等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一

边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC

为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A

＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2A

?-∠.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3. 含有30°角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关角度的计算题

例1、（2016春?太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，

∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．

【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．【答案与解析】

解：∵AB=BD，

∴∠BDA=∠A，

∵BD=DC，

∴∠C=∠CBD，

设∠C=∠CBD=x，

则∠BDA=∠A=2x，

∴∠ABD=180°﹣4x，

∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，

解得：x=25°，所以2x=50°，

即∠A=50°，∠C=25°．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．

【答案】

解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，

则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x

在△ABC中，根据三角形内角和得，

x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②

由①，②解得x＝36°

∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

例2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数

1

14070

2

=??=?；

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．

∴其余各角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．

例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

【答案与解析】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；

(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105

=?=．

2

这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．

由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．

∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )．A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm

【答案】A；

解：∵|AC－BC|＝2cm，∴AC－BC＝±2．

又BC＝8．

∴AC＝10或6．

∴AB＝10（cm）或（6cm）．

类型三、等腰三角形的性质及其运用

例4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．

求证：∠ACB＞∠ABC

【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC即可．

【答案与解析】

证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，

∵AE=AC，

∴∠AEC=∠ACE，

∵∠AEC＞∠B，

∴∠ACB＞∠ABC．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE和∠AEC ＞∠ABC是解此题的关键．

【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长

BC至点E，使CE=CD．

求证：DB=DE．

【答案与解析】

证明：如图，在△ABC中，

∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠2=60°，

∵BD是中线，

∴BD是∠ABC的平分线，

∴∠1=30°，

∵CE=CD，

∴∠E=∠3，

∴∠E=∠2=30°，

∴∠E=∠1，

∴DB=DE．

类型四、等腰三角形的判定

例5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．

（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；

（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；

（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；

（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，

OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？

【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；

（2）由等腰三角形两腰相等求解；

（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；

（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度．

【答案与解析】

解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．

∵BO平分∠ABC，

∴∠DBO=∠CBO，

∵DE∥BC，

∴∠CBO=∠DOB，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，

∴△DBO是等腰三角形，

同理△EOC是等腰三角形；

（2）∵BD=4、CE=3，

∴由（1）得出DO=4，EO=3，

∴DE=DO+OE=4+3=7；

（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；

∵DO=DB，OE=EC，

∴△ADE的周长=AB+AC，

∵AB=12、AC=9，

∴△ADE 的周长=AB+AC=12+9=21；

（4）∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，

∴△BDO 和△ECO 是等腰三角形，

∴BD=DO ，CE=OE ，

∵BC=16，

∴△ODE 的周长为16．

即△ODE 的周长等于BC 的长度．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．

【变式】如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列四个条件： ①∠EBD=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC ．

上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．

【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC 是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC 是等腰三角形；

证明：∵在△EBO 和△DCO 中，

∵，

∴△EBO ≌△DCO （AAS ），

∴BO=CO ，

∴∠OBC=∠OCB ，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB ，

即∠ABC=∠ACB ，

∴AB=AC ，

∴△ABC 是等腰三角形．

类型五、 含有30°角的直角三角形

例6. 如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A=60°.求证：BD=3AD.

【答案与解析】证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，

又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°

∴在Rt △ACD 中，AD=

2

1AC ， 又∵∠ACB=90°，

在Rt △ACB 中，

∴∠B=30°， ∴AC=

21AB ∴AD= 14

AB ， 则AD=31BD ，即BD=3AD. 【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD ，AB=2BC ，从而可推出

AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．

【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，

∴∠ABC=180°﹣120°=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，

又∵∠ABC=∠DCB=60°，

∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴BC=2CD=2×4=8cm．

类型六、反证法

例7.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

【答案】已知：△ABC

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）

A . a= —2

B . a= —1

C . a=1 D. a=2

【答案】A．