历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．

计算()ln(1)

d y

x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足2

20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.

3．曲面2

222

x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x y

________________. 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x

x f x =→)

(lim 0，A 为常数，求()g x '并

讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）??

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π?

≥--L

y y

x ye y xe

.

五、（10分）已知x

x

e xe y 21+=，x

x

e

xe y -+=2，x

x x e e xe y --+=23是某二阶常系数

线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22

++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n

n u x u x x e n -'=+=L ，且n

e

u n =)1(，求函数项级数∑∞

=1

)(n n

x u

之和.

八、（10分）求-

→1x 时，与∑∞

=0

2

n n x 等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（25分，每小题5分）

（1）设22(1)(1)(1)n

n x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

??+ ???

.

（3）设0s >，求0(1,2,)sx n

n I e x dx n ∞

-==?L .

（4）设函数()f t

有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??

== ???

，求2222g g x y ??+??.

（5）求直线10:0

x y l z -=??

=?与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离. 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞

'=>，

lim ()0x f x β→-∞

'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两

个实根.

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?

所确定，且22d 3

d 4(1)y x t =+，

其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=+

?在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设1

0,n

n n k

k a S a

=>=

∑，证明：

（1）当1α>时，级数

1n

n n

a S α+∞

=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数

1n

n n

a S α

+∞

=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2

2

2

1)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

2221x y z a b c

++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.

六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线

积分

422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.

（1）设L 为正向闭曲线2

2

(2)1x y -+=，证明

422d ()d 0L xy x x y

x y ?+=+??；

（2）求函数()x ?；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.

2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）求1

1cos 0

sin lim x

x x x -→?? ???

； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++??

； （3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e

?=+??=-??，求22d d y x .

二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.

三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得

()()()()

1232

0230lim

0h k f h k f h k f h f h →++-=.

四、（本题17分）设222

1222:1x y z a b c ∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2

∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.

五、（本题16分）已知S 是空间曲线2231

0x y z ?+=?=?

绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）

（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算：

（1）()d ,,S

z

S x y z ρ??；

（2）()3d S z x y z S λμν++?? 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞

-=-∑绝对收敛.

七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，

2

()d 1f x x ≤?

?请说明理由.

2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限2

1

lim(!)n n n →∞

.

（2）求通过直线2320

:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?

的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过

点(4,3,1)-.

（3）已知函数(,)ax by

z u x y e

+=，且

20u

x y

?=??. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z z

z x y x y

???--+=????. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L

x y u x x u u y +++?在右半平面与路径无

关，求(,)u x y . （5

）求极限1lim x x

x t +.

二、（本题10分）计算20

sin d x e x x +∞-?

.

三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x

=-的近似解，精确到0.001.

四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求

330()lim ()sin x x f u f x u

→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足

10

()d 1f x x =?

的连续函数()f x 都

有

10

f dx C ≤?

.

六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω

=++???，

求()F t 的导数()F t ''.

七、（本题14分）设1

n n a ∞

=∑与1

n n b ∞

=∑为正项级数，证明：

（1）若()11

1

lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞

=∑收敛；

（2）若()11

1

lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞

=∑发散.

2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.

求极限(lim 1sin n

n →∞

+.

2.证明广义积分0

sin d x

x x

+∞

?

不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.

4.

过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为

3

4

，求点A 的坐标. 二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x

x x e I x x

ππ

-?=+?

.

三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()

lim

0x f x x

→=.证明：级数1

1n f n ∞

=??

???

∑

收敛. 四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明

2sin ()d b

a

f x x m

≤

?. 五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑

=-+-+-??.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求

该最小值.

六、（满分14分）设22d d ()()

a a C y x x y

I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞

.

七、（满分14分）判断级数()()

111

12

12n n n n ∞

=+++

++∑L 的敛散性，若收敛，求其和.

2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）

1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .

2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .

3.设函数()y y x =由方程21

sin d 4y x t x t π-??

= ???

?所确定.求

d d x y x == .

4.设1

(1)!n

n k k

x k ==+∑

，则=∞→n n x lim .

5.已知13

0()lim 1x

x f x x e x →??++= ??

?，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21

d 1cos ln d d n

e I x x x π

-??

= ???

?. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有2

2|)('|B

A x f +

≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为

2)3(3

h h R -π

，

球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(2

2

2

≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分

d d d d d d I x y z y z x z x y ∑

=++??.

五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得

?-=

b a n

n n dx x f a

b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n n

A n n n n =

++++++L ，求??

? ??-∞→n n A n 4lim π.

2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞?? ?

+++= ?+++ ?

??

L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ??

+

+= ???

所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z z

x

y x y

??+=?? . （3）曲面2

2

1z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . （4）函数()[)[)

3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .

（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2

xt u x e dt +∞

-=?

，则()u x 的初等函数表达

式是 .

二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.

三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导.

四、（14分）求幂级数()()30211!

n

n n x n ∞

=+-+∑的收敛域及其和函数.

五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11

0,1f x dx xf x dx ==??

. 试证：

（1）[]00,1x ?∈使()04f x >； （2）[]10,1x ?∈使()14f x =.

五、（16分）设(),f x y 在2

2

1x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若

()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：

(

)221

,4

x y f x y dxdy +≤≤

??

.

2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim n

n f a n f a →∞???

?+ ?

?

??

?= ?

??

?

__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()

2

20

sin cos tan3lim

1sin x x f x x x

I e

x

→+=-.

3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()

2x z f e y =，若z

z x

?=?，求()f x 在0x >的表达式.

4、设()sin 2x f x e x =，求02

n a π

<<

，()()4

0f .

5、求曲面2

2 2

x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.

二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，

()()

()2

30

d d a

a

f x x

f x x >?

?.

三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω

=++???.

四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =， 证明：()10

111lim 2n n k k n f x dx f n n →∞=????-=- ? ?????∑?.

五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1

d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存

在不同的两点12,x x ，使得

()()12112

f x f x I

+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()(

)(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理

论证明()f x 为常数.

2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、1. 已知可导函数错误!未找到引用源。满足?+=+x

x tdt t f x xf 01sin )(2)(cos 错误!未找

到引用源。，则()f x =_________.

2． 求??

? ??+∞

→n n n 2

2sin lim π.

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数. 则

21

xx yy w w c

-

=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24

0(sin )

lim x f x x →=____.

5. 不定积分sin 2

sin 2(1sin )

x e x

I dx x -=-?=________.

6. 记曲面2

2

2

z x y =+和z =

围成空间区域为V ，则三重积分

V

zdxdydz ???=___________.

二、（本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数

()(cos ,sin )g t f t t =ααα.

若对任何α都有

(0)0dg dt

α=且22(0)

0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在

2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥

上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分?

Γ

++=xdz zdy ydx I .

四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有

||()1t x e f x dx +∞

---∞

≤?

，则,()a b a b ?<，2

()2

b

a

b a f x dx -+≤

?. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。若

()lim n p n n a a +→∞

-=λ，

其中λ为常数，证明lim

n n a n p

λ→∞=.