第十二章 概率与统计

第十二章概率与统计

●网络体系总览

●考点目标定位

1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.

2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.

3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本.

4.会用样本频率分布估计总体分布.

5.了解正态分布的意义及主要性质.

6.了解线性回归的方法和简单应用.

7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力.

●复习方略指南

在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.

1.把握基本题型

应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.

2.强化双基训练

主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.

3.强化方法选择

特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.

4.培养应用意识

要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.

12.1 离散型随机变量的分布列

一、知识梳理

1.随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.

（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.

（2）若ξ是随机变量，η=a ξ+b ，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξξ x 1 x 2 … x i … P

p 1

p 2

…

p i

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中

这个事件恰好发生k 次的概率是P （ξ=k ）=C k n p k q

n －

k

. ξ 0 1 … k … n P

C 0

n p 0q n

C 1

n p 1q n －

1

…

C k

n p k q n －

k

…

C n

n p n q 0

C k n p k q

n －

k =b （k ；n ，p ）. 特别提示

二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.

（3）. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发

生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.

ξ

1 2 3 … k

… P

q

qp

p q 2

…

p q 1k -

…

我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1

k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q

二、基础训练

1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是D A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点

D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是C

3.已知随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=k

2

，k =1，2，…，则P （2<ξ≤4）等于A

A.

163 B.41 C.161 D.5

1 4.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________.

5.设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （4，p ），若P （ξ≥1）=

95，则P （η≥1）=__81

65

____. *6.如果ξ～B （20，3

1

），则使P （ξ=k ）取最大值的k 的值是________.

解析：)

()

1(k P k P =+=ξξ=k k k k k k ---++20201

201120)

3

2()31(C )32()

31(C =1

20+-k k

×21≥1， 得k ≤6.

所以当k ≤6时，P （ξ=k +1）≥P （ξ=k ）， 当k ＞0时，P （ξ=k +1）＜P （ξ=k ）， 其中k =6时，P （ξ=k +1）=P （ξ=k ）， 从而k =6或7时，P （ξ=k ）取得最大值. 答案：6或7

三、例题剖析

【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 特别提示

求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.

【例2】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

【例3】 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.

思考讨论 若本题改为：若每次取1个，用完放回再取1个，用完再放回，再取1个用完放回，则怎样求此时ξ的分布列呢?

【例4】 （05年山东卷）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7

现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.

（I ）求袋中所有的白球的个数；

（II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率.

〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒〒 四、同步练习 g3.1097 离散型随机变量的分布列

1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是B

A.5

B.9

C.10

D.25

2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于B

A.C 1012

（8

3）10

·（85）2

B.C 9

11（83）9（85）2·8

3

C.C 9

11（

85）9·（83）2 D.C 9

11（8

3）9·（85）2 3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒

数，则ξ的分布列是___ P （ξ=k ）=C k

50.3k 0.75－

k ，k =0，1，…，5_____.

4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=____

35

13

____.

5.（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（1）求ξ的分布列；

（2）求ξ的数学期望；

（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.

6.（2003年高考·新课程）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概

别为ξ、η.

（1）求ξ、η的概率分布；

（2）求Eξ、Eη.

7.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少?

8.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列.

9.（2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ.

10.(05重庆卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：

(1) 该顾客中奖的概率；

(2) 该顾客获得的奖品总价值ξ (元)的概率分布列和期望Eξ。