高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷

东南大学

2003级高等数学（A ）（上）期中试卷

一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→?（） （A ）等价的无穷小与x ?；（B ）同价但非等价的无穷小与x ?； （C ）低价的无穷小比x ?；（D ）高价的无穷小比x ?。

2.方程内恰有在) ,(0125

∞+-∞=-+x x （）

（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。 3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)

(lim 0=-→x

x f x

则处在 0 =x f （）

（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。 二、填空题（每小题4分，共24分）

1.=?????=≠-=a x a x x

x

x x f 0.,

,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nx

nx n e

e x x x

f +++=∞

→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，

其类型是 .

3.函数Lagrange x xe x f x

处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=x

ye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()

(n f

.

6.设2

2tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dx

dy

则 三、（每小题7分，共28分）

1.求极限x x x 2cot 0

)]4

[tan(lim π

+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞

→

3.已知x x e

y x

sin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx y

d dx dy t y t x 求?

??==.

四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 6

3

<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是s m /6，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？

六、（8分）试就a 的不同取值，讨论方程a a x +=-2)(3

2的实根的个数。

七、（6分）设函数上连续在 ]1 ,0[ f ，内可导在)1 ,0( ，0)1( =f 且，证明：至少存在一点)1 ,0(∈ξ，使0)()(3=ξ'ξ+ξf f 。

八、（8分）在椭圆

)0( 12

22

2>>=+

b a b

y a

x 上求一点) ,(y x P ，使得它与另外两点)0 ,2(a A ，

)2 ,0(b B 构成的三角形的面积最小APB ?。

2004级高等数学（A ）（上）期中试卷

一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设0→x 时, 1e

3sin -x

与n x 是等价无穷小,则=n .

2.设()?????≤>-=0

,e 0,21ln )(x a x x x x f x

在0=x 处连续,则=a .

3.设,cos )(2x x x f =则()=)0(10f .

4.函数)1ln(2)(x x x f +-=在区间 内单调减少.

5.函数x x x f ln )(=在10=x 处的带Lagrange 余项的一阶Taylor 公式为 二. 选择题(每小题4分,共16分)

1.设,1

arctan 1

e 1e )(11

x

x f x

x +-=

则0=x 是)(x f 的 [ ]

(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点

2.设),(2)(x g x x f -=且)(x g 在2=x 处连续,0)(≠x g ,则)2(f ' [ ] (A) =)2(g (B) = -)2(g (C) 0= (D) 不存在

3.函数()1e

ln +-

=x

x x f 在()∞+,0内的零点个数为 [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.设曲线,1

2

122

2

-+=

--x x y 则该曲线 [ ]

(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近 (C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 三. 计算题(每小题7分,共3 5分)

1. ???

?

?-?→x x x x 1sin 1cot lim 0 2. ()?????

??????

????

?

??+-++→x

x x x x x x sin 122

02e 31ln 1sin lim 3. 设()x y y =是由方程0sin e 2=-+y x y x 确定的隐函数,求y d .

4. 设???=+=t

y t x arctan 12, 求22d d ,d d x

y

x y

. 5. 设函数(),0

,;0,

e 2

x ?????≥++<=x c bx ax x x f 且()0f ''存在,试确定常数.,,c b a 四.(8分) 证明不等式: 当1≥x 时, ()()2

11ln 1x x x +<++.

五.(8分) 求曲线()802

≤≤=x x y 的切线,使切线与直线0=y 及直线8=x 所围成的

图形的面积最大.

六.(7分) 设()

()Λ,2,1 414,011=++=

>+n x x x x n

n n ,证明数列{}n x 收敛,并求n n x ∞→lim .

七.(6分) 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且,0>ab 证明:()b a ,,∈?ηξ，使得

()()ηη

ξf b ab a f '++='2

2

23.

2005级高等数学（A ）（上）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2

2lim sin

1

x x

x x →∞

=+ ； 2．当0x →时

,()x α=2

()x kx β=是等价无穷小,则k = ;

3．设()1sin x

y x =+，则d x y

π

== ；

4．函数()e x

f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ；

5．已知函数3

2e sin ,

0()2(1)9arctan ,0

x

a x x f x

b x x x ?+

1()1e

x x

f x -=

-，则 [ ]

（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）

0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点

（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点

7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ?=+?=+?

确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x

轴交点的横坐标是 [ ]

（A ）1

ln 238+ （B ）1ln 238

-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+8．以下四个命题中，正确的是 [ ]

（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界

9．当a 取下列哪个数值时，函数3

2

()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ ] （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+??-

?-?? 11。()

3lim ln 12ln 1x

x x →+∞????++ ??????

? 12．1

lim

1n n →∞?

+?

L 13。设,)21(1)(x x x f -=求)()(x f n 14．设函数()y y x =由方程2

2

2

sin()e 0x

x y xy ++-=所确定，求d d y

x

。 四．（本题共4道题，满分29分）

15．（本题满分6分）如果以每秒3

50cm 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm 时，半径增加的速率是多少？ 16．（本题满分7分）证明不等式： 1

2

e 1e (0)x x

x x -≥+≥

17．（本题满分8分）在抛物线214y x =

上求一点21,4P a a ??

???

，(0)a >，使弦PQ 的长度最短，并求最短长度，其中Q 是过点P 的法线与抛物线的另一个交点。

18．（本题满分8分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且

(),()f a b f b a ==，证明：

（1） 至少存在一点(),c a b ∈，使得()f c c =；

(2) 至少存在互异的两点(),,a b ξη∈，使得 ()()1f f ξη''?=

2006级高等数学（A ）（上）期中试卷

一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分） 1．函数sin ()(1)

x

f x x x =

-的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；

2．已知21lim 01x x ax b x →∞

??

+--=

?+??

，则a =，b =； 3．设arctan ()y f x =，其中()f x 为可微函数，则微分d y =；

4．设3

,1(),

1

ax b x f x x x +>?=?

≤?，若()f x 在1x =处可导，则a =，b =；

5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：

（1）在0x =处不连续，但当0x →时，极限存在的函数有 （2）在0x =处连续，但在0x =时不可导的函数有

（3）在0x =处导数为0，但0x =不为极值点的连续函数有 （4）属于“

00”或“∞

∞

”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得 的有

二.单项选择题（每题4分，满分12分）

1．设()f x 是单调增函数，()g x 是单调减函数，且复合函数()()(),()f

f x f

g x ，

()()(),()g f x g g x 都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ ]

(A ) ()()(),()f

f x f

g x (B ) ()()(),()g f x g g x

(C ) ()()(),()f g x g f x (D ) ()()(),()g g x f f x

2．当0x →时，若2ln(1)y x ax bx =+--是比2x 更高阶的无穷小，则 [ ]

(A ) 11,2a b ==

(B ) 11,2a b ==- (C ) 11,2a b =-= (D ) 11,2

a b =-=- 3．下面四个论述中正确的是 [ ]

(A )若0(1,2,)n x n ≥=L ，且数列{}n x 单调递减，则数列{}n x 收敛，且其极限0a > (B )若0(1,2,)n x n >=L ，且数列{}n x 收敛，则其极限0a > (C )若lim 0n n x a →∞

=≥，则0(1,2,)n x n ≥=L

(D )若lim 0n n x a →∞

=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2

n a

x >

。 三.计算题（每题7分，满分35分）

1． 0sin lim (1cos )ln(1)x x x x x →--+ 2. 21

2lim 1x x x x -→∞-??

?+??

3．设()2

arctan ln 1x t t y t =+???=+??

，求 211

2

d d ,

d d t t y y

x x ==.

4. 设23e x y

x =，求(10)()y x .

5. 设()y y x =是由方程2

2

e 2xy

x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点

(0,2)处的切线方程.

四.（8分）

设01,2,)n x x n =

==L ，证明数列}{n x 收敛并求极限.

五.（8分）证明：当0x ≥时, 有

()()22(1)2ln(1)114arctan 2ln 1x x x x x ++-+≥-+.

六. (7分) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，试证：存在一点

(0,1)ξ∈，使得

3()

()1f f ξξξ

'=- 七．(6分) 设1

()arctan 1

n f x x x n =

-+ (其中n 为正整数)， （1）证明：()n f x 在(0,)+∞内有唯一的零点，即存在唯一的(0,)n x ∈+∞，使()0n n f x =； （2）计算极限1

lim

n n n

x x +→∞.

2007级高等数学（A ）（上）期中试卷

一.填空题（每小题4分，满分24分） 1．当n →∞时，

111k k n n --与1cos (0)a

a n

->是等价无穷小，则k =，a =；

2．已知21lim 01x x ax b x →∞

??

+--= ?+??

，则a =，b =；

3．函数1()1x

f x x

-=+带Peano 余项的4阶Maclaurin 公式是 4．()222e

sin

d d 3

1x

x x π

-?

?

++

= ?+?

?

；

5．

当某质点沿曲线y =

0M 处时, 该质点的x 坐标和y 坐标关于时间的变化

率相等，点0M 的坐标为 6．函数2

1()ln f x x x

=

的单调增加区间为 ，极大值为 . 二.单项选择题（每题4分，满分12分）

7．设对x ?∈R , 有()()()h x f x g x ≤≤, lim[()()]0x g x h x →∞

-=, 则lim ()x f x →∞

[ ]

(A ) 存在且等于零 (B ) 存在且不等于零 (C ) 一定不存在 (D ) 不一定存在

8．

极限1ln 1lim

2sin x x x x

→-∞

??

+ ?

??=-+ [ ]

(A ) 2- (B ) 2 (C) 3- (D ) 3

9．函数3()sin f x x x x =-的不可导点的个数为 [ ] (A ) 0 (B) 1 (C) 2 (D ) 3 三.计算题（每小题8分，满分32分）

10．

0x → 11. 设32ln(1)x t t y t t

=-+??=+?，求22d d y x . 12．设()

2()sin 2f x x x x =+，求(10)

()f

x .

13.试确定常数a 、b 的值，使得曲线2

y x ax b =++和3

21y xy =-+在点(1,1)-处相切，并求切线方程.

四(14).（8分）

讨论2()0)n n f x x +=≥的连续性，并指出间断点的类型（应

说明理由）.

五(15).（8分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上定义，(0)1f '=,并对任意实数x 和h ,恒有

()()()2f x h f x f h hx +=++, 证明()f x 在(,)-∞+∞上处处可导,并求()f x '.

六(16). (8分) 设1p >, 1q >, 且

111p q +=，证明：当0x >时，11

p x x p q

+≥. 七(17)．(8分) 设()f x 在闭区间[,]a b 上具有一阶连续导数，在开区间(,)a b 内二阶可导，且()()f a f b =，()()0f a f b +-''>， 试证：至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得()0f ξ''=.

2008级高等数学（A ）（上）期中试卷

一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．2

lim ln 121x x

x x →∞

?

?

-

= ?+??

； 2．当0x →时，1cos(1cos )x --与kx α

是等价无穷小，则k = ，α= ；

3．设sin x

y x

=，则2

d x y

π

=

=______________；

4．设()y y x =是由方程e tan()xy

xy y +=所确定的隐函数，则(0)y '= ； 5．()ln f x x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为_____ ______； 6．已知曲线2

y x ax b =--和2

4

2y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = .

二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）

7．设()()()()()f x x a x b x c x d =----,其中常数a 、b 、c 、d 互不相等,且

()()()()f k k a k b k c '=---, 则k 的值等于 [ ]

(A ) a (B ) b (C ) c (D ) d 8．若极限0

lim ()x x f x →存在，则下列极限一定存在的是 [ ]

(A ) ()0

lim ()x x f x α

→（α为实常数） (B )0

lim ()x x f x →

(C) 0

lim ln ()x x f x → (D ) 0

lim arcsin ()x x f x →

9． 已知()f a '存在,则220(2)()

lim

h f a h f a h h

→+--= [ ] (A )()2

()f a ' (B ) 2()()f a f a ' (C ) 6()()f a f a ' (D ) 3()()f a f a ' 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分）

x → 11. （6分） 2ln sin lim

ln cos x x x

x x

→+∞++

12．（7分）设12

3arctan e 6x t t y t t

π+??=++??=+?，求21

2

d d t y x =.

13. （7分）设()2

sin ()y f x =，其中函数f 具有二阶连续导数，求22d d y

x

.

四(14).（7分）已知函数2e cos ,0()sin(),0x a x x f x bx x x x

?+≤?

=?+>?

?可导，试求常数a 和b 的值.

五(15).（7分）试求函数3e ()lim e sin tx tx t x x

f x x

→+∞-=-的间断点，并指出间断点的类型（需说明

理由）.

六(16). (9分)设1

,0,1()ln 1,1x x x L x x x -?>≠?

=??=?

1()(0)2x L x x +≤≤

>.

七(17)．(6分) 设函数f 在区间[,]a b 上二阶可导，且()()f a f b =，证明：对于任意的

0α>，都存在(,)a b ξ∈，使得 ()

()f f b αξξξ

'''=

-.

2009级高等数学（A）（上）期中试卷

2003级高等数学（A ）（上）期末试卷

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程

?

+-=y

x t x dt e 1

2

确定，则

==0

x dx

dy

（ ）

.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A

2．曲线41

ln 2+-+

=x x

x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A

3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）

4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）

.

2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( *

***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===

二、填空题（每小题3分，共18分）

1．_____________________)(lim 2

1

=-→x x

x x e

2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx

dy

3．设,0,

00

,1sin )(?????=≠=α

x x x

x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ?

+-=

2

3

2

4

)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x

xe

y -=的拐点是__________

6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分

dx x x

?+2

3

2)1(arctan 2．计算积分dx x

x

x ?5

cos sin 3. 计算积分

dx e

x x ?

-2

3

2

4. 计算积分?

π

+0

cos 2x

dx

5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求x

x dt

du u f t x

t

x sin ))((lim

3

00

??→

6.求微分方程0)2(22

2=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程x

xe y y y 223-=+'-''满足条件0,000

='===x x y y

的特解

五.（8分）设平面图形D 由x y x 22

2

≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:???-=+=t

t y t

t x 252

2与x 轴所围成，试求其质量m 七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一

点],[a a -∈ξ，使得

)(3

)(3

ξ''=?

-f a dx x f a

a

2004级高等数学（A ）（上）期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()???

?

??

??+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.

2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2

1x

x xF x f +=,则()=x f . 3.

()()

=-+?--x x x x x

d e e

11

1

2005

.

4. 设()t u u x f x

t

d d 10sin 1

4????

? ??+=

,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23

>+=?

x t

t x f x x

,则当=x 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

(A)()()x x βα2 (B)()()x

x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα?+1ln (D)()()x x βα+

2. 曲线()()

211

arctan

e

21

2

+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*

y [ ] (A) ()x

x b ax 22

e

+ (B) x

ax 2e (C) ()x

b ax 2e

+ (D) ()x

x b ax 2e

+

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有

()()??≤b

a

d c

x x f x x f d d .

(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()??

+=T

T

a a

x x f x x f 0

d d .

(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. ()()3

2

d cos ln lim

x

t

t t x

x ?+→

2. 设函数()x y y =是由方程2e 2

2

=-+xy

y y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点

()2,0处的切线方程.

3.

x x x x d cos cos 0

42?

-π

4. ?

∞

+1

3

d arctan x x

x

5. 求初值问题 ()()??

?

??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.

四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影

部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小

五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b

a a

b a b +->

2ln

. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件

()()()0d 1

10=+-

+'?x

t t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e

≤≤-x f x

成立.

七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且

()()0d tan d 1

1

11

==??--x x x f x x f ,

证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .

x

ln

2005级高等数学（A ）（上）期末试卷

一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

1． 220

6

sin d lim

x x t t x

→=? ；

2．曲线3

2

2(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ；

3．设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数，则d d y

x

= ； 4．设f 在区间[0,]π上连续，且0

()sin ()d f x x f x x π

=+

?

，则()f x = ；

5．设2

1,0

()e ,0

x x x f x x ?+

(2)d f x x -=? ；

6．

2

sin d cos x

x x x

π

π

-

=+? ； 7．曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分 表示；

8．已知1e x

y -=与22e x y =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解，则常数

a = ，常数

b = ；

9．0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的 条件。 二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．

设0

()sin x f x t t =

?

，求()f x '

2．2e 1

d e 4

x x

x -+? 3

．0

x π

?

4

．

1

+∞

?

三．（本题满分9分）设有抛物线2

:(0,0)y a bx a b Γ=->>，试确定常数a 、b 的值，使得（1）Γ与直线1y x =-+相切；（2）Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。

四．（本题共2小题，满分14分）

1．（本题满分6分）求微分方程(

)

2

2

2e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。

2．（本题满分8分）求微分方程22e x

y y x '''-=+满足初始条件9

(0)2,(0)4

y y '==

的特解。 五．（本题满分7分） 第4页 试证：（1）设e u >，方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ；

（2）当u →+∞时，

1()x u 是无穷小量，且是与ln u

u

等价的无穷小量。 六．（本题满分6分）

证明不等式：111

113521

n <++++<+-L ， 其中n 是大于1的正整数。

2006级高等数学（A ）（上）期末试卷

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．2

e d lim

(cos 1)

x

t x x t

x x →-=-? ；

2．曲线23

1x t y t

?=+?

?=??在2t =对应的点处的切线方程为 ； 3．函数()ln(1)f x x x =-+在区间 内严格单调递减； 4．设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数，则(0)y '= ；

5．

51

241d 1x x x x -?-= ++?? ； 6．设)(x f 连续，且2

01(2)d arctan 2

x

tf x t t x -=?，已知1)1(=f ,则21()d f x x =? ；

7．已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++?=?2

1x

x

y y ，当0→?x 时，α是x ?的 高阶无穷小，已知π=)0(y ，则_____)1(=y ；

8．曲线1ln e y x x ??

=+

???

的斜渐近线方程是 ； 9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x x

y y ==，则该方程为

.

二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分

x 2．计算定积分

20

sin d x x x π?

3．计算反常积分

()21

1

d 1x x x +∞

+?

4．设

1

()x G x t =?，求 10

()d G x x ?

三．（本题满分7分）求曲线ln cos 1

sin 2

x t

y t =??

?=??自0t =到4t π=一段弧的长度。 （第3页） 四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分） 1．求微分方程()

2sin cot yy x y x '=-的通解。

2．求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处与直线3

2

y x =相切。 五．（本题满分7分）设1a ≤，求积分121

()e d x I a x a x -=

-?

的最大值。 （第4页）

六．（本题满分6分）设函数)(x f 在]4,2[上存在二阶连续导数，且0)3(=f ，证明：至少存在一点]4,2[∈ξ，使得 42

()3

()d f f x x ξ''=?

。

2007级高等数学（A ）（上）期末试卷

5．

设()y y x x =<<是由方程22

00e d cos d 0y x t t t t -=??确定的隐函数，则()y x 的单调增加区间是，单调减少区间是； 6．曲线2e x

y x -=的拐点坐标是，渐进线方程是；

7．2222lim 3123n n n n n n n n →∞??+++=

?+++??

L ； 一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．(

)

2

10

lim e x

x x x

→-=；

2．设1

sin

x

y x

=，则d y =；

3．已知(3)2f '=，则0

(3)(3)

lim sin 2h f h f h

→--=；

4．对数螺线e θ

ρ=在2

π

θ=对应的点处的切线方程是；

8．

)

23cos sin d x x x π

π-

=?；

二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）

10.

20

x x ? 11

．(arctan 1d x ?

三（13）．（本题满分8分）设20e ,

()0,x x x f x x x ?≥?=?

，2

21e ,02()10,2

x x F x x x ??≥?=?

（1）问)(x F 是否为)(x f 在),(∞+-∞内的一个原函数？为什么？（2）求

()d f x x ?.

四（14）．（本题满分7分）设2sin()()d x

x xt f x t t =

?，求2

0()

lim x f x x →. 五（15）．（本题满分6分）求微分方程(cos sin 2)d d 0y x x x y +-=的通解.

六（16）．（本题满分8分）设()f x 、()g x 满足()(),()2e ()x

f x

g x g x f x ''==-，且

(0)0,(0)2f g ==，求20()()d 1(1)g x f x x x x π

??

- ?++??

?. 七（17）．（本题满分8分） 设直线)10(<<=a ax y 与抛物线2

y x =所围成的图形面积为

1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，

并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 八（18）．（本题满分6分）设12()sin d x x

f x t t +=

?

，求证：当0x >时，1

()f x x

<

.

2008级高等数学（A ）（上）期末试卷

9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sin y y x ''+=的特解形式为

*y =.

12。

2

e cos d x x x π

+∞

-?

5．二阶常系数线性非齐次微分方程265e x y y y '''+-=的特解形式是*

y = ；

6．设θ是常数，若对0x ?>，有

ln d ln 2x

x t t x θ??

= ???

?，则θ= ；

8．设()f x 是连续函数，且0

()sin ()d f x x f x x π

=+

?

，则0

()d f x x π

=? ；

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）

10．300sin d lim (1cos )x

x t t t x x →-?

11. ()

2

40

(1)sin(1)d x x x x --?

12．已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +，求()d xf x x '?

(0)(0),(0)(0),(0)(0)p f p f p f ''''''===。

14

。

x

三（15）．（本题满分8分）求微分方程sin 2e x

y y x ''+=+满足初始条件0

1x y

==，

0x y ='

=的特解.

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．

函数1

()2d (0)x

F x t x ?

=

->??

?

的单调增加区间为 ； 2．已知20

6

arctan()d lim

1t t x ax x

t

→=?，则a = ；

3．曲线32

635y x x x =-++的拐点是 ；

4．曲线3

2

3(2)x y x =+的斜渐近线的方程是 ；

7．

24

sin d x x π=?

；

9．设21()cos d x

f x t t =?

，则1

()d f x x =?

. 13．设2

2

sin ()2d ,()1x x t f x t p x ax bx c t

+=+

=+++?

，求常数a 、b 、c ，使得

四（16）．（本题满分7分）设函数f 在区间[0,)+∞上连续，且恒取正值，若对(0,)x ?∈+∞，

f 在[0,]x 上的积分（平）均值等于(0)f 与()f x 的几何平均值，试求()f x 的表达式.

五（17）．（本题满分7分） 在xOy 平面上将连接原点(0,0)O 和点(1,0)A 的线段OA （即

区间[0,1]）作n 等分，分点记作,0k k P n ??

???

，1,2,,1k n =-L ，过k P 作抛物线2y x =的切线，切点为k Q ，（1）设三角形k k P Q A ?的面积为k S ，求k S ；（2）求极限1

1

1lim n k n k S n -→+∞=∑.

六（18）．（本题满分6分）

1

与(ln 1+的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）

七（19）．（本题满分6分）设()f x 在区间[0,2]上连续可导，(0)(2)0f f ==，求证：

20

02

()d max ()x f x x f x ≤≤'≤?

.

2009级高等数学（A ）（上）期末试卷

1．函数1

()[]

f x x x =

-的定义域是 ，值域是 ； 2．设ln ,0,1()1,

1x

x x f x x a x ?>≠?

=-??=?，当a = 时，()f x 在1x =处连续；

3．曲线2

2(1)

x y x =+的斜渐进线的方程是 ；

4

．

(2

11

d x x -=?

；

5．函数22

(1)e d x t y t t =-?

的极大值点是x = ；

6

．

= ；

7．设()y y x =是由2

1

e d 0x y

t x t +--

=?

所确定的函数，则

d d x y x

== ；

8．曲线族12e e x x

xy C C -=+（1C ,2C 为任意常数）所满足的微分方程是 ；