2020年上海杨浦初三数学一模试卷及答案
杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研
初 三 数 学 试 卷 2019.12
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、
本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2
x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是
A ．2
1y x =
+（）；
B ．2
1y x =
-（）； C ．2
1y x =+；
D ．2
1y x =-.
2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3
cos 4
A =
，那么AB 的长是 A ．
52
；
B ．83
；
C ．
103
； D ．
2
73
． 3．已知a r 、b r 和c r
都是非零向量，下列结论中不能判定//a b r r 的是
A ．////a c b c r u u r r r
，
；
B ．12
a c =r r
，2b c =r r ；
C ．2a b =r r
；
D ．a b =r r .
4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；
D ．1∶4∶2.
5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是
23
6042
y x x x =-+≤≤（）
，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．
6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；
B ．△CFP ∽△APH ；
C ．△CFP ∽△APC ；
D ．CP 2＝PH ?PB ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot 3α=，那么锐角α= ▲ 度．
8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9．二次函数2251y x x =+-的图像与y 轴的交点坐标为 ▲ ．
A
D B
C
E P
F H
第6题图
第4题图
10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）
为抛物线2
2y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么 ▲ ． （填“>”、“<”或“=”）
11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距
离为 ▲ 千米．
12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP
=? 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M
、N ，那么
AMN
ABC
S S ??14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4
tan 3
A =，那么CD = ▲ ．
17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全
等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．
18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：
x (3)
-
2
- 1
-
1 … y
…
4-
1-
1-
4
-
…
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ . 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
A
B
C
第15题图
31°
第
16题图
第14题图
如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，2
3
DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .
（1）求线段EF 的长；
（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，联结AF ，请用向量a r 、b r 表示向量AF u u u r
．
21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90o，3
sin 5
B =，延长边BA 至点D ，使AD =A
C ，联结C
D . （1）求∠D 的正切值；
（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CF
FD
的值．
22．（本题满分10分）
某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30?，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45?，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.
（1）求证：AC BD
AB AD =
； （2）求证：22AC AE AD =?.
24．（本题满分12分，每小题各4分）
第21题图
A
B
C
D
B
第20题图
第23题图
A B
C
D
E
30o 45o 第22题图
A B C D
F
E
M
已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在y 轴上取点E 02（，）
，点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与
y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.
25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=?，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30?． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；
（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．
杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案
第24题图 A B
C D
P
Q
第25题图
备用图
A B
C
D
2019.12
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．
8．1； 9．0（，-1）
；
10．320； 12
13 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4
（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，
， ∴01 4.a b c c a b c -+=??
=-??++=-?
，
， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-??
=-??=-?
，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位
或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）
20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .
∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）
∵EF //AB ， ∴
EG DE
AH DA
=
. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·
························································· （1分） （2）3345a b →→
+ ··················································································· （4分）
21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ． 在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3
=5
AC AB . ·
········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ?=
?=?，∴12
5
AC BC CH k AB ?==. ·
·············· （1分） ∴9
=5
AH k . ················································································ （1分）
∵AD=AC ，∴DH =924
355
k k k +=. ·
················································ （1分）
在Rt △CDH 中，1215tan =2425
k
CH CDH DH k ∠==. ·
·································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.
∵AH//CD ，∴AH AE
CF EC =
. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴
AH AB
DF BD
=
. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴
5
8
AB BD =.∴
58AH DF =. ·············································· （1分） ∴
5
8
CF DF =. ·
······················································································ （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.
设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MC
MBC BC
∠=得BC =x . ················· （2分）
又Rt △ACM 中，由cot AC
MAC MC ∠=得AC
=. ···································· （2分）
∴40x -=. ············································································· （2分） ∴x
=20. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF
=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）
23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）
∴
AC CE
AB AD
=
. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）
∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BD
AB AD
=
. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）
∴AC CD BC AC
=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）
∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AE
AD BD
=
. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分）
∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）
24．解：（1）抛物线对称轴212m
x m
-=-=... ................................................................. （1分）
∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，
-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）
∴1
2
m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）
（2）设点F 21
(4)2
x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，）
，点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ??=四边形， ∴2111
24(4)10222x x x ??+??-++=.. .................... （1分）
∴12x =或，∴点F 9
12
（，）、24（，）
.. ............................................................................... （2分） （3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ??=四边形，又11
42422
OBE S OB OE ?=?=??=，∴6BEF S ?=.
过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .
∵162BEF S BE FH ?=?=
，又BE =
FH =............................... （1分）
又BF ==
BH ∴在Rt BFH ?中，tan ∠EBF=3
584
FH BH ==.................................................................. （1分）
设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.
∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）
∴tan ∠PFG=3
4PG FG =.
又FG =4，∴PG =3.
∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）
25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.
在Rt BPH ?中，∵BP =3，∠ABC =60°
，∴32BH PH =，................................. （2分）
在Rt PCH ?
中，35422CH PC =-
==，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ?
中，12BH x PH =
，. ∴在Rt PCH ?
中，142CH x PC =-
==，........... （1分）
设PC 与对角线BD 交于点G .
∵AB//CD ，∴4
BP PG BG x
CD GC GD ===.
∴BG CG =··················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .
∴PB BG CQ CG =
，∴x y ··················································· （1分）
∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）
（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.
∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1
302
ABC ∠=?.
∵△PBG ∽△QCG ，∴
PG BG
QG CG
=
，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=?， 又∠PBQ =∠PCQ 30=?，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=?. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=?. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.
又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=?，∠PCQ 30=?，∴ 75PCB QCE ∠=∠=?. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ?
中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ?
中，PN CN ==
∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC
上时，同理可得2BP = . ...... （3分）