光学信息技术原理及应用课后重点习题答案

第一章 习题解答

1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ，系统的传递函数⎪

⎭

⎫

⎝⎛b

f Λ。若b 取（1）

50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){

}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23

2+1=⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧1+3

1+1-31+=F 图形从略。 1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，

（1）如果L a 1<

，W

b 1<，试证明

()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：

(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W

f L f rect y x f y x,f y x y x y

x *⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-

（2）如果L a 1>

， W

b 1

>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y

x bf af rect y x f W

f L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,

试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,

答：

()(){}(){}{}{}()(){}{}

{}{}{}x

cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1

-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,

（2）()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫

⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,

答：

()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）

()()[]⎪⎭

⎫

⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,

答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪

⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪

⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬

⎫

⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭

⎬

⎫

⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,

（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：

()()()()(){}()(){}{}

()()()()()()()()()()()()(){}

()()

x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x y

x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+4

1=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1

-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()⎪⎭

⎫

⎝⎛2=f f H rect （2）()⎪⎭

⎫ ⎝⎛2-⎪⎭⎫

⎝⎛4=f f f H rect rect 答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

{}{}[]21()()()()()3

350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f

⎧⎫⎡⎤

⎧

⎫==*Λ⎨⎨⎬⎬

⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭=*F F F

方括号内函数频谱图形为：

f

1

2

1

2

35

3

4321353

4323

3150

图1.4（1）

f c 2sin 图形为：

f

1

32133123

1

0.6850.17

0.04

1

图 1.4（2）

因为f c 2

sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2

sin 的最大值小于0.04%。故图解)(f G 频谱结果为：

f

3

21323

3150

G(f)

50*0.685

50*0.171

图 1.4（3）

传递函数（1）形为：

f 1

1

1

图 1.4（4）

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ

其反变换，即输出函数为：

)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：

f

1

图 1.4（5）

此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于

027.0)3

5

(sin 043

.0)34

(sin 22==c c

可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：

)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数

()()ax a y x h 2

=sinc ,

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：(){}(){}

()y x f δa f ax sinc a y x h ⎪⎭

⎫

⎝⎛==2

ΛF ,F ≤∞21=21≤

∴Y a

B X x ;

也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ⨯表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。 答：因为b a ⨯表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

第二章 习题解答

2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为0

45，与y 轴夹角为0

60，试写出其空间

频率及1z z =平面上的复振幅表达式。

答：λ23

=x f , λ22=y f , ()()()0,0,0λ222λ3πexpj2jkz exp ,,11U y x z y x U ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角

谱。 答：()⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b y rect a x rect y x U , ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，

2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过

率为()

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

32+150=0λπ0

x cos x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。 答:：

⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31++⎪⎭⎫ ⎝⎛31-250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1+33+⎪⎭⎫ ⎝⎛1-3250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβδλλαδλλαδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,

2.4 参看图2.13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在()ηξ,点。采用

单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出

0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

y

x

O

a

2a

图2.4题

答：()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛2=000000a ηy rect a ξx rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()

y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2200π,F

()()()⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4⨯⎪⎭

⎫

⎝⎛+1

=

2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,

()2

222⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2, 2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为d 。采用单位振幅

的单色平面波垂直照明，求与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定a b 4=及

(,)ξη

a d 51=.，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差π，上述结果有何

变化？

O

b

d

a

x

y

图 题2.5 （1）

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,

)2d 及(0,)2

d

-的矩形孔径振幅透射率之和： 00

00022(,)(

)()()()d d

x x y y t x y rect rect rect rect a

b a b

-

+=+ （1） 由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

000(,)1U x y = ，

透射光场

00

0000000022(,)(,)(,)(

)()()()d d

y y x x U x y U x y t x y rect rect rect rect a

b a b

-

+==+ （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样(,)U x y ，它正比

于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x

y

f f z

z

λλ=

=

），即

{}

2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z

λ⎡⎤

+⎢⎥

⎣⎦=⨯F （3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

{}00000022(,)()()()()d d y y x x U x y rect rect rect rect a b a b ⎧⎫⎧⎫-+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭

F F F sin ()sin ()[exp()exp()]x y y y ab c af c bf j f d j f d ππ=⨯-+

2sin (

)sin ()cos()ax by dy

ab c c z z z

πλλλ=⨯ 把它带入（3）式，则有

22exp()exp ()2(,)2sin ()sin ()cos()k jkz j x y ax by dy z U x y ab c c j z z z z

πλλλλ⎡⎤+⎢⎥

⎣⎦=

⨯⨯

强度分布

2

2222(,)sin sin cos ax by dy ab I x y c c z z

z z πλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫= ⎪

⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

11000000(,),,22x y d d t x y rect rect x y x y a b δδ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=*-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）

它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a

22224 1.58(,)sin sin cos ax ay ay a I x y c c z z z z πλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

沿x 轴，此时0y f =

()22(,)8sin =x y x I f f a c af

中心光强：I(0,0)=8a 2 极小值位置为：(1,2,)x n

f n a

=

=±±

x 方向上强度分布的截面图示意如下：

图题2.5（2）

沿y轴：

此时0

x

f=，故

()

222

(,)8sin(4)cos 1.5π

=

x y y y

I f f a c af af

中心光强：I(0,0)=8a2

极小值位置：

12

(1,2,) 43

y y

n n

f f n

a a

±

===±±

及

y方向上强度分布的截面图示意如下：

图题2.5（3）

[][][]00000000000000111(,),exp ,22,exp ,222exp x y d d t x y rect rect x y j x y a b x y d d rect rect x y j x y a b d y x x rect rect j rect a b

a δπδδπδπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=*--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥

⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=*--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛

⎫- ⎪⎛⎫

⎛=-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎪⎝

⎭12d y rect b

⎛⎫

+ ⎪⎫

⎪ ⎪⎭ ⎪⎝

⎭

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

011(,)1U x y = ，

透射光场,b=4a,d=1.5a 时

[][]110111*********(,)(,)(,)

22exp 0.750.75exp 44ππ=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫

=-+ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

U x y U x y t x y d d y y x x rect rect j rect rect a b a b x y a x y a rect rect j rect rect a a a a （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样(,)U x y ，它正比

于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x

y

f f z

z

λλ=

=

），即

{}

2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z

λ⎡⎤

+⎢⎥

⎣⎦=⨯F （3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

{}[]0000000.750.75(,)exp 44x y a x y a U x y rect rect j rect rect a a a a π⎧-⎫⎧+⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎨⎬⎨⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩

⎭F F F ()22

8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp 8sin ()sin (4)exp(1.5)πππ⎡⎤=--+⎣⎦

x y y x y y a c af c af j f j a c af c af j f ()28sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)πππ=⨯--+x y y y a c af c af j f j j f

把它带入（3）式，则有

()

222222exp()exp ()2(,)8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)exp()exp ()428sin ()sin ()1.5 1.5exp exp()exp()222x y y y k jkz j x y z U x y a c af c af j z j f j j f k jkz j x y ax ay z a c c j z z z j y j y j j j z z λπππλλλπππππλλ⎡⎤

+⎢⎥

⎣⎦=⨯⨯--+⎡⎤

+⎢⎥

⎣⎦=

⨯-⎛

⎛⎫⨯--++ ⎪⎝⎭⎝222exp()exp ()428sin ()sin ()1.5exp cos 22k jkz j x y ax ay z a c c j z z z y j z

λλλπππλ⎫

⎪⎭

⎡⎤

+⎢⎥

⎣⎦=

⨯⎛⎫⎛⎫

⨯-+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

强度分布

2

22222

2

2224 1.58(,)sin sin cos 24 1.58sin sin sin ax ay y a I x y c c z z z z

ax ay y a c c z z z z ππλλλλπλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

2.6 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个

相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为()

000y x t ,，N 个处于代表孔位置的点上的点光源表示为

()i

i

N

y y x x --∑,δ，则衍射屏的透过率可表示为

()(

)()i

i

N

y y x x y x t y x t --*=∑00000,,,δ，

其傅里叶变换可表示为

(){}(

){}()⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧--⋅=∑00000i

i

N

y y x x y x t y x t ,F ,F ,F δ，

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2.7 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数为 ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21+21=2a r ar r t circ cos （1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。

（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：（1）解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

22

2211(,)cos[()]22x y t x y x y circ l α⎛⎫

+⎧⎫

⎪=++⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭

22

2222111exp[()]exp[()]244x y j x y j x y circ l αα⎛⎫

+⎧⎫

⎪=+-+++⨯⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝

⎭

（1） （1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子

2

2exp ()2k j x y f ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦

比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和

发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子22x y circ l ⎛⎫

+

⎪ ⎪⎝

⎭

表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。 （2）解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

221

exp[()]4

j x y α-+项，令12k f α=，则有

12k f παλα

=

= 焦距1f 为正，其作用相当于会聚透镜，对于

221

exp[()]4

j x y α+项，令22k f α-=，则有

12k f π

αλα

=-

=- 焦距2f 为负，其作用相当于发散透镜，对于“1

2

”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是 3f =∞

（3）由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光

源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图 4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长λ成反比。例如取red 6900A λ=。

，blue 4000A λ=。

，则有 4000

6900

red blue f f =

0.57blue f ≈ 这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。 这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.8 用波长为

A 6328=λ的平面光波垂直照明半径为mm 2的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为

mm 30的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。

答：由式(2.55)2

21

203

+4〉〉

)(L L z λ

π及式(2-57))(212020y x k z +〉〉有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 2

21

203

+4〉〉

)(L L z λ

π即()mm z 7398=15+110⨯63280⨯4〉〉32223-..π (

)

mm π

y x k z 64964=110

⨯63280=

+2

1

〉〉23

-2

020..

2.9 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为

()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=2

200002

2000a y x circ y x U a y x circ y x t ,, 根据式(2.53)有

()()()()()00002020∞

∞

-202022⎥⎦⎤⎢

⎣⎡+2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2⋅⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2=⎰⎰dy dx yy xx z j exp y x z k j exp a y x circ y x z k j exp z j jkz exp y x U λπλ, 轴上的振幅分布为

()()()()()⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0022002002020∞∞

-2020⎰⎰⎰⎰a z k j exp jkz exp rdrd r z k j exp z j jkz exp dy dx y x z k j exp a y x circ z j jkz exp z U a

θλλπ,,

轴上的强度分布为

()()⎪

⎭

⎫

⎝⎛44=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2-12=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-1=00222a z k sin a z k cos a z k j exp jkz exp z U 2

,,

2.10 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 ()

d

x cos b a x t 002+=π

式中，d 为光栅周期，0>>b a ，0>>b a 。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下列各数值：（1）

λ2

2==d z z T ；（2）λ2=2=d z z T ；（3）λ

2=4=2

d z z T （式中T z 称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂

直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 ()

d

x cos b a y x U 0002+=π,

强度分布为

()2

00

0⎪⎭⎫ ⎝

⎛2+=d x cos b a y x I π, 角谱为

()()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪

⎭⎫ ⎝⎛1-2+=+2-⎪⎭⎫

⎝

⎛2+=⎰⎰∞

∞-0

00000y x y x y x y x y x f d f f d f b f f a dy dx f y f x j exp d x cos b a f f A ,,,,δδδππ

传播距离z 后，根据式(2.40)得到角谱

()()()()[]()()()[

]

()[]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-1⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1-+=--1⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1-2+=--1=2

222

20d λδδδλλδδδλλjkz exp f d f f d f 2b jkz exp f f a f f jkz exp f d f f d f b f f a f f jkz exp f f A z f f A y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ,,,,,,,,,

利用二项式近似有

()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21-1≅⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-1222d λz πj exp jkz exp jkz exp jkz exp d λd λ 故

[]()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1-+=2d λz πj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x y x y x y x ,,,),,(δδδ （1）λ

2

2=

=d z z T 时

()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4=22y x y x y x y x f d f f d f 2b f f a λd πj exp z f f A ,,,),,(δδδ

与()

y x f f A ,0仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

（2）λ

2

=2=d z z T 时 ()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1--⎥⎦⎤⎢⎣⎡4=22y x y x y x y x f d f f d f 2b f f a d j exp z f f A ,,,),,(δδδλπ 对应复振幅分布为

()d

d x cos2b a d x

cos b a y x U 2-+=2-=ππ,

因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。

（3）λ

2=4=2

d z z T []()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1++⎪⎭⎫ ⎝⎛1-+=πδδδj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x y x y x y x ,,,),,( 对应复振幅分布为

()

()⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡2-=d x cos jb a jkz exp y x U π, 强度分布为

()

d

x

cos b a y x I 2

π2+=22,

第三章 习题解答

3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22

20

202002exp )(2exp M y x d k j

y x d k j i i 试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+)(2exp 20200y x d k j

相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因

子

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+)(2exp 20200y x d k j

解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为π的条件是22200000

()22kr k x y d d π+==，

00r d λ=

（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点00(,)x y

2200002

01

2(,;,)(,)exp [()()]i i i i i

i h x y x y P x y j x x y y dxdy d d d πλλ∞

-∞⎧⎫=--+-⎨⎬⎩⎭

⎰⎰ 122

00(2)11i i

aJ a r circ d d a d d πρλλρ⎧⎫

⎛⎫=

=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭B 式中22r x y =

+，而

2

2

22

00(

)()i i i i

x x y y d d ρξηλλ--=+=+ （1） 在点扩散函数的第一个零点处，1(2)0J a πρ=，此时应有2 3.83a πρ=，即

00.61

a

ρ=

（2） 将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点(0)i i x y ==，于是得 0

00.61d r a

λ= （3）

（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献00(,;0,0)h x y 。按照上面的分析，如果略去h 第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近000.61/r d a λ≤范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子2

00exp[/2]jkr d 变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如/16π）就满足以上要求，则2

00/216

kr d π

≤，2

00/16r d λ≤，

也即

02.44

a d λ≥ （4）

例如600nm λ=，0600d nm =，则光瞳半径 1.46a mm ≥，显然这一条件是极易满足的。

3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 00002cos 2

1

21),(x f y x t π+=

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x 0z 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ，孔径为D 。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；

(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？

解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为0exp(sin )A jkx θ，为确定起见设0θ>，则物平面上的透射光场为

000000(,)exp(sin )(,)U x y A jkx t x y θ=

00000sin 1sin 1sin exp 2exp 2()exp 2()222A j x j x f j x f θθθπππλλλ⎧⎫⎛⎫⎡⎤⎡

⎤=+++--⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣

⎦⎩⎭ 其频谱为

{}000(,)(,)A U x y ξη=F 00sin 1sin 1sin 222A f f θθθδξδξδξλλλ⎧⎫

⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

-+-++--+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin /θλ距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率/4c D f ρλ=，于是要求

sin 4D f

θ

λ

λ≤

，0sin 44D D f f

f

θ

λλ

λ-

≤-+

≤

由此得0sin 44D D f f f

λθ-

≤≤ （1） θ角的最大值为max arcsin 4D

f θ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（2） 此时像面上的复振幅分布和强度分布为

01(,)exp 2[1exp(2)]242i i i i i A D U x y j x j x f f ππλ⎛⎫=

+- ⎪⎝⎭

205(,)cos 244i i i A I x y f x π⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦

（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得 044D D

f f f

λ-

≤ 即02D f f

λ≤

或 0max 2D f f

λ≤

（3）

0θ=时，系统的截止频率为/4c D f ρλ=，因此光栅的最大频率

0max 4c D f f

ρλ==

（4）

比较（3）和（4）式可知，当采用max θθ=倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

（1）在（3.4.5）式中，令 11

(,)

(,)(,)i i i i i

i

i

i

h x y h x y h x y dx dy

∞

-∞

=

⎰⎰

为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成

(,)(,)exp[2()]i

i

i

i

i

i

h x y j x y dx dy ξηπξη∞

-∞=

-+⎰⎰H

而 (0,0)1(,)i

i

i

i

h x y dx dy ∞

-∞

==

⎰⎰H

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义（2）不能大于1。

（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。

3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I （x i ，y i ）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。

解：由于(,)I i i h x y 是实函数并且是中心对称的，即有*

(,)(,)I i i I i i h x y h x y =，(,)(,)I i i I i i h x y h x y =--，应用光学传递函数的定义式（3.4.5）易于证明(,)(,)ξηξη=*

H H ，即(,)ξηH 为实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？

解：用公式（3.4.15）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N 个小孔的重叠面积除以N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为2/i a d λ，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波。

第五章 习题解答

5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。

答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式2 d sin （θ/2）= λ，其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录在干板上的全息光栅空间频率为

f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm