导数及其应用测试题

导数及其应用测试题

一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3-3

2

t 2+2t ，那么速度为零

的时刻是( )

A 0秒

B 1秒末

C 2秒末

D 1秒末和2秒末

2 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A (1,0)

B (2,8)

C (1,0)和(1,4)--

D (2,8)和(1,4)--

3 若()2

24ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为

A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-

4、（原创题）下列运算中正确的是（ ）

①22()()()ax bx c a x b x '''++=+ ② 22(sin 2)(sin )2()x x x x ''''-=-

③222

sin (sin )()()x x x x x ''

-'= ④(cos sin )(sin )cos (cos )sin x x x x x x '''?=+

A ①④

B ①②

C ②③

D ③④

5、（改编题）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）

A.2sin y x =-

B.x xe y =

C.x x y -=3

D.x x y -+=)1ln(

6. (改编题)若函数f(x)=x 3

-3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A (-2,2)

B [-2,2]

C (-∞,-1)

D (1,+∞)

7 设函数f(x)＝kx 3

＋3(k －1)x 2

2k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是（ ）

A 、1

3

k <

B 、103

k <≤

C 、103

k ≤≤

D 、13

k ≤

8 （原创题）若函数1

()()f x x x a x a

=+

>-在3x =处取最小值,则=a ( ) A 1 B 2 C 4 D 2 或4

9 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)

可能为 （ ）

10 对于函数f(x)=x 3+ax 2-x+1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程f(x)=0一定有三个不等的实数根.这四种说法中，正确的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 11 函数f(x)＝

12e x (sinx ＋cosx)在区间[0，2

π

]上的值域为( ) A [12，122e π] B (12，1

2

2e π) C [1，2e π] D (1，2e π

)

12 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )

A

B

C

D 二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 （原创题） 已知函数3

1()138,2

f x x x =-+且,4)(0='x f 则=0x . 14 函数2cos y x x =+在区间[0,

]2

π

上的最大值是

15. 已知函数()2

x

e f x x =-，则f(x)的图象在与y 轴交点处的切线与两坐标轴围成的图形

的面积为_____________.

16（改编题）已知函数()x

f x e ex a =-+有零点，则a 的取值范围是 三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （改编题）已知函数d cx bx x x f +++=

23

3

1)(的图象过点（0，3），且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数.

（1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 在R 上的极值.

18 设函数f(x)=x+ax 2+blnx,曲线y=f(x)过P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2. （1）求a,b 的值；

A B C D

（2）证明：f(x)≤2x -2.

19 已知c x bx ax x f +-+=2)(2

3在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.

.

20 （改编题）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

803

π

立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>5)千元.设该容器的建造费用为y 千元.

（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r. 21 已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1

x

f x x >-.

【挑战能力】

★1（改编题） 对于三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数

()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为

函数()y f x =的“拐点”.现已知3

2

()322f x x x x =-+-,请解答下列问题: （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标; （2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称. ★2 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．

（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，

∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

3 已知二次函数)(x g 对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()

19()ln (,0)28

f x

g x m x m x =+++∈>R ．

（1）求)(x g 的表达式；

（2）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对任意21,x x []m ,1∈，恒有

12|()()| 1.H x H x -<

导数及其应用测试题答案

一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1、【答案】D

【解析】.∵s ＝

13t 3-32

t 2

+2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2-3t+2，令v ＝0得，t 2-3t+2＝0， 解得t 1＝1，t 2＝2.

2 【答案】C

【解析】设切点为0(,)P a b ，'2'2

()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 3 【答案】C. 【解析】

{}44

f (x)2x 2,f (x)0,2x 20,

x

x x 1)(x 2)

0,1x 0x 2,f (x)x x x 0,x 2.

=-->--

>+-><<>>>''-由条件得：令即（整理得：解得：或又因为的

定义域为所以 4、【答案】A

【解析】②2

2

(sin 2)(sin )2()x x x x '''-=-；③2224

sin (sin )()sin ()x x x x x

x x

''-'=；，

故选A

5、【答案】B

【解析】C 中'(1)0x x x y e xe e x =+=+>，所以x x y -=3为增函数. 6.【答案】A

【解析】.∵由f ′(x)=3x 2

-3=0得x=±1,∴f(x)的极大值为f(-1)=2+a ， 极小值为f(1)=-2+a ，∴f(x)有3个不同零点的充要条件为2a 0

2a 0

+>??-+

即-2

【解析】2'()36(1)f x kx k x =+-，当0,'(4)0k f >≤；当0,'()60k f x x ==-<；

0,'()0k f x <<，综合1

3

k ≤.

8 【答案】B

【解析】.2

1

()1()f x x a '=-

-,因为函数在3x =处有最小值,则一定有

2

1

(3)10,(3)

f a '=-

=-解得24a a ==或,因为x a >,所以2a =. 9 【答案】D

【解析】当x<0时，f(x)单增，f '(x)>0; 当x>0时，f(x)先增后减，f '(x)的符号应是正负正，选D

10 【答案】C

【解析】.f′(x)=3x 2+2ax-1中Δ=4a 2+12>0，故该函数必有2个极值点x 1,x 2，且x 1·x 2=-

1

3

<0，不妨设x 1<0,x 2>0，易知在x=x 1处取得极大值，在x=x 2处取得极小值，而f(0)=1，故极大值必大于1，极小值小于1,而方程f(x)=0不一定有三个不等的实数根.故甲、乙、丙三人的说法都正确. 11 【答案】A 【解析】.f′(x)＝

12e x (sinx ＋cosx)＋1

2e x (cosx －sinx)＝e x cosx ， 当0≤x≤2π时，f′(x)≥0，∴f(x)在[0，2

π

]上是增函数.

∴f(x)的最大值为f(2π)＝122e π，f(x)的最小值为f(0)＝1

2

.

12 【答案】 C

【解析】.如图，

设底面边长为x(x>0)

则底面积S ＝

2x 4

, ∴h=

V S =

S 表＝

×3+2x 4×2=x +2x 2

S′表＝

S′表＝

因为S 表只有一个极值，故x .

二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）

13 【答案】

【解析】23'()8,2f x x =-+20003

'()842

f x x x =-+=∴= 14

【答案】36

+π

【解析】'

12sin 0,6

y x x π

=-==，比较0,

,

62ππ

处的函数值，得max 6

y π

=

+15.【答案】

1

6

【解析】：函数f(x)的定义域为{x|x ≠2}，(x)== ．

f(x)的图象与y 轴的交点为(0，-)，过此点的切线斜率k=

(0)=- ．

∴直线方程为y+=-x ，即x+y+ =0 ．

直线与x 轴、 y 轴的交点为(- ，0)∪(0，-) ．∴S=

.

16 【答案】(,0]-∞

【解析】)(x f '=x e e -．由)(x f '0>得x

e e -0>，

∴2ln >x ．由)(x f '0<得，1x <．

∴)(x f 在1x =处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴0e e a -+≤， ∴0a ≤．

∴a 的取值范围是(,0]-∞

三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 【解析】（1）)(x f 的图象过点)3,0(，3)0(==∴d f 33

1)(23

+++=

∴cx bx x x f ，c bx x x f ++='∴2)(2 又由已知得3,1=-=x x 是0)(='x f 的两个根， ??

?-=-=∴??

?=?--=+-∴3

1

31231c b c b 故333

1)(23

+--=

x x x x f （2）由已知可得1-=x 是)(x f 的极大值点，3=x 是)(x f 的极小值点 =∴极大值)(x f 3

14)1(=

-f =极小值)(x f 6)3(-=f 18 【解析】(1)f′(x)=1+2ax+

b x

. 由已知条件得()()f 10

f 12

=???'=??，即1a 012a b 2+=??++=?.

解得a=-1,b=3.

（2）f(x)的定义域为（0，+∞）， 由(1)知f(x)=x-x 2+3lnx.

设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x 2+3lnx,则

g′(x)=-1-2x+3x =-()()x 12x 3x

-+.

当00;当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在（0，1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减. 而g(1)=0, 故当x>0时，g(x)≤0,

即f(x)≤2x -2.

19 .【解析】：（1）

,223)(2

-+='bx ax x f 由条件知

.38,21,31.

6448)2(,

0223)1(,

02412)2(===??

?

??=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得

（2）

,2)(,38

22131)(223-+='+-+=

x x x f x x x x f

由上表知，在区间[－3，3]上，当3=x 时，

,6110max =f 1=x 时，.

23

min =f 20 【解析】（1）因为容器的体积为

803

π

立方米, 所以3

24r r l 3

π+π=803π，

解得l =

2804r

3r 3

-， 由于l ≥2r,因此0

2πr l =2πr(2804r 3r 3-)=2

1608r 3r 3

ππ-,

两端两个半球的表面积之和为4πr 2, 所以建造费用y=160r

π

-8πr 2+4πcr 2, 定义域为(0,2］. （2）因为y′=-

2160r

π

-16πr+8πcr =()32

8c 2r 20r π--［］,0

由于c>5,所以c-2>0,

所以令y′>0得

令y′<0得

当c>5时,即

时, 函数y 在(0,2)上是先减后增的， 故建造费最小时

21 【解析】

（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=

-+

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2f f =??

?=-??即

1,

1,22

b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

,1

1ln x

x x ++所以 ?

??

? ?

?---=--x x x x x f x

x 1ln 2111ln )(2

2

考虑函数 则h′(x)=

(

)()x

x x

x x x 2

2

22

2

1122--=---

所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故 x ()1,0∈时h(x)>0可得ln ()1x

f x x >

-, x ()∞+∈，1

h(x)<0可得ln ()1x

f x x >-,

从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1

x

f x x >-.

【挑战能力】

1 【解析】（1）2()362f x x x '=-+，()66f x x ''=-.令()660f x x ''=-=得 1x =， 3(1)13222f =-+-=-.∴拐点(1,2)A -

（2）设00(,)P x y 是()y f x =图象上任意一点，则32

0000322y x x x =-+-，因为

00(,)P x y 关于(1,2)A -的对称点为00(2,4)P x y '---，把P '代入()y f x =得

左边04y =--32

000322x x x =-+--,

右边32000(2)3(2)2(2)2x x x =---+--32

000322x x x =-+--

∴右边=右边00(2,4)P x y '∴---在()y f x =图象上∴()y f x =关于A 对称

2 【解析】（Ⅰ）：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，， 列表如下：

故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．

于是由上表知，对一切(0)x ∈+，

∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，

∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2

1ln 2ln 0x x a x --+>．

故当1x >时，恒有2

ln 2ln 1x x a x >-+． 3 【解析】