平面向量的概念。知识梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算

编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.

2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.

3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；

长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.

2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.

4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：

平面向量

平面向量的概念

平面向量的坐标表示

平面向量的基本定理

平面向量的线性运算

①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.

③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），

向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则

根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法

向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：

①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.

②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：

一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ?a a ；

（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=a ；

2．运算律

设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμa a ； （2）()λ+μ=λ+μa a a ；

（3）()λ+=λ+λa b a b 3．向量共线的充要条件

已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：

①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.

②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示

选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算

已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示

已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0?-=a b （0→

≠b ） 要点诠释：

①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成

11

22

x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，

1212x x y y 0-=等.

②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】

类型一、平面向量的相关概念

例1. 下列说法中正确的是

① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角； ④ 零向量模为0，没有方向；

⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；

⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。 【答案】①⑥ 【解析】

① 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的； ②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上；

③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角； ④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； ⑤ 向量是否共线与始点位置无关；

⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；

⑦共线向量即平行向量，非零向量AB 与CD 是共线向量，可能A 、B 、C 、D 四点共线，也可能AB 、CD 平行。

【总结升华】

从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。

举一反三：

【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:

(1) 若|a |=|b |,则a =b ； (2) 单位向量都相等；

(3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同； (4) 若a =b ，c =b ,则a =c ；

(5) 若|a |>|b |,则a >b ；

(6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行. 【答案】

(1) 错；模相等,方向未必相同； (2) 错；模相等,方向未必相同；

(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合； (4) 正确；由定义知是对的； (5) 错；向量不能比较大小；

(6) 错；规定:零向量与任意向量平行. 【变式2】在复平面中，已知点A （2，1），B （0，2），C （－2，1），O （0，0）. 给出下面的结论：

①直线OC 与直线BA 平行；②AB BC CA +=；③OA OC OB +=；④2AC OB OA =-. 其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】1122OC k =

=--，211022

BA k -==--，∴OC ∥AB ，①正确； ∵AB BC AC +=，∴②错误； ∵(0,2)OA OC OB +==，∴③正确；

∵2(4,0)OB OA -=-，(4,0)AC =-，∴④正确. 故选C. 类型二、平面向量的加减及其线性运算

例2. 如图，已知梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB 2CD =，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，设AD =a ，AB =b ，试以a 、b 为基底表示DC 、BC 、MN .

【解析】连结ND ，则

11

22AB =

=DC b ； ∵11

AB NB 22

===DC b

∴DC//NB ，DC NB = ∴1

ND AD 2

==-=-BC AN a b ； 又11DC 24

=

=DM b ∴1

DN CB DM 4

=-=-=

-MN DM b a . 【总结升华】①本题实质上是平面向量基本定理的应用，由于AD ，AB 是两个不共线的向量，那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来.

②本题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解.

举一反三：

【变式1】在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，1

3

CD CA CB λ=+，

则λ=________.【答案】

23

【解析】由图知CD CA AD =+ ①

CD CB BD =+， ②

且20AD BD +=。

①+②×2得：32CD CA CB =+，∴1233CD CA CB =

+，∴23

λ=.

【变式2】△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a ，CA =b ，1=a ，2=b ，则CD =（ ）

A. 123

3+

a b B. 2133+a b C. 3455+a b D. 4355

+a b 【答案】B

【变式3】如图,E 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,且1

4

AE AD =

,设AB =a ，BC =b ，若1

5

AF AC =

，BF k BE =，求k 的值.

【解析】

11

()55

AF AC =

=+a b ① 又1

()()4BF k BE k AE AB k ==-=b -a

而BF AF =-a ，∴(1)4

k

AF k =-a +b ②

由①②解得4

5

k =.

【变式4】若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）

A ．EF OF OE =+

B ．EF OF OE =-

C ．EF OF OE =-+

D ．EF OF O

E =--

【答案】B

【变式5】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =

Ｂ．2AO OD =

Ｃ．3AO OD =

Ｄ．2AO OD =

【答案】A

【解析】因为D 为BC 边中点，所以由平行四边形法则可知：2OB OC OD +=，

又2OB OC OA +=-，所以OD OA AO =-=. 例3.设两个非零向量a ,b 不共线，

（1）若,2,3().===AB a +b BC a +8b CD a -b 求证：A ，B ，D 三点共线. （2）试确定实数k ，使k a +b 和k a +b 共线. 【解析】（1）证明：

,2,3(),===AB a +b BC a +8b CD a -b

23()5()5∴=+=+==BD BC CD a +8b a -b a +b AB ；

,∴AB BD 共线，

又

它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.

（2）

k a +b 和k a +b 共线，∴存在实数λ，使()k k λ=a +b a +b ，

即()(1)k k λλ-=-a b ，

a ,

b 是不共线的两个非零向量， 210,10.k k k λλ∴-=-=∴-=

1k ∴=±.

【总结升华】

①证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.

②向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数与方程思想的运用.

举一反三：

【变式1】已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA PB PC AB ++=，则（ ） A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上 D ．点P 在线段AC 上 【答案】D

【解析】∵PA PB PC AB ++=，∴0PA PB PC AB ++-=，即0PA PB BA PC +++=，

∴0PA PA PC ++=，2PA CP =，∴点P 在线段AC 上.

【变式2】若a 、b 是两个不共线的向量,AB 2k =a +b ,BC =+a b ，2CD =-a b ,已知A 、C 、D 三点共线,求实数k 的值.

【答案】7k =-

【解析】(2)()AC AB BC k =+=+a +b a +b 3(1)k =+a +b ，2CD =-a b ,

A,C,D 三点共线,,AC CD ∴共线, 令AC CD λ=,λ不为零,

∴3(1)(2)k λ+=-a +b a b 2λλ=-a b ,

∴3,12.k λλ=??+=-?

∴7k =-

【变式3】已知向量a 、b 不共线，(),k k =∈=c a +b R d a -b ，如果c ∥d ，那么（ ）

A ．k=1且c 与d 同向

B ．k=1且c 与d 反向

C ．k=―1且c 与d 同向

D ．k=―1且c 与d 反向 【答案】D

【解析】∵c ∥d 且a 、b 不共线，∴存在唯一实数λ使c =λd ，

∴()k λ=a +b a -b ∴1k λλ=??=-?，∴1

1k λ=-??=-?

，故选D.

【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例2】

【变式4】已知向量,a b ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的（ ） （A ） Ａ、B 、D （B ） A 、B 、C

（C ） B 、C 、D （D ）A 、C 、D 【答案】A

类型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用

例4、（Ⅰ）（2016 全国I 高考）设向量a →

=(x ，x +1)，b →

=(1，2)，且 a b →→

⊥，则x = . （Ⅱ）（2016 全国II 高考）已知向量a →

=(m ,4)，b →

=(3,-2)，且a →

∥b →

，则m =___________. 【答案】（Ⅰ）23

-

（Ⅱ）-6

【解析】（Ⅰ）a →

=(x ，x +1)，b →

=(1，2)， 因为a b →→

⊥，所以x +（x +1）2=0， 即3x +2=0，解得x =23

-

.

（Ⅱ）因为a →

∥b →

，则-2m =12，解得m =-6.

【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,准备掌握公式,灵活运用.

举一反三：

【变式1】(2015春 拉萨期末)已知向量()1,2a =，()1,4b =-

(1)若()()23ka b a b +-，求k 的值.

(2)若()()23ka b a b +⊥-，求k 的值.

【解析】(1)

()1,2a =，()1,4b =-

()2k 2,28ka b k +=-+，()34,10a b -=-

()()23ka b a b +-

()()1024280k k ∴---+=

解得：26k =

(2)当()()

23ka b a b +⊥-时，

()()4210280k k --+=解得112

k =-

【变式2】设向量a=（1，2），b=（2，3）。若向量a b λ+与向量c=（―4，―7）共线，则λ=________. 【答案】2

【解析】(2,23)a b λλλ+=++， ∵()//a b c λ+，∴7(2)4(23)2λλλ-+=-+?=. 故填2. 【变式3】如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD =，||1AD =，

则AC AD ?=________.

【答案】3

【解析】 建系如图所示: 令B （x B ，0），C （x C ，y C ），D （0，1），

∴(,)C B C BC x x y =-，(,1)B BD x =-，3BC BD =，

∴3()3C B B C x x x y ?-=-??=??，∴(13)3

C B C x x y ?=-??=??， ((13),3)B AC x =-，(0,1)A

D =，则3AC AD ?=.

【变式4】若平面向量a 、b 满足1+=a b ,+a b 平行于x 轴，(2,1)=b ，则a =________. 【答案】（―1，1）或（―3，1）

【解析】设a =（x ，y ），则+a b =（x+2，y ―1），

由题意得221(2)(1)1110y x y x y =?++-=????=--=??

或1

3y x =??=-?.

∴a =（―1，1）或（―3，1）.

【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例3】

【变式5】若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆52

2=+y x 相切，则c 的值为（ ） A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6 D ．2或－8

【答案】A

例5．A ，B ，C 是不共线三点，点O 是A ，B ，C 确定平面内一点，若222

||||||OA OB OC ++取最小

值时，O 是△ABC 的（ ）

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心 【答案】A

【解析】设O （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）

则222

||||||S OA OB OC =++

222222

112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y =-+-+-+-+-+-

222212312332()x x x x x x x x =-+++++2222

12312332()y y y y y y y y +-+++++

22

1231233()3()33

x x x y y y x y k ++++=-

+-+ 则当1233x x x x ++=且123

3

y y y y ++=时，min S k =，故选A.

【总结升华】关注三角形的“心”，包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心.

举一反三：

【变式1】在ABC ?中，点O 满足OA AB OA AC ?=?，则点O 在ABC ?的（ ）上 A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高 【答案】D ；

【解析】∵OA AB OA AC ?=?，∴0OA AB OA AC ?-?=，

即()0OA AB AC ?-=，∴0OA CB ?=， ∴OA CB ⊥，所以点O 在ABC ?的高上.

【变式2】平面△ABC 及一点O 满足AO AB BO BA ?=?，BO BC CO CB ?=?，则点O 是△ABC 的（ ）

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心

【答案】选D.

【解析】由AO AB BO BA ?=?得()0AB AO BO ?+=

∴()()0OB OA OB OA -+= 即22

||||OB OA =

∴||||OB OA =，

同理||||OB OC =，故选D.

【变式3】平面内ABC ?及一点O 满足

||||AO AB AO AC AB AC ??=，||||

CO CA CO CB

CA CB ??=

，则点O 是ABC ?的（ ）

（A ）重心 （B ）垂心 （C ）内心 （D ）外心 【答案】C

【解析】对于

||||AO AB AO AC

AB AC ??=

的理解，其中AB AB e AB

=，即为AB 方向上的单位向量.

【变式4】在ABC ?中，点O 满足0OA OB OC ++=，则点O 在ABC ?的（ ）上 A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高 【答案】B ；

【解析】如图，以OB 、OC 为邻边作平行四边形BDCO ，

则OB OC OD OA +==-，

则点A 、O 、D 三点共线，而且在平行四边形BDCO 中，点E 为BC 的中点， 所以AE 为ABC ?的中线