数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）
解：2*103400.0-?=x ，325*102
1102
1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需
41*102
1
-?≤-ππ，3*3102
1102
1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，
b a ?有几位有效数字（有效数字的计算）
解：3*1021
-?≤-a a ，2*102
1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a
2123****102
1
10211021)()(---?≤?+?≤
-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****102
1
0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤
-+-≤-b b a a a b b a ab
故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）
解：已知δ=-*
*x
x x ，则误差为 δ=-=
-*
**ln ln x
x x x x
则相对误差为
*
*
**
*
*
ln ln 1ln ln ln x
x
x x x
x
x x δ
=
-=
-
5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，
已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差
限与相对误差限。（误差限的计算）
解：*2******2),(),(h
h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ
绝对误差限为
πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
相对误差限为
%420
1
20525)
5,20()
5,20(),(2
==??≤
-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算）
解：%*
*a x x x =-，
)%(*
****
*na x
x x n
x
x x y
y y n
n
n =-≤-=
-
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）
解：球体积为 334)(r r v ??=π，3
*
*3
4)(r r v ??=π
欲使
%13
3
4
4)
()()(*
*3**
2***=-=??-??=-r r r r r r r r v r v r v ππ，必须
%3
1
*
*=-r r r 。 8 设?-=1
1
dx e x e
I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计
算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
解：11
11
10
110
11
1
11][-------=-=-==???n x n x
n x n
x n n nI dx e x ne
dx e x
n e
x e de x e
I 1
11
1
01)1(----=-==?e e e dx e e
I x 如果初始误差为*000I I -=ε，若是向前递推，有
0221*11*!)1()1()1()1()1(εεεεn n n n nI nI I I n
n n n n n n n -==--=-=---=-=----
可见，初始误差0ε的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推n n I n
n I 11
1-=-，其误差为
n n n I I εεεε!
)1(211)1(11)1111()1111(221*110-==?-=-=---=
可见，初始误差n ε的绝对值被逐步减少了。
第二章 插值法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
解法一（待定系数法）：设c bx ax x L ++=2)(，由插值条件，有
??
?
??=++=++=+-12412c b a c b a c b a 解得：3/4,2/1,6/1=-==c b a 。 故 3
42161)(2+-=x x x L 。
解法二（基函数法）：由插值条件，有
1)
12)(12()
1)(1(1)21)((11()2)(1(2)21)(11()2)(1()(?-+-++?-+-++?------=
x x x x x x x L
)1)(1(31
)2)(1(21)2)(1(31-++-+---=x x x x x x 3
421612+-=x x 2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
解：由插值节点与被插函数，可知，240==y ，391==y ，其线性插值函数为
5
6
5134942949)(+=?--+?--=
x x x x L 7的近似值为6.25
13
5657)7(≈=+=
L 。 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有
)
())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=
+-+-
试证明),...1,0()(0
n k x x l x n
j k j k j =≡∑=。（拉格朗日插值基函数的性质）
解：考虑辅助函数∑=-=n
j k j k j x x l x x F 0
)()(，其中，n k ≤≤0，),(∞-∞∈x 。
)(x F 是次数不超过n 的多项式，在节点i x x =（n i ≤≤0）处，有
)()()(0
=-=-=-=∑=k
i k i k i i i k i n
j k i i j k j i x x x x l x x x l x x F 这表明，)(x F 有n+1个互异实根。
故0)(≡x F ，从而∑=≡n
j k j k j x x l x 0
)(对于任意的n k ≤≤0均成立。
4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为
314567.0)
36.032.0)(34.032.0()
36.0)(34.0()(?----=
x x x L
333487.0)
36.034.0)(32.034.0()
36.0)(32.0(?----+
x x
352274.0)
34.036.0)(32.036.0()
34.0)(32.0(?----+
x x
将3367.0=x 代入，计算可得：3304.0)3367.0(≈L 。
其余项为：)36.0)(34.0)(32.0(!
3sin )(----=
x x x x r ξ
其中，36.032.0<<ξ )36.0)(34.0)(32.0(6
1
)(---≤
x x x x r 故误差的上界为：
71014.2)36.03367.0)(34.03367.0)(32.03367.0(6
1
)3367.0(-?≤---≤
r 。 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4
1π
=
x ，2
2π
=
x 三个节点处的值，写出二
次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6
cos π
及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
0)
4/2/)(02/()
4/)(0(21)2/4/)(04/()2/)(0(1)2/0)(4/0()2/)(4/()(?----+?----+?----=
ππππππππππππx x x x x x x L
2
2
)
2/(28)
2/)(4/(8π
ππ
ππ--
--=
x x x x
8508.09
2
42)
2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6
(2
2≈+=
--
--=ππππππππππL
绝对误差为：0153.018
28439924223)6
(6
cos ≈--=+-=
-π
πL
余项为：
比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 解：采用列表法来计算各阶均差，有
从表中可查得：15
1
]6,4,3,1,0[=
f 。
故6]3,1,4[=f 。其实，根据均差的对称性，6]4,3,1[]3,1,4[==f f ，该值在第一个表中就可以查到。
7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点)1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算）
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
∑
=-+-------=p
i p i p i i i i i i i i p x x x x x x x x x x x x x f x x x f 0
111101,0)
)(())(())(()
(][
而0)(=i x f p i ≤≤0，故0][1,0=p x x x f 。 8 如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解：
先构造均差表
故 )2)(1(4
11
)1(381)(---
-++=x x x x x x x N 。 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，
4)2(=p ，3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
解法一（待定系数法）：设d cx bx ax x p +++=23)(，则
c bx ax x p ++='23)(2，由插值条件，有
????
??
?=+++=++=+++=+++12
3927341242482
d c b a c b a d c b a d c b a 解得：6,15,9,2-==-==d c b a 。 故 6
1592)(23-+-=x x x x p
解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表
故 61592)2)(1(2)2)(1()1(22)(232-+-=--+--+-+=x x x x x x x x x p 10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件
1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。
解：设d cx bx ax x H +++=23)(，c bx ax x H ++='23)(2 利用插值条件，有
????
??
?=++=+++=+++=1
23124801
c b a
d c b a d c b a d 解得：1,4,4,1=-==-=d c b a 。
144)(23+-+-=x x x x H
次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，
)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃
尔米特插值及其余项的计算）。
2
3
)1(='f
设d cx bx ax x H +++
=23)(，c bx ax x H ++='23)(2
12 若0)()(],,[)(2==∈b f a f b a c x f ，试证明：
()|)( |max 8
1
|)( |max 2x f a b x f b x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤（插值余项的应用）
解：以0)()(==b f a f 为插值条件，作线性插值多项式，有
0)()()(=?--+?--=
b f a
b a
x a f b a b x x L 其余项为
))((!
2)()()()()(b x a x f x f x L x f x R --''==-=ξ
故 )(max )(8
1
)2)(2(
)(max 21)(max 2x f a b b a b a b a x f x f b x a b x a b
x a ''-=+--+?''=≤≤≤≤≤≤。
13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。（插值误差的估计）
解：由插值条件，有
??
?
??=++=-=+-2241
1
24c b a c c b a 解得：??
?
??==-=14/38/1c b a
从而 14
381)(2++-=x x x p 其余项为
)2,2()2()2(!
3)
()()()(-∈-+'''=
-=ξξx x x f x p x f x r M M x x M x r 27
3839166)4(6)(3=≤-≤
第三章 函数逼近
姓名 学号 班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设x x f πsin )(=，求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：},1{span x =?
1),(1
011==?dx ??，21),(1
021==?xdx ??，31),(1
222==?dx x ??
π
π?2
sin ),(10
1=
=?xdx f ，π
ππ
πππ?1
sin 1
cos sin ),(1
2
1
2=
+
-==?x x x xdx x f
法方程组为
????
??????=????????????????
ππ12312
121121a a
解得：π
2
1=
a ，02=a
线性最佳平方逼近多项式为：π
?2
*=
。
2 令11,)(≤≤-=x e x f x ，且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于
]1,1[- 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
解：},1{span x =?
2),(1
1
11==?-dx ??，0),(1
1
21==?-xdx ??，3
2),(1
1
222=
=?-dx x ?? 1
1
1
1),(---==?e e dx e f x
?，11
1
22),(--==?e dx xe f x ?
法方程组为
??
?
???-=??????????????--1121232002e e e a a 解得：)(2
11
1--=e e a ，312-=e a
线性最佳平方逼近多项式为：x e e e x p 3
2)(1
1--+-=。 3证明：切比雪夫多项式序列
)arccos cos()(x k x T k =
在区间[]1,1-上带权21/1)(x x -=ρ正交。（正交多项式的证明） 解：对于k l ≠，有
dx x k x l x
T T k l )arccos cos()arccos cos(11),(1
12
?
--=
??
=--=π
π
2
)cos()cos()sin )(cos()cos(cos 11dt kt lt dt t kt lt t
?++-=π
])cos()[cos(21
dt t k l t k l 0])sin(1)sin(1[210=+++--=πt k l k
l t k l k l 对于k l =，有
dx x k x T T k k )arccos (cos 11),(21
12
?
--=
??
=--=π
π0
22
2)(cos )sin )((cos cos 11
dt kt dt t kt t
2
])2sin(21[21])2cos(1[210
0π
ππ
=+=+=?t k k t dt t k 故，序列)}({x T k 在[-1，1]上带权2
11)(x
x -=
ρ正交。
4求矛盾方程组：???
??=-=+=+2
423
21
2121x x x x x x 的最小二乘解。（最小二乘法）
解法一：求1x 与2x ，使得
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x f
达到最小。于是，令
0)2(2)42(2)3(22121211
=--+-++-+=??x x x x x x x f
0)1)(2(22)42(2)3(22121212
=---+?-++-+=??x x x x x x x f
即：??
?=+=+9629232121x x x x ，其最小二乘解为：???==6429
.05714
.221x x 。
解法二：
??
??
?
?????=????????????????-24311211121x x ，记作b AX =，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
b A AX A T
T
=，即??
?
???=????????????99622321x x
解之，得??
?==6429
.05714
.221x x 。
5 已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵
????????????????????=5.515141315.2121A ，??????
???
???????????=95.8865.44y
法方程为
)()(y A X A A T T =
即
??
????=?????????????25.161405.9022226
b a 解得：2288.1=a ，4831.1=b 。
其直线拟合函数为x y 4831.12288.1+=。
6 用最小二乘原理求一个形如2bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合.
（最小二乘二次逼近） 解：等价于对数据表
作线性拟合。其法方程组为：
??
????=?????????????5.3693214.2717277699532753275
b a 解得：9726.0=a ，0500.0=b 故经验公式为 205.09726.0x y +=。
第四章 数值积分
姓名 学号 班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。
1给定求积公式)()0()()(h cf bf h af dx x f h
h ++-≈?-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取2,,1)(x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；
??
?
??=+-=+-=++3/2)()(0
)()(2322h h c h a h c h a h c b a 解得：3
,34,3h c h b h a ==
=。 故求积公式为)(3
)0(34)(3)(h f h
f h h f h dx x f h
h ++-≈
?-。 再取3)(x x f =，左边=?-=h
h dx x 03，右边=0)(3
034)(3
33=+?+-h h
h h h
再取4
)(x
x f =，左边=?-=h
h h dx x 5254
，右边=3
2)(3034)(354
4h h h h h h =+?+-
此求积公式的最高代数精度为3。
2 求积公式)0()1()0()(0101
0f B f A f A dx x f '++≈?，试确定系数0A ,1A 及0B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。
插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
数值分析经典例题
数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。 1求解析解。 2 Eular法 3 R-K法 ○1解析法 在MATLAB命令窗口执行 clear >> x=0:0.1:1; >> y=exp(x); >> c=[y]' c = 1.000000000000000 1.105170918075648 1.221402758160170 1.349858807576003 1.491824697641270 1.648721270700128 1.822118800390509 2.013752707470477 2.225540928492468 2.459603111156950 2.718281828459046 ○2Euler法 在Matlab中建立M文件如下： function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y' 在MATLAB命令窗口执行
clear >> dyfun=inline('y+0*x'); >> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1); >> [x,y] 得到 ans = 0 1.000000000000000 0.100000000000000 1.100000000000000 0.200000000000000 1.210000000000000 0.300000000000000 1.331000000000000 0.400000000000000 1.464100000000000 0.500000000000000 1.610510000000000 0.600000000000000 1.771561000000000 0.700000000000000 1.948717100000000 0.800000000000000 2.143588810000000 0.900000000000000 2.357947691000000 1.000000000000000 2.593742460100000 ○3R-K法（龙格-库塔法） 在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法 首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程： function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n)); k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1); k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2); k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3); y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y','x','y'); >> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10); >> c=[x;y]' 得到
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限. 3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？ 6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差 9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ， 试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ，上的三次埃尔米特数值分析试题及答案
数值分析教案
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