八年级上册全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.

【答案】15CP ≤≤

【解析】

【分析】

根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.

【详解】

如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，

此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，

如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，

此时CP=AC ，

Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，

故答案为1≤CP≤5.

【点睛】

本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.

2．如图，已知等边ABC

?的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF

?，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5

CM CN

==，则MN的长为_________．

【答案】6

【解析】

【分析】

作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出

1

2

4

CG BC

==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．

【详解】

解：如图示：作CG⊥MN于G，

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE与△BCF中

AC BC

ACE BCF

CE CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACE≌△BCF（SAS），

又∵AD是三角形△ABC的中线

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴

1

2

4

CG BC

==，

在Rt△CMG中，2222

543

MG CM CG

=-=-，

∴MN=2MG=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．

3．在ABC ?中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=?，则BAC ∠=______°.

【答案】80或100

【解析】

【分析】

根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，

,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得.

【详解】

由题意可分如下两种情况：

（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，

1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠

（等边对等角），

两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，

又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠

20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+?

，

由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，

20180BAC BAC ∴∠+?+∠=?

，

80BAC ∴∠=?

；

（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，

3,4B C ∴∠=∠∠=∠

（等边对等角），

两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，

又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，

3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-?

，

20B C BAC ∴∠+∠=∠-?

由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，

20180BAC BAC ∴∠-?+∠=?

，

100BAC ∴∠=?

.

故答案为80或100.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.

4．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．

【答案】53 【解析】 试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=32

BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；

S △ABC =12AC?BE=12AC×EH×3EH=13BE=13

×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣

S △FIN =223314231442

?-?-??=53，故答案为53．

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．

5．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．

【答案】30

【解析】

【分析】

根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性

质得出

1

2

COA AOP COP，

1

2

POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，

PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】

解：如图示：连接OC，OD，

∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，

∵OP=5cm，

∴

1

2

COA AOP COP，

1

2

POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，

OP=OD=5cm，

∵△PEF的周长是5cm，

∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴

111

222

30 AOB AOP BOP COP DOP COD，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．

6．如图，在第一个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一D，延长CA2到

A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2B上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第三个△A2A3E，…按此做法继续下去，第n个等腰三角形的底角的度数是

_____度．

【答案】

1752n - 【解析】

【分析】

先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝

1752n ． 【详解】

∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，

∴∠BA 1C ＝1802

B ?-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1

C 是△A 1A 2

D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝

12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°； 同理可得，

∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758

, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝

1752n ． 故答案为

1752

n -． 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.

7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，

123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1

,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________

【答案】()8,0-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n 个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA 19=9-1=8,

∴19A 的坐标为()8,0-

故答案是()8,0-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键

8．如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP ＝CQ 时，PQ 交AC 于D ，则DE 的长为______．

【答案】12

【解析】

过点Q作AD的延长线的垂线于点F.

因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.

因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.

因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，

又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.

所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=1

2

AC=

1

2

.

故答案为1 2 .

9．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.

【答案】10

3

或10

【解析】

【分析】

根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.

【详解】

当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，

∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t

当PO=QO时，

102t t

-=

解得

10

3 t=

当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时

∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t

当PO=QO时，

210

t t

-=

解得10

t=

故答案为：10

3

或10

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.

10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．

【答案】60°

【解析】

【分析】

此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时

∠ECF的值.

【详解】

分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：

在AD、AB上任意取E1、F1两点

根据对称性：

∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1

∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2

而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1

根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2

∴△CEF的周长的最小为：C1C2.

∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°

∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°

根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB

∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°

∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°

故答案为：60°

【点睛】

此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．

A ．PA P

B =

B ．PO 平分APB ∠

C ．OA OB =

D ．AB 垂直平分OP

【答案】D

【解析】

【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．

【详解】

解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥

∴PA PB =，选项A 正确；

在△AOP 和△BOP 中，

PO PO PA PB =??=?

， ∴AOP BOP ?

∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；

由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．

【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．

12．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．③④

【答案】C

【解析】

【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．

【详解】

选取①②:

在ADF ? 和BEF ? 中

1=2

{12

AFD BFE

AD BE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取①④:

在ADF ? 和BEF ? 中 1=2

{12

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取③④:

在ADF ? 和BEF ? 中

=

{

12

AF BF

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠=∠

=

∴???

∴=

∴∠=∠

∠=∠

∴∠=∠

∴=

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．

13．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD

=；②FA平分EFC

∠；③FE FD

=；④FE FC FA

+=．其中一定正确的结论有（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得

AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；

根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．

【详解】

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∵

AB AD

BAE DAC

AE AC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD，①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．

∵△BAE≌△DAC，

∴∠BEA=∠ACD，

∴∠AEM=∠ACN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，

∴∠AME=∠ANC．

在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，

∴AM=AN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．

∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACD=180°，

∴∠EAC+∠EFC=180°．

∵∠EAC=60°，

∴∠EFC=120°．

∵FA平分∠EFC，

∴∠EFA=∠CFA=60°．

∵EF=FG，∠EFA=60°，

∴△EFG是等边三角形，

∴EF=EG．

∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，

∴∠AEG=∠CEF，

在△AGE和△CFE中，

∵

AE AC

AEG CEF

EG EF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AGE≌△CFE（SAS），

∴AG=CF．

∵AF=AG+FG，

∴AF=CF+EF，④正确；

∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，

∴FE≠FD，③错误，

∴正确的结论有3个．

故选C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．

14．如图，120

AOB

∠=?，OP平分AOB

∠，且2

OP=，若点M N

、分别在OA OB

、上，且PMN

?为等边三角形，则满足上述条件的PMN

?有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.

【详解】

解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=?，

∴∠EOP=∠POF=60°，

∵OE=OF=OP ，

∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，

∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，

∴∠EPM=∠OPN ，

在△PEM 和△PON 中，

PEM PON PE PO

EPM OPN ∠?∠??

∠?∠?＝＝＝ ∴△PEM ≌△PON （ASA ）．

∴PM=PN ，

∵∠MPN=60°，

∴△PNM 是等边三角形，

∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个．

故选：D ．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.

15．如图，已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②连结AC 、BC ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④在射线AM 上截取AB ＝a ；以上画法正确的顺序是（

）

A ．①②③④

B ．①④③②

C ．①④②③

D ．②①④③

【答案】B

【解析】

【分析】

根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.

【详解】

解：已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：

①画射线AM ；

②在射线AM 上截取AB ＝a ；

③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；

④连结AC 、BC ．

△ABC 即为所求作的三角形．

故选答案为B ．

【点睛】

本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.

16．如图，在ABC ?中，120BAC ?∠=，点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：

①60EDF ?∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.

则其中正确的结论有（ ）.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60?，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.

【详解】

∵,DE AB DF AC ⊥⊥，

∴∠DEA=∠DFA=90?，

∵120BAC ?∠=,

∴∠EDF=360?-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60?，故①正确；

∵120BAC ?∠=，

∴∠B+∠C=60?，

∵点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，

∴BH=AH ，AG=CG ，

∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，

∴∠BAH+∠GAC=60?，

∵无条件证明∠GAD=∠HAD,

∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；

∵∠ADF+∠DAF=90?，∠B=∠BAH,

90BAH DAF ∠+∠≠,

∴B ADF ∠≠∠，故③错误；

∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，

∴ 60BHE ∠≠，

∴60DHG ∠≠，

∴DHG HDG ∠≠∠,

∴GD GH ≠，故④错误，

故选：A.

【点睛】

此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.

17．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，

30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°

A ．15

B ．18

C ．20

D ．25

【答案】A

【解析】

【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.

【详解】

如图，延长BD 到M 使得DM =DC.

∵∠ADB =75°，

∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.

∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，

∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，

∴∠ADM =∠ADC.

在△ADM 和△ADC 中，

∵

AD AD

ADM ADC

DM DC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADM≌△ADC，

∴AM=AC.

∵AC=AB，

∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.

∵∠ABD=60°，

∴△AMB是等边三角形，

∴∠M

=∠DCA=60°.

∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠ODC=30°.

∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，

∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，

∴∠CBD=15°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.

18．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）

A．4 B．

24

5

C．5 D．6

【答案】C

【解析】