高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版知识点分析

高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

抽象函数的周期与对称轴

二. 教学重、难点

重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。

三. 具体内容

1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=

3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②

由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2

4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2

b

a x += 证：要证原结论成立，只需证)2

()2(x b

a f x

b a f -+=++

令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+

则)2

()2(x b a f x b a f -+=++

5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2

(b

a +为对称中心。

证：

方法一：要证原结论成立只需证)2

(

)2

(

x b a f x b a f -+-=++

令2

a

b x x -+

=代入)()(x b f x a f --=+

则)2

()2(

x b

a f x

b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C C y x P ∈?),(00则P 关于点)0,2

(

b

a +的对称点),(00y x

b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ ∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'

【典型例题】

[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。

（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 （2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。 （3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。

（4）若)(x f 为单调增函数，则)(x

a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？ 解：（2）（3）

[例2] 若函数3

)()(a x x f +=R x ∈?有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。

解：

R x ∈?，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称

而3

)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a ∴ 3

)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3

-=--=-+f f

[例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈?均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时

12)(-=x x f ，求当31≤

解：由R x ∈?有)2()(+-=x f x f 得4=T

设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x

)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-

∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f ∴ 31≤

[例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有

2)(x x f =则

（1）)(x f 是周期函数且周期为2 （2）当]2,1[∈x 时，2

2)(x x x f -= （3）4

3

)5,2004(=-f 其中正确的是？ 解：（1）（2）（3）

[例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，

c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(b f m =，)2

(c

f n =，)11(f p =求m 、n 、p

的大小关系？

解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴

∴ 42-=-b ∴8=b 由13)4(-=-f ∴ 134

644-=-c ∴ 3=c ∴ )3

8(f m =，)23

(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >>

[例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=求)35

(πf 的值。 解：2

33sin )3()3()3

2()3

2()3

5(===-==+=πππ

ππππf f f f f

[例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈?，有)()()(n f m f n m f ?=+且当0>x 时，

1)(0<

（1）求证：1)0(=f 且当0x f （2）求证：)(x f 在R 上递减。

解：

（1）在)()()(n f m f n m f ?=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0<

设0-x 令x m =，x n -=代入条件式

有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)

(1

)(>-=

x f x f （2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<-

令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -=即

1)

()

(012<<

x f x f ∴ )()(12x f x f < ∴ )(x f 在R 上递减

【模拟试题】

一. 选择

1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=

f 则

=)2000(f （ ）

A.

2 B. 2- C. 23+ D. 23-

2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当

20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ ）

A. 400-x

B. 398-x

C. x -400

D. x -398 3. 若函数)sin(3)(?ω+=x x f ，R x ∈?都有)6(

)6

(x f x f -=+π

π

则)6

(π

f 等于（ ）

A. 0

B. 3

C. 3-

D. 3或3- 4. 函数)22

3

cos(x y -=π是（ ） A. 周期为π2的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数

D. 周期为π4的奇函数

5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ ） A. 2

2π

πθ+

=k B. ππθ+=k 2 C. 2

π

πθ+

=k D. ππθ+=k

6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ ）

A. x 2sin

B. x cos

C. x sin

D. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ ） A. 3

2π

πθ-

=k B. 6

π

πθ-

=k C. 6

2π

πθ±

=k D. 6

π

πθ+

=k

8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ ）

A. 0.5

B. 5.0-

C. 1.5

D. 5.1-

9. 设c bx x x f ++=2

)(，t x ∈?有)2()2(t f t f -=+那么（ ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f <<

D. )1()2()4(f f f <<

10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A. 0=y 对称 B. 0=x 对称 C. 1=y 对称 D. 1=x 对称

二. 填空

1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则)3()2()(πππf f f ++

)2003(πf ++Λ= 。

2. 函数)3

2sin(π

+

=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。

3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f 则当0

4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则

（1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43

(2+-≥-a a f f

（3）)1()43

(2+-<-a a f f

（4）)1()4

3

(2+-≤-a a f f 中正确的是 。

三. 解答题

1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ?、]2

1

,

0[2∈x 都有

)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f

（1）求)21(f 、)4

1(f （2）证明：)(x f 是周期函数

2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足

)(])(2[x f x b a f =+-

3. 已知c bx x x f ++=2

)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)2

1(f 与)2(f 的大小。

4. 定义在实数集上的函数)(x f ，对一切实数x 都有)2()1(x f x f -=+成立，若方程

0)(=x f 仅有101个不同实根，求所有实根之和。

试题答案

一.

1. B

2. C

3. D

4. C

5. C

6. D

7. B

8. B

9. A 10. D 二.

1. 0

2. 12

π

=x 3. 2+x x 4.（2）

三. 1. 解：

（1）∵ ]21

,

0[,21∈?x x 都有)()()(2121x f x f x x f ?=+ ∴ 0)2()2()(≥?=x

f x f x f ]1,0[∈x

∵ 2)]21

([)21()21()2121()1(f f f f f =?=+=

∵ 21

)21(a f =，2)]41

([)4141()21(f f f =+=

∴ 41)4

1

(a f =

（2）由已知)(x f 关于1=x 对称

∴ )11()(x f x f -+=即)2()(x f x f -=，R x ∈ 又由)(x f 是偶函数知)()(x f x f =-，R x ∈

∴ )2()(x f x f -=-，R x ∈将上式中x -以x 代换得)2()(+=x f x f ∴ )(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 2.

证：∵ )(x f 关于a x =和b x =对称 ∴ )2()(x a f x f -=，)2()(x b f x f -= ∴ )2()2(x b f x a f -=-令A x b =-2，则A b a x a +-=-)(22 ∴ )(])(2[A f A b a f =+-即)(])(2[x f x b a f =+- 3.

解：由)1()1(t f t f -=+知抛物线c bx x x f ++=2

)(的对称轴是1

∴ )23()21(f f =而2

32>

根据)(x f 在),1(∞+上是增函数得)2

3()2(f f >即)2

1()2(f f > 4.

解：设x u -=2即u x -=2 ∴ )3()(u f u f -=

∴ R x ∈?有)3()(x f x f -= ∴ 所有实根之和为2

303

23101=

? 注：

一个结论：设)(x f y =，R x ∈?都有)2()(x a f x f -=且0)(=x f 有k 个实根

)2(≥k ，则所有实根之和为ka