ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点C ，且∠AOC=700，则∠A 等于（ ） A. 1450 B. 1400 C. 1350 D. 1200 5、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 第5题 6、如图，AB 、CD 为⊙O 直径，则下列判断正确的是（ ） A AD 、BC 一定平行且相等 B AD 、B C 一定平行但不一定相等 C A D 、BC 一定相等但不一定平行 D AD 、BC 不一定平行也不一定相等 7、 如图，当半径为30cm 的转动轮转过1200角时，传送带上的物体A 平移的距离为（ ) A. 900лcm B.300лcm C. 60лcm D.20лcm 8、如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ） A ． 15 B ． 20 C ．15+52 D ．15+55 9、下列命题为真命题的是 ( ) A 、三点确定一个圆 B 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相 C 、平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦 D 、 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 10、A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O — C — D — O 路线作匀速运动．设运动时间为t （s ），∠APB=y （°），则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ） 第6题 第1题