2012年广东省高考文科数学试题及答案(精美Word版)-2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i 为虚数单位，则复数34i i

+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -

2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =

A ．{}2,4,6

B ．{}1,3,5

C ．{}1,2,4

D ．U

3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =

A ． (4,6)

B ． (4,6)--

C ． (2,2)--

D ． (2,2)

4．下列函数为偶函数的是

A ．sin y x =

B ．3y x =

C ．x

y e = D ．21y x =+5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤??-≤??+≥?

则2z x y =+的最小值为

A ．3

B ．1

C ．5-

D 6-

6．在ABC ?中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =AC

A ． 43

B ． 3

C ． 3

D ． 32

7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A ． 72π

B ． 48π

C ． 30π

D ． 24π

8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交

于A 、B 两点，则弦AB 的长等于

A ． 33

B ． 3

C ． 3

D ． 1

9．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为

A ． 105

B ． 16

C ． 15

D ． 1

10．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ?=?．若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角0,4πθ??∈ ???，且αβ和βα都在集合|2n n Z ??∈????

中，则a b = A ．

52 B ． 32 C ． 1 D ． 12

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．函数x

x y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2

142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为?????==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和???

????-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，

若,AD m AC n ==，则AB = ．

图3 O A B

C

P D ·

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分） 已知函数),64cos()(π+

=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ． （1） 求A 的值；

（2） 设],2,

0[,πβα∈1730)344(-=+

παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．

17．（本小题满分13分）

某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．

(1) 求图中a 的值

(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y

之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数． 分数段

[)60,50 [)70,60 [)80,70 [)90,80 x ：y

1：1 2：1 3：4 4：5

18．（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=2

1AB,PH 为?PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；

（3） 证明：EF ⊥平面PAB ．

19．（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．

（1） 求1a 的值；

（2） 求数列{}n a 的通项公式．

20． （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．

（1） 求椭圆1C 的方程；

（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．

21． （本小题满分14分）

设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =．

(1) 求集合D （用区间表示）；

(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．

2012广东高考数学（文科）参考答案

一、选择题参考答案：

1-5：BAADC 6-10：BCBCD

第10解析：

由定义知：

,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2n n b a n b b b a b b b a b a n b a n a a a b a a a b a b ∈??∈??=??==?=??=??=

θθθθθ）代入得：将（ 因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 2

1 二、填空题答案：

12：),0()0,1[+∞?- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤

16.、解：分

分分42322

24cos 1)6

341cos()3( =?=?==+?=A A A A f ππππ

（2）：分分分分，由于分分分分1285

135

317155417811sin sin cos cos )cos(105

3)54(1cos 1sin 9178)1715(

1sin 1cos ],2

,0[85

4cos 5

8cos 2]6

)324(41cos[2)3

24(717

15sin 617

30sin 25)2

cos(2]6

)344(41cos[2)3

44(2222 -=?-?=-=+=-=-==-=-=∈=?==+-=-=?-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f

17.解(1):分分

3005.021)02.003.004.0(10 ==++++?a a a

(2):50-60段语文成绩的人数为： 人5100%100005.010=??? 3.5分 60-70段语文成绩的人数为： 人40100%10004.010=???4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=???

80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =??? 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=???

分8735.7100

595208530754065555 =?+?+?+?+?=

x (3):依题意：

50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=

人204021=?……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人40303

4=? ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人25204

5=?………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分

18. 解：

（1）：ABCD

PH PAD

PAD AB PAD 平面所以平面，

面又中的高

为⊥=?⊥∴?⊥⊥∴?A

AD AB AB

PH PH AD PH PH

…………………………………………………………………………4分

(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；

连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ?的中位线

ABCD )1(平面知：由⊥PH

ABCD 平面⊥∴EM

BCF 平面ＥＭ⊥∴

即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高

BG FC ?=?21S BCF =2

22121=??………………………………………………………………………6分

………………………………………………………………………………………………………………………8分

（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ

2121=PH ＥＭ＝1222

122313

1=??=??=-EM S V BCF BCF E

N FN EN FN

AB NADF AB 2

1DF //EN PAB EN PAD

PAD AB PAD

,//=?⊥∴∴=⊥∴∴?⊥∴?⊥∴⊥是距形

四边形又的中位线

是又平面，

平面平面 EN

AB PA

PA

AB PA CD CD AB

…………………………………………………………………………………………………………………13分

19. 解：(1):

21112-=a a ………………………………………………3分

11=a …………………………………………………………5分

（2）

①

②…………………………6分

①-②得：

122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分

在向后类推一次

1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分

③-④得：

2221--=-n n n a a a …………………………………………9分

221+=-n n a a …………………………………………………10分

)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分

的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分

1232-?=+∴n n a

NEF AB N

NE NF

NF AB NADF AB

EF NEF

EF NEF

AB 平面是距形

四边形平面又平面⊥∴=?⊥∴∴⊥∴?⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n

2231-?=∴-n n a ………………………………………………14分

20、 解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分 则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分 设椭圆方程为：

1122

22=++b y b x ………………………………………………………………3分

将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分 所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：12

22=+y x …………………………………………………………………………5分 （2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分 ?????=++=12

22y x m kx y 消除y

)22)(12(4)4(2221-+-=?m k km ………7分

化简得：

12222=-k m ①………………………………………………………8分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得：

???=+=x

y m kx y 42 消除y 得：

0)42(222=+-+m x km x k

04)42(2222=--=?m k km ……………………………………………………………………9分 化简得：

1=km ② …………………………………………………………………………10分 将②代入①解得：01224=-+k k 解得：1,12

1(,122-==-==k k k k 或者舍去），故 11,11-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 故切线方程为：11--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分

21. 解：（1）

0)22(4)12(222=-+++m kmx x k

集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x

a a 624)]1(3[2??-+-=?

)3)(13(3--=a a

(1):当0

1<∈==?=x R x A B A D

（2）当)3(,3

10舍去时，解得===?a a 此时，集合B 的二次不等式为：

02422>+-x x ，

0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且

故：),1()1,0(+∞?=?=B A D

（3）当时，0>?即舍去）3(3

10><

)3)(31(3)131a a a x ---+=（ =

2x 4)3)(31(3)13a a a --++（ 很明显，

0,3

1012>><

A D （（）

综上所述： 当=<

a 时，),1()1,0(+∞?=?=B A D 当

时131<∈=x R x D

(2)

极值点，即导函数的值为0的点。0)(='x f