图形计数习题

A 3 A 1 O A 2 A 4 A 5

A 7 6 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 九图形的计数(一)

年级班姓名得分

一、填空题

1．下图中一共有（）条线段.

2. 如下图,O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，

这样图中共有_____个三角形.

5. 数一数

(1)一共有( )个长方形.

6. 在下图中,所有正方形的个数是______.

7. 在一块画有4?4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.

8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.

9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.

10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.

二、解答题

11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个

数之比.

12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

132厘米、4厘米、四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方

形多少个？

14．将ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？

———————————————答案——————————————————————

1． 30

由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6 5=30条线段.

2. 37

将A1A6A12分解成以OA6为公共边的两个三角形. OA1A6中共有

5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA6A12中共有6+5+4+3+2

+1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形.

3. 15

这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下:

C A

D D

所以原图有

(3+2+1)+(3+2+1)+3

=15(个)三角形.

4. 18

梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6?3=18(个)梯形.

5. 108,36

(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.

因为AB边上有8+7+6+…+2+1=

=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有36?3=108个长方形.

(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6?6=36(个)三角形.

6. 30

由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.

7. 50

此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下:

边长为AB的正方形有16个；

边长为AC的正方形有9个；

边长为AD的正方形有4个；

边长为AE的正方形有1个；

边长为DF的正方形有9个；

边长为CF的正方形有8个；

边长为BF的正方形有2个；

边长为CG的正方形有1个.

所以,最多可围出50个正方形.

8. 44

因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解.

先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC.同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6?6=36个长方形.

另一类是没有边平行于BC 的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,

其中分别有6个和2个长方形.

所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个.

9． 21

以正方形的面积大小分类计数.

设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个；

面积为2的有4个；

面积为5的有2个；

面积为8的有4个；

面积为13的有2个；

所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形.

10． 30

将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.

11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6=2

6)61(?+=21，黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=2

7)71(?+=28，所以它们的比=2821=4

3. 12. 解法一

本图中三角形的个数为(1+2+3+4)?4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两

底唯一确定.首先在AB ,CD ,EF ,MN 中,考虑两底所在的线段,共有(4?3)÷2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.

解法二

中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2?10=20(个).

13. 边长2厘米的正方形:

2?2=4(个) ……红色

边长4厘米的正方形

(4-1)?4=12(个) ……红色

(4-2)?(4-2)=4(个) ……白色

边长8厘米的正方形

(8-1)?4=28(个) ……红色

(8-2)?(8-2)=36(个) ……白色

边长9厘米的正方形

(9-1)?4=32(个) ……红色

(9-2)?(9-2)=49(个) ……白色

所以,红色小正方形共有

4+12+28+32=76(个)

白色小正方形共有

4+36+49=89(个)

[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于

4?(n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2)?(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4?(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)?(9-2)=49(个).

14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；

③尖角在左上、右下方.

就第①类而言: 型6个；型3个，与其对称的3个；

型1个，与其对称的1个；型1个；共15个.同理,第②、③类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.

[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。

由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15个。

同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。

由此可知，共有45个平行四边形。

五年级奥数专题图形的计数

6 A C D E 九图形的计数(A) 年级班姓名得分一、填空题 1．下图中一共有（）条线段. 6. ______. 7. 25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. ,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个. 9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.

10. 数一数.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ 7 6 5 4 3 2 1 N M F E D C B A O

九图形的计数（B）年级班姓名得分一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____. 2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个. 3. 下图中共出现了_____个长方形. 4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形. 5. 图形中有_____个三角形. 6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个. 7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体. 8. 右上图中共有_____个正方形. 9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法. 10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格. M 二、解答题 11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.） 12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形? 13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? 14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?

图形的计数

图形的计数【知识要点】 1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种 2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为 ()1231n ++++- 3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积 4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来【典型题解】例1.数出下面图形中有多少条线段？分析：我们可按顺序数线段：首先固定端点A ，以点A 为左端点的线段有5条，再固定端点B ，以点B 为左端点的线段有4条，再依次固定端点C D E F 、、、，分别数出以点C D E F 、、、为左端点的线段的条数，依次是3条、2条、1条、0条，最后求出所有条数之和，也可以直接用计算方法去计算解：()12345155215++++=+?÷=（条）例2.数出图中锐角的个数分析：这图是由顶点O 引出的八条射线所组成，每两条射线夹一个锐角。如果在图中加条虚线，就可发现，所要数的角其实就是加虚线后构成的三角形中以O 点为顶点的角，并且角的个数就是从O 点引出的射线将虚线所截得的线段的条数，我们可用计算方法求出虚线上线段的条数解：()1234567177228++++++=+?÷=（个）所以，图中有28个锐角

例3.分别数出下面各图形里长方形的个数分析与解（1）先把AD作为宽，再配以AB上不同的线段为长，就得到一个长方形。而AB上线段共有123410 ?=（个），即+++=条，所以这个图形中长方形的个数是：10110 () +++?=（个） 1234110 （2）思想同上：AD上线段共有123410 +++=（条） +++=（条） AB上线段共有123410 所以，这个图形中长方形的个数是：1010100 ?=（个）例4.数出44 ?的方格图中正方形的个数分析：这种图形中正方形的个数，可以用分类的方法数，即依次数出边长分别为1个长度单位、2个长度单位、3个长度单位……的正方形个数，然后再把个数相加解：（1）边长为1个长度单位的正方形的个数为：4416 ?=（个）（2）边长为2个长度单位的正方形的个数为：339 ?=（个）（3）边长为3个长度单位的正方形的个数为：224 ?=（个）（4）边长为4个长度单位的正方形的个数为：1（个）所以，共有正方形1694130 +++=（个）【能力训练】 A 卷 1.数出下列每条线上线段的总条数 2.下图共有（）条线段

小四数学第2讲：图形计数(教师版)

第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是：

四年级奥数题：图形的计数(B)

九图形的计数（B）一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是______ 2. __________________ 下图中有正方形个,三角形__________ 个,平行四边形 ______________________ 个,梯形 4. _____________________________________________ 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有 ___________________________ 大小不同的三角形. 5. _____________ 图形中有三角形. 6. _______________如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色，已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多个. ____ 年级______ 班姓名得分 \/ Z Z Z\ Z P\ / \

7. 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小方体看不见?图中共有个小立方体? 8. 9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“ 1”的有1张；标有数码“2” 的有2张；标有数码“ 3”的有3张，标有数码“ 4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“ 3”的纸片，一共有 _______ 种不同的放置方法. 10. 如下图,在2× 2方格中,画一条直线最多可穿过 3个方格,在3× 3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10× 10方格中,画一条直线最多可穿过 _____ 个方格. 下图中共有_____ 个正方形.

五年级奥数题：图形的计数

学习必备欢迎下载图形的计数一、填空题 A 12 1．如下左图中一共有（）条线段. O A 11 A 10 A 9 A 8 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2. 如上右图,O 为三角形 A 1A 6A 12 的边 A 1A 12 上的一点,分别连结 OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 如下左图中有_____个三角形. A D A 7 A 6 B 4. 如上右图中共有_____个梯形. 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形. (2)一共有( )个三角形. C D C A 6. 如下左图中,所有正方形的个数是______. B (1) (2) A P O N M B Q X W L C R Y V K D S T U J E F G H I 7. 在一块画有 4 ? 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉(如上右图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有 4 ? 4 个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.

9. 如下左图,方格纸上放了 20 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个. 10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 如下左图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. O 1 2 A B 4 3 C D 5 6 E F 7 M N 12. 如上右图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样 4 个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？

图形计数

第二讲有趣的图形计数我们之前已经认识了各种图形，并会数简单的图形，在此基础上，我们要进一步深入的学习图形计数的方法。二年级秋季已经学过数线段、角、三角形、长方形等。今天就要学习一些更复杂图形和立体图形的计数，通过数图形的练习，让同学来总结方法，找到计数技巧，培养同学有序思考问题和空间想象的能力。一、规则图形【知识复习】（这里的“规则”是指不用一个一个数，可以直接用总结的方法的，可让孩子记下下面几种图形）（）条线段（）个角（）个三角形（）个长方形通用的方法：第一步，先数有几个基本图形（孩子可以理解为图形中的小线段、小角等）第二步，计算，假设有n个基本图形，则图形的总数是n+（n-1）+（n-2）+......+2+1 例1：基本线段有4条，共有4+3+2+1=10 例2：

基本角有4个，共有4+3+2+1=10 例3：基本长方形有4个，共有4+3+2+1=10 二、不规则图形方法：按照一定的顺序例1 ：按方向数（从左到右）例2：分类数例3 ：分层数三、数字有规律的图形计数

方法：此类题，找出数字的规律，更能方便的计算图形的个数例：图1 图2 图一中，第一行白方块的个数是4，第二行也是4，大三行也是，一共有8行，所以白方块的个数一共是4×8=32，黑方块也如此，也是32块。图二中，第一行有白方块5个，第二行4个，第三行5个，第四行4个，奇数行都是5个，偶数行都是4个，所以白方块的个数是5×5+4×4=41，黑方块的个数是5×4+4×5=40块。例：小房子（课本上例题2，由于图形太大，不能上传，请各位参照课本进行复习）以红线为分界线，下面是一个长方形，一共有砖10×11=110 上面的从左向右数，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25 一共有110+25=135个四、立体图形的计数方法：分层数（从上向下）下一层的=上一层+多出来的例：

图形计数(及问题详解)

图形计数姓名：日期：【专项训练】 NO1.下图中一共有多少个长方形？ NO2.数一数下图共有多少个正方形？ NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ NO4. NO5.如图所示，图中共有个三角形。 N M F E D C B A O A12A34…4849A50

NO6.把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？ NO7.用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块．主视图左视图俯视图 NO8. 下图中共有____个正方形。 NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含

正方形)共有个，它们的面积总和是。 NO10. 图中共有多少个三角形？【实战训练】 1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。 2、计算： ☆

3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直接开到营地，结果是两队学生同时到达。已知学生步行速度为4千米／小时，汽车载学生时的速度为40千米／小时，空车速度为50千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是。 4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。比如，241被342“吃掉”，123被123“吃掉”，但是240和223互相都不能被“吃掉”。现请你设计出6个三位数，它们中的任何一个都不能被另外5个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4，那么这6个三位数之和是。

二年级奥数.计数.有趣的图形计数(2)

有趣的图形计数巧求周长知识框架把一些正方体堆在一起你会数吗？无论是平面图形还是几何图形，在数复杂图形的个数时，只要我们认真仔细观察图形特点，有次序地去数，不遗漏不重复，就能数得又对又快。今天这节课我们也去闯一闯几何王国，让我们用我们的智慧去挑战这些图形吧！立体图形包括正方体、长方体等，如果把许多的正方体堆成不同的图形你会数吗？如果把一个大的长方体切成许多的小正方体你又会数吗？例题精讲【例1】下面的图形有多少个？你会数吗？（）条线段（）个长方形（）个正方形（）个三角形（）个圆【例2】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块？图1图2 【例3】迪斯尼乐园里米老鼠又住上了新房子，下图是他新房子的侧面墙，你能根据这个侧面图算算砌好

【例4】你喜欢下跳棋吗？你知道跳棋盘有多少个孔吗？仔细数一数。【例5】数一数，下面的方块各有多少？【例6】下面的图形中一共有几个小方块？【例7】下面这堆木方块共有多少块？（中间打阴影部分从上到下是空心）

【例9】下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色【例10】有一天大头儿子做手工，把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？课堂检测【随练1】下面两个图形能拼成一个长方体吗？

【随练2】下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开。切成了（）个三棱柱。每个三棱柱没有涂颜色的面共有（）个，这些三棱柱一共有（）个面没有被涂色。【随练3】一个大正方体的表面上都涂上绿色，然后切成27个小立方体（切线如图中虚线所示）。在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成绿色的有（）个。（2）2面涂成绿色的有（）个。（3）3面涂成绿色的有（）个。（4）1个面也没有被涂成绿色的有（）个【作业1】数一数. 【作业2】如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？（）个正方形（）个三角形（）个三角形家庭作业

几何图形中的计数问题

几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。下面举例说明。 1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（） )(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37 解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有282 782 8=?=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182 312=?个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有32 16=?个且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个. 例2 在图1的86?方格中,点A ,则以这些直线为边,且过点 A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类： ①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ?=个矩形； ②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则， A 为顶点， n6n5n4n3n2n1

奥数知识点图形计数

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。最小线段的数量为火车头。或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2 又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2 例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形) 或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）

以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。例4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（1）使用分层计数法：方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上下上下层：总小TIPS ：吹泡泡法

例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号， 3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。所以3+4+1=8，共8个三角形。例8、下列各图形中，长方形的个数各是多少？分析与解：对于（单层）基础图形，可以使用开小火车的方式解决。每个长方形相当于最小线段。所以数单层的基础长方形，就是数基础线段数。对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数（个）单层长方形的数量=长边上的线段数（个），层数=宽边上线段的个数（层）例9、下列图形中，长方形的个数是多少个？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10（个），层数=宽边线段数=3+2+1=6（层）总数=（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）例10、下列图形中，长方形的个数是多少个？分析，先将<格1>与<格2>隐去，剩下的格3，就是一个多层规整长方形=10×6=60（个）格1带来的长方形=4（个）（吹泡泡法）格2带来的长方形=5（个）总数=60+4+5=69（个）

(完整版)图形计数习题

A 3 A 1 O A 2 A 4 A 5 A 7 6 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 九图形的计数(一) 年级班姓名得分一、填空题 1．下图中一共有（）条线段. 2. 如下图,O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 4.

A C D E 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形. 6. 在下图中,所有正方形的个数是______. 7. 在一块画有4?4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个. 9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.

10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 132厘米、4厘米、四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方

形多少个？ 14．将ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ ———————————————答案——————————————————————1．30 由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6 5=30条线段. 2. 37 将A1A6A12分解成以OA6. OA1A6中共有 5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA6A12中共有6+5+4+3+2 +1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形. 3. 15 这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下: D C A A A D D C

一年级第二讲图形的计数

第二讲图形的计数本讲内容是让孩子们学会用计算的方法来数图形，在计算过程中结合第一讲速算巧算的方法来巩固和练习我们以往所学过的知识。一、知识点 (一) 平面图形的计数 1、数线段与角的个数(打枪法、编号法) 2、数三角形、正方形、长方形，圆形等（编号法、分层法） (二) 立体图形的计数 1、数方块：⑴分层数（从上到下再求和） ⑵按列数（刀切法）注意：每层数量=看见的+上层数量 ( 1)、数规整图形：观察规律，算是表达（牢记巧算速算的方法） (2)、数有缺口的图形方法：（1）分层数（2）补（补全图形去多余）（3）拆（拆成规整图形来计算）二、例题讲解与练习【习题1】你来数一数!

( )个正方形( )个三角形( )个正方体【解析】：⑴、由小到大分类数,含有1个小方块的正方形个,编号法含有2 个小方块的正方形3 个共8+3=11(个); ⑵、编号法,含有1个号的三角形1、2、3、4、5 共5 个，含有3个号的三角形163、164、 264、265、365 共5 个（5 角星每个小角对应新组成的5 个大三角形），所以三角形共5+5=10 （个）； (3) 共1+5+6=12 （个）【习题2】数一数下面一共有多少个小圆点？【解析】: 不同的角度来观察，我们所选用的方法不同（方法不唯一），从上往下数第一层1个点，依次往下每

一层都比上一层多一个一点，2、3、4、5、6、7、8、 9，所以圆点的总数为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个) 【习题3】如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多少块砖才能把墙补好？【解析】：细心观察的小朋友会发现整幅图里只有最后一层墙面的砖是全的，所以每层都与最后一层来比较（用缺补的思想把残缺的墙补全然后列算式），我们发现要补得砖的块数为：2+2+1+2+2+1=10 （块）。【习题4】数一数下面的图形一共有多少个立方体？【解析】:此题分行(分层)数更易观察, 从上往下数,第一层1块, 第二层我们能直观的看到3块,但是第一层的那块想要立在上面下面一定隐藏起了1块, 所以第二层3+1=4(块), 同样的方法第 3 层5+4=9(块),第 4 层7+9=16(块),总数1+4+9+16=30(块),计算时别忘了我们学的凑整法

第七讲图形计数

图形计数【知识要点】在数图形时，不管是数什么样的图形都要有一定的次序，可以按从左到右、从上到下、从小到大等次序进行；然后数一个的有几个，两个组成的有几个…… 【新生篇】例1：图中共有（）条线段。分析：数的时候应有顺序地按同一方向去数。以A为起点，有线段AB、线段AC，共2条线段；以B为起点，有线段BC，共1条线段。所以图中共有2+1=3条线段。例2：数一数，下图中共有（）个长方形。分析：在数长方形形的时候，我们可以先数每一层有多少个长方形，再数总共有几层，这样数：每一层有多少个可以参照线段的数法，共有3+2+1=6个长方形，然后层数也可以参照数线段的方法，总共有2+1=3层，所以总共有3×6=18个长方形，所以总结长方形个数的数法为：长边上的线段数×宽边上的线段数例3：数一数，图中共有（）个正方形。分析：我们可以这样数：（1）最小的正方形有3×3=9个；（2） 4个小正方形拼成的大正方形有2×2=4 个；（3） 9个小正方形拼成的大正方形有1×1=1个；（4）共有9+4+1=14（个）正方形。【新生练一练】 1.数一数，下图中共有（）个三角形。 A B D C 解析：2+1=3个 2.数一数，下图中（）有多少个长方形。解析：长边上线段数4+3+2+1+10个，宽边上线段数3+2+1=6个，所以总共个数为 6×10=60个 3.数一数，下图中（）有多少个正方形。

解析：分类枚举，4×4+3×3+2×2+1×1=30个【老生练一练】 1.图中，带有“☆”的长方形有（）个。解析：鼠标法，2×4=8个 2.下图中共有（）三角形，（）个四边形。解析：三角形个数：（3+2+1）×2=12个；四边形个数：3+2+1=6个

第二讲图形计数教案

第二讲图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。 2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。 3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

第一课时教学时间：教学内容：数线段和角教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。 2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。教学过程：例题1 如下图中有多少条线段？ＡＢＣＤＥ（1）学生先独立数一数，并交流结论。（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；由4条基本线段构成的线段有AE共1条；

方法二：从线段的两个端点出发去数：以A 点为左端点的线段有AB 、AC 、AD 、AE 共4条；以B 点为左端点的线段有BC 、BD 、BE 共3条；以C 点为左端点的线段有CD 、CE 共2条；以D 点为左端点的线段有DE 共1条； 2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、教学数角 1.例2 如下图中共有几个角？ D B （1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中AOB COD 看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个；

图形计数(及答案)

【专项训练】 NO1. 下图中一共有多少个长方形？ NO2. 数一数下图共有多少个正方形？ NO3. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ NO4. A 1 2A 3 4… 4849A 50

NO5. 如图所示，图中共有个三角形。 NO6. 把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？ NO7. 用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块． NO8. 下图中共有____ 个正方形。主视图左视图

NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。 NO10. 图中共有多少个三角形？【实战训练】 1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。 2、计算：