高等数学 习题册解答_9.多元函数微分(青岛理工大学)
第九章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=.
二、求下列函数的定义域：
1、2
221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2
2≠+x y y x 2、x
y
z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x
三、求下列极限：
1、222)0,0(),(sin lim y x y
x y x +→ （0）
2、
x y x x y
3)2,(),()1(lim
+∞→ (6e )
四、证明极限 2
42)0,0(),(lim y x y
x y x +→不存在.
证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2
1
, 二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数??
???
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22
y x y x y
x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，
)0,0(01
sin lim 2
2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数
1、设z=x y
xe xy + ,验证 z xy +=??+??y
z
y x z x
证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y
+=++=??+??y
z
y x z x
42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
2、求空间曲线???
??=+=Γ2
1
:2
2y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y
x y xy y x f arcsin )1(),(2
-+=, 求)1,(x f x ( 1)
4、设y
z x u =, 求
x u ?? ，y
u ?? ，z u ?? 解：1
-=??y z x y z x u ，
x x y
z y u y z
ln 2-=?? x x y z u y z
ln 1=?? 5、设2
2
2
z y x u ++=，证明 : u z
u y u x u 2222222=??+??+??
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
??
???≠+≠++=0,00,1sin ),(222
22
2y x y x y
x x y x f )0,0(0),(lim 0
f y x f y x ==→→ 连续； 2
1sin
lim )0,0(x f x x →= 不存在， 00
0lim
)0,0(0=--=→y f y y
7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
--+→
（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：
1）x y e z = )1
(2dy x dx x
y e dz x y
+-=
2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=
3）z
y
x u = 解：xdz x z
y
xdy x z dx x z y du z y
z y z y ln ln 121-+=-
3、设)2cos(y x y z -=， 求)4
,0(π
dz
解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4
,
0(|π
dz =
dy dx 2
4
π
π
-
4、设2
2),,(y
x z
z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--
5、讨论函数??
??
?=≠++=)
0,0(),(,0)0,0(),(,1sin
)(),(2
2
2
2y x y x y
x y x y x f 在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
解：)0,0(01
sin )(lim 2
222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。 0)
0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim
)0,0()0,0(),()
0,0(),(=?-?==?-?=→→y
f y f f x f x f f y x y y x x
0)
()(0
),(2
2
→?+?-??y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设t
v e v t u u z ===,sin ,，求dt
dz
解：dt
dz =1cos .(sin )lnsin (sin )t t
e t e t t t e t t e -?+??
2、 设,)(32y
x y x z -+=，求y
z x z ????,
23123(23)()3()ln(),x y x y z
x y x y x y x y y
---?=-+-++? 3、 设)(2x y f x z n
=，f 可微，证明nz y
z y x z x
=??+??2 4、 设)2,(2
2
xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ??，y x z ???2， 2
2y
z
?? 解：1222z
xf yf x
?''=+? , 1222z yf xf y ?''=-+? ,2
1112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y
?'''''''''=-+++-+?? =22
1111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+
222111122222484z f x f xyf y f x ?'''''''=+++?,222111122222484z f y f xyf x f y ?'''''''=-+-+? 5、 设)(),(y x g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y
x z ???2
解：1221z y f y f g x x y
?'''=-+? ，
2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y
?'''''''''''''=++--+--??
6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ?=，求dx
du
解：dx
du ))(()(321x f f F x F F y x ??''+'
'+''+'=。 7、设),(v u z z =，且变换???+=-=ay
x v y x u 2 可把方程+??226x z y x z ???222y z
??-=0 化为
02=???v u z ， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a
证明：v z
u z x z ??+??=?? v z a u z y z ??+??-=??2
2222222v u v u z u
z x z ??+???+??=?? 22
22222244v
u a v u z a u z
y z ??+???-??=?? 222222)2(2v u a v u z a u z y x z ??+???-+??-=???
得：0)6()
510(22
22=??-++???+v
u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2
又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =? 求 ).1(?和)1(/? (1) , (a+ab+ab 2+b 3)
§ 5 隐函数的求导公式
1、 设y x y y +=ln ，求dx
dy
解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y
=-=∴= 2、 设),(y x z z =由方程)(2
22y
z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明
xz y
z
xy x z z y x 22)(222=??+??--
3、 设),(y x z z =由方程z
y e z x +=所确定，其中f 可微，求y
x z ???2
,1,)1(z z y z z x z x z +-=??+=?? y x z
???23
)1(z x z +-=
4、 设???+==++2
22221y
x z z y x ，求dx dy ，dx dz ( dy x dx y =-，0dz
dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求y
z
x z ????,
解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z F F F y zF F x F z
z x F y F F xF F xF ''''++??=-=-=-=-
??''''
++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)
7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy
=-+3
)cos(3所确定，求x z ??, y
z
?? ,
)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=?? , )
sin(31
)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=??
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4
π
=t 处的切线及法平面方程
解：切线方程为
343z π-
== 法平面方程0)4
3(3)2(2)2(2=-+-+--π
z y x 2、 求曲线???+==++2
2222250
y
x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 0
5
3443-=--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322
22=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x
及法线方程2
2
3121-=-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一
定向量平行
证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则
),,(,,,21212121'
-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x 0),,(=?∴a b b n ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。 5、 证明曲面3
23
23
23
2a z
y
x =++0(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
方和为2
a
证明：令=),,(z y x F 3
23
23
23
2a z y x -++，则,3
2,32,3231
31
31
-
--===z F y F x F z y x
在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03
1003
1003
10=-+-+--
-
-
z z z y y y x x x
在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3
23
103
23
103
23
10
a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a
证明曲面)(x
y
xf z =上任意一点)0(),,,(0
000≠x z y x M 处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0） § 7 方向导数与梯度
1、 设函数
22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 5)3,1(j gradf +-=
θθsin 5cos )
3,1(+-=??l
f
, 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=，方向导数达到
最小值的方向为)5,1(-=-。
2、 求函数222zx yz xy u
++=在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060===γβα的
方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：：方向导数 为2
3
31)
1,2,1(+
=??-l
u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 j gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为 38)1,2,1(=
??-l
u
3、 求函数32z xy u
=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
解：：223323,2,z xy z
u xyz y u z y x u =??=??=??，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为144
)
1,1,1(=??-l u ， 4、求函数)ln(2
22x z y u ++=在（1，1，-1）处的梯度。
解：：2
222222222,2,2z y x z z u z y x y y u z y x x x u ++=??++=??++=??， j gradu 3
2
3232)1,1,1(-+=-
§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数22233),(22+--+=y x y x y x f 的极值。
答案：（31，3
1
）极小值点
2．求函数y x y x y x f ln 18ln 2),(22--+=的极值 答案：极小值3ln 1810)3,1(-=f
3. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的条件极值
解：)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
???==00y
x F F )32,32(? ，极小值为211
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）
6、 在球面22225r z y x =++（0,0,0>>>z y x ）上求一点，使函数
z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++= 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值
证明c b a ,,? 有5
3)5
(
27c b a abc ++≤ 证明：令z y x L ln 3ln ln ++=)5(2
222r z y x -+++λ 令0,0,0=??=??=??z
L y L x L ，22225r z y x =++解得驻点r z r y x 3,===。所以函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在r z r y x 3,===处达到极大值。极大值为
)33ln(5
r 。即5
3
33r xyz ≤?5
2225
23
22
2
)5
(
27)(27)(z y x r z y x ++=≤，令,,,222c z b y a x ===得5
3)5
(
27c b a abc ++≤。 7、求椭球面12
322
2=++z y x 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解： )()12
3(222
212
2
2
z y x z y x z y x F +++-++
+++=λλ ?????
?
?????
=++=++=++==++==++=01230220203
22222
212121z y x z y x z z F y y F x x F y y x
λλλλλλ )3(2312λλ+-=x ，122λλ+-=y ，)1(212λλ+-=z
22221)(d z y x -=++-=λ
613111±-=
λ 长半轴 61311+， 短半轴 6
13
11- 第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数?????=≠+=),0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(422
y x y x y x y x y x f 则 [ ]
A 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在；
C 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处不连续；
D 、
),(lim )
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在且连续是),(y x f 在),(000y x P 连续的[ ]
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非必要也非充分条件。
3、函数???
??=≠-=y x y x y x xy
y x f ,
0,,),( 在(0,0)点处 [ ]
A 、极限值为1；
B 、极限值为-1；
C 、连续；
D 、无极限。
4、),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ] （A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点)0,0(O 是函数2xy z
=的 [ ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。 6、曲面3=+-xy z e
z
在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ] （A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+y x
7、已知函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ?φ===均有一阶连续偏导数，那么u
t
?=?[ ] (A)x t y t f f ?φ+; (B) t x t y t f f f ?φ++;
(C)
t t f f ?φ?+?; (D) t t t f f f ?φ+?+?
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、=+→2
22)0,0(),(sin lim y x y
x y x （ 0 ）
２、设xyz
e z y x
f =),,(，则=????z
y x f 3（ )31(222z y x xyz e xyz ++ ）
３、设???
??=≠=,0,0,0,)
sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f ( 0 )
４、设x
y x z )2(+=，则在点)0,1(处的全微分.)2(dy dx dz +=
５、曲线??
???==z x x
y 2
2在点)1,1,1(0P 处的切线方程为( 411121-=-=-z y x )
６、曲线???=+-=++4
6423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为( 01
1121-=-=-z y x ) 三、计算题（每题6分） 1、设
)ln(),(22y x x y x f +=，求),(y x f 的一阶偏导数
2
22
2
2
2)ln(),(y x x y x y x f x +++= ， 222),(y x xy y x f y
+=。 2、设????
?
?+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P 0到)1,2(1-P 方向的方向导数 ( dy dx df 21)
1,1(-= ，52
=??l f ) ３、设f x y y x f z ,,2???
?
?=具有各二阶连续偏导数，求y x z ???2
解：y x z ???22112x xf -'='2f "-"+"+22312113
2f x y yf f x y
x z ???2
４、设??
???=+≠+++=0,00,1sin ),(222
22
222y x y x y
x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。 x x x x f x f x x 2
001sin lim 0)0,0()0,(lim →→=--不存在，故)0,0(x f 不存在，同理，)0,0(y f 也不存在。 当)0,0(),(≠y x 时，有
222/32222221
cos )(21sin ),(y x y x x y
x y x x y x f x ++-++=
2
22/3222
22
21
cos
)(21sin
),(y x y x y y x y x y y x f y ++-
++=
５、设),(y x f z =由方程0=-+
+++y x z e y x z 所确定，求dz ( dy dx dz --=)
６、设])(,)([x y y x f z +-=ψ?，f 具有连续的二阶偏导数，ψ?,可导，求y
x z
???2
21)(f x f x z '+''=??? )]([)]()[(22211211
2y f f y f f x y
x z
ψψ?'''+''-+'''+''-'=??? 221211
)(]1)()([)(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψ??
７、设?????=+-=-+0
02
2222υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求y x u ????υ,。 2
2
22222
2222,2)
(24,)(24υυυυυυυυυυυ+-=??++=??+-=
??++=??u xy yu y u xy y y u u y x x u u xu x u
８、设)(12
22222z y x f z
y x u ++++=，式中f 二阶可导，求222222z u y u x u ??+??+??
解：记222z y x r ++=
，则 1)()(-?==r r f r
r f u
y r
r f r r f y u x r r f r r f x u 3
3)
()(,)()(-'=??-'=??，z r r f r r f z u 3)()(-'=?? 3
25222)
()()]()([3)(r
r f r r f x r r f r r f r f r x u -'+?-'-''=?? 类似地，有
3
25222)
()()]()([3)(r r f r r f y r r f r r f r f r y u -'+
?-'-''=?? 3
25222)
()()]()([3)(r r f r r f z r r f r r f r f r z u -'+?-'-''=??
3
252222222)]
()([3)]()([3)(r r f r r f r r r f r r f r f r z u y u x u -'+
?-'-''=??+??+?? r
r f )(''=
四、（１０分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
设三个正数为z y x ,,，则a z y x =++，记z
y x F 1
11++=，令
)(1
11a z y x z
y x -+++++=λ?
则由
??
??????
??
?
=++=+-==+-==+-=a
z y x z y x z y x
1
10122
2
λ?λ?λ? 解出3a z y x ===。 五、证明题：（１０分）
试证：曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f 连续可导。
证明：曲面在任一点),,(z y x M 处的切平面的法向量为 {}f f n '+'--=1,,1
定直线L 的方向向量若为{}1,1,1=s
，则 0=?s n ，即s n ⊥
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
高等数学多元函数微分法
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
多元函数微分法word版
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)， 的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ） 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念 偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理 第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）多元函数微分法
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