圆锥曲线导数及其应用测试题含答案

导数及其应用、圆锥曲线测试题

一、选择题

1、双曲线13

22

=-y x 的离心率为 ( ) A ．

552 B ．2

3

C ．332

D ．2 2、已知23)(23++=x ax x f 且4)1('=-f ，则实数a 的值等于 ( )

A ．

193 B ．163 C ．133 D ．103

3、抛物线281

x y -=的准线方程是( ).

A. 321=x

B. 2=y

C. 32

1

=y D. 2-=y

4、函数x x x f +=3)(的单调递增区间是 ( )

A ．),0(∞+

B ．)1,(-∞

C ．),(∞+-∞

D ． ),1(∞+

5、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e

5x (e 为双曲线离心率)，则有( ) A ． a ＝2b B ．a ＝5b C ． b ＝2a D ．b ＝5a 7、函数)22(9323<<---=x x x x y 有（ ）

A ． 极大值5，极小值27-

B ． 极大值5，极小值11-

C ． 极大值5，无极小值

D ． 极小值27-，无极大值

8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

9、已知动点M 的坐标满足方程|12-4y 3x |522+=+y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A ． 椭圆 B ．抛物线 C ． 双曲线 D ． 以上都不对 10、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）

A ．5 , —15

B ．18 , —15

C ．5 , —4

D ．5 , —16

11、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ）

A ．3

B ．

52 C ．2 D ．32

12、已知12F F 、是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ，若1MF 的

中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A.324+ B.

13- C.

2

1

3+ D. 13+

二、填空题 13、

=-+i

i

11 14、已知函数53

123

-++=

ax x x y 若函数在R 总是单调函数，则a 的取值范围是 15、直线1-=kx y 与双曲线19

42

2=-y x 有且只有一个交点，则k 为 16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)

()(2

>-'x

x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2

>x f x 的

解集是 .

三、解答题

17、已知顶点在x 轴上的双曲线满足两顶点间距离为8，离心率为

4

5

，求该双曲线的标准方程。 18、判断函数12432)(23+-+=x x x x f 的单调性，并求出单调区间。

19、相距1400m 的B A ,两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340s m / （1）问炮弹爆炸点P 在怎样的曲线上，为什么？（不说明理由不得分） （2）建立适当的坐标系，求上述曲线的标准方程。 20、函数443

1)(3

+-=

x x x f . （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）当实数a 在什么范围内取值时，方程0)(=-a x f 有且只有三个零点。 21、已知过)23(-，T 的直线l 与抛物线x y 42=交于Q P ,两点，点)2,1(A （1）若直线l 的斜率为1，求弦PQ 的长

（2）证明直线AP 与直线AQ 的斜率乘积恒为定值，并求出该定值。

22、设cx bx ax x f ++=23)(的极小值为8-，其导函数)(x f y ‘=的图象经过点),0,32

(),0,2(-如图所示，

（1）求)(x f 的解析式； （2）求函数的单调区间和极值；

（3）若对[]3,3-∈x 都有()m m x f 142-≥恒成立，求实数m 的取值范围.

13、 i 14、),1[∞+ 15、2

3

210±=±

=k k 或 16、()()1,01,-+∞U 17、因为已知顶点在x 轴上的双曲线满足两顶点间距离为8，离心率为

4

5

所以4

5

82==

=a c e a 而222b a c += 即916

2

2

==b a 所以双曲线的标准方程为19

162

2=-y x

18、因为12432)(23+-+=x x x x f 所以 2466)(2'-+=x x x f 当02466)(2'>-+=x x x f 时，即2

1712171--<+->

x x 或时，函数递增 当02466)(2'<-+=x x x f 时，即

2

1712171+-<<--x 时，函数递减 所以，函数的增区间为),2

171[,]2171,

(∞++----∞ 函数的减增区间为]2

171,2171[

+---。 19、（1）由听到炮弹爆炸声的时间相差3s 可知，PB PA 与的距离之差的绝对值为一个定值3403?，且该定值||140010203403AB =<=? 由双曲线的定义知爆炸点在一条双曲线上。

（2）以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则由（1）知

140021020

2==c a

所以，双曲线的标准方程为

1229900

2601002

2=-y x 20、解：⑴因为443

1)(3

+-=

x x x f 所以)2)(2(4)(2'+-=-=x x x x f 令0)(=x f ‘ 解得2221-==x x

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单调增区间为)2,(--∞，),2(+∞ 单调减区间为)2,2(- 因此当2-=x 时，)(x f 有极大值，且极大值为328)2-(=

f 当2=x 时，)(x f 有极小值，且极小值为3

4

)2(-=f

（2）由（1）知函数)(1x f y =的图像为右图所示 方程0)(=-a x f 只且只有三个零点等价于函数)(1x f y = 与函数a y =2的图像有且只有三个交点。 所以a 的取值范围是 3

28

34<

<-

a 。 21、由已知得，直线l 的方程为32-=+x y 即5-=x y

联立方程，???=-=x y x y 45

2 化简求解知025142=+-x x

设),(11y x P ),(22y x Q 所以1421=+x x 2521=x x 所以382541411||2=?-+=PQ

（2）当直线l 的斜率存在时，设斜率为k l 的方程为)3(2-=+x k y

联立方程，???=--=x y k kx y 42

32 化简的04129)446(2222=+++++-k k x k k x k

设),(11y x P ),(22y x Q

所以 2221446k k k x x ++=+ 2

2214

129k k k x x ++=

同理知 k y y 421=

+ k

k y y 81221--=? 所以直线AP 与直线AQ 的斜率乘积为1

)(4

)(21212212121212211++-++-=--?--=x x x x y y y y x y x y m 所以2-=m

当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为3=x 联立 ???==x

y x 43

2

)32,3(P )32,3(-Q 所以直线AP 与直线AQ 的斜率乘积为21

32

3213232-=---?--=

m 证明直线AP 与直线AQ 的斜率乘积恒为定值，该定值为—2。

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22、)),

0,32

(),0,2()(',23)('2-=++=的图像经过点且x f y c bx ax x f Θ

由图象可知函数)32,2(,)2,()(---∞=在上单调递减在x f y 上单调递增，在)

,32

(+∞上单调递减，

（3）要使对

m m x f x 14)(]3,3[2

-≥-∈都有恒成立， 只需

.14)(2min 即可m m x f -≥

由（1）可知

]

3,32(,)32,2(,)2,3[)(在上单调递增在上单调递减在函数---=x f y 上单调递减 故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m