高数(A)(下)试卷(04～10)东南大学

04～09级高等数学（A ）（下册）试卷

2004级高等数学（A ）（下）期中试卷

一. 填空题（每小题4分，共24分）

1. 设0i 31=--z e , 则z = _______.

2. 改变积分次序

?

??

?-+x

x

y y x f x y y x f x 20

21

10

d ),(d d ),(d = _______.

3. 设L 为圆锥螺线x = t cos t , y = t sin t , z = t (0 ≤ t ≤1) , 则?

L

s z d = ___.

4.由方程2222=+++

z y x xyz 所确定的函数z = z (x , y )在点(1,0,-1)处的全微分d z

=____.

5. )ln(2

2

z y x u +-=在点M (1,0,2)沿方向l

=_______方向导数取最大值 .

6. ),0,1(2

]2)2sin([div πk j z y y i x +++=_______.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 若二元函数z = f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)处的两个偏导数

y

z

x z ????,都存在, 则[ ]. (A) f (x , y )在点P 0处连续, (B) f (x , y 0)在点x = x 0处连续, (C)y y

z x x

z z P P d d d 0

0??+

??=

, (D) A, B, C 都不对.

2. 曲线?????=+=

4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与x 轴的正向所成的角度是[ ].

(A) 2

π, (B) 3π, (C) 4π, (D) 6π.

3. 设函数f (x , y )为连续函数, 则

11

221

dx yf (x ,y )dy -=?

? [ ].

(A) ??

102

1

02d ),(d 2y y x yf x

, (B) ??10

20

2d ),(d 4y y x yf x x

,

(C) ??

-10

22d ),(d 2x y x yf y y

y

, (D) 0.

4. 圆柱面x 2+z 2 = a 2被圆柱面x 2+y 2 = a 2所截部分的面积为[ ]. (A) 8a 2, (B) 4a 2, (C) 2a 2, (D) a 2.

三. (每小题7分,共21分)

1. 设z = xf (xy , e xy

), 其中f (u , v )有二阶连续偏导数, 求x z ??及x

y z

???2.

2. 已知解析函数f (z )的虚部v (x , y ) = 2xy - y , 且f (0) = 0, 求f (z )的表达式, 并用z 表示.

3. 求原点到曲面(x - y )2 - z 2 = 1的最短距离.

四. (第1题7分,其余每小题8分, 共39分)

1. 计算??++)

(22d σσy x y x ，其中(σ)={(x , y ) | x 2 + y 2

≤ 1, x + y ≥ 1}.

2. 计算

???Ω

+v xy z d )2(, 其中Ω为由半椭球面

x 2 + 4y 2 + z 2 =1(z > 0)与锥面

22y x z +=所围成的区域.

3. 计算

?+++-C

y x y

y x x y x 22d )(d )(, 其中C 为摆线x = t - sin t - π, y = 1 - cos t , 从t = 0到t = π的一段.

4. 设计算??

∑

++∧+∧+2

222d d d d )4(z y x x

z yz z y z , 其中∑为半球面2

29y x z --=的上侧.

5. 设计算z y x y x z x z y C

d )(d )(d )(-+-+-?,其中C 是曲线???=+-=+21

22z y x y x , 从z 轴正向往

z 轴负向看去, C 的方向是逆时针方向.

2005级高等数学（A ）（下）期中试卷

一. 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1. 设(,)z z x y =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = 。

2. 设1i

z i

-=，则Im z = 。

3. 设()f x 为连续函数，1

()d ()d t t y

F t y f x x =??

，则(2)F '= 。

4.

()21

cos d d x y y x y x y +≤+=??

。

5. 设S 为平面

1234x y z ++=在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ??

++∧ ??

???= 。 二. 单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6. 设()12

2

2

11

d d I x xy f x y y -?=

++???

?

，1

22200

d ()d I f π

?ρρρ=??，其中()f t 是连

续函数，则有 [ ] (A)12I I <

(B)12I I > (C) 122I I = (D)12I I =

7. 曲线22260

x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面

[ ]

(A)0y = (B)0x = (C)0z =

(D)0x y z +-=

8. 设L 是摆线sin 1cos x t t y t π=--??=-?

上从0t =到2πt =的弧段，则22()d ()d L x y x x y y

x y -++=+?

[ ]

(A)π (B)π-

(C)0 (D)2π

9. 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是

[ ]

（A ）(),f x y 在点(),x y 连续

（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界

（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在 （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三. 计算下列各题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

10. 设sin ,,x z f x y y ??

= ??

?其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ???。

11. 设调和函数(,)e (cos sin )x

u x y x y y y x =-+,求(,)u x y 的共轭调和函数(,)v x y ，并求解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。(自变量单独用z 表示) 12. 计算

d D

xy σ??

，其中区域{}

2222

(,)0,1,2D x y y x y x y x =≥+≥+≤。

13. 计算

)

2d x y V Ω

???，其中222:2x y z z Ω++≤。

14. 计算2d L

x s ?

，其中L 是曲面2

2

2

9x y z ++=与平面z =

四（15）.（本题满分7分）求由曲面22

z x y =+与2z =-积。

五（16）.（本题满分9分）在曲面222

1(0,0,0)49

x z y x y z ++=≥≥≥上求一点P ，使过点P 的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小，并求最小体积。 六（17）.（本题满分7分）试求连续可微函数()x ?，使在右半平面内曲线积分

()

cos ()d ()d B

A y

x x x x y x

??-+? 与路径无关，其中π22???

=

???

；且当(1,0),(π,π)A B ==时，求该曲线积分的值。 七（18）.（本题满分6分）

计算

2∑

，其中a 为大于0的常数，

∑

为z =

2006级高等数学（A ）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．曲线??

?==2

1

y

x xyz 在点)1,1,1(处的切线方程为 ； 2．方程2222=+++

z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分

为 ； 3．交换二次积分的积分次序

02

1

1d (,)d y

y f x y x --??

＝ ；

4．设曲线π≤≤===t z t y t x C 0,3,sin ,cos :

，则s =?

；

5．设曲面1:=++∑z y x ，则

()d x y S ∑

+

=?? .

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．设2

()2i f z xy x =-，那么 [ ] (A) )(z f 在原点解析 (B) )(z f 在复平面上处处不可导 (C) )(z f 仅在原点可导 (D) )(z f 仅在实轴上可导 7．二次积分

2

cos 0

d (cos sin )d f ,π

?

?ρ?ρ?ρρ?

?

可以写成 [

]

（A ） 1

0 0d d y f(x,y)x ?

?

（B ） 1

0 0

d d y f(x,y)x ??

（C ）

1

1

d d x f(x,y)y ?

?

（D ） 1 0

d d x f(x,y)y ??

8．设Ω由2

221,3x z z y x -==+所围成，则

(,,)d f x y z v Ω

=???

[ ]

（A ）222

1120

34

d (,,)d x x y x y f x y z z -+??

（B

）222

1120

32d (,,)d x x y x y f x y z z -+???

C

）

222

112132

d (,,)d x x y x y f x y z z -+-?

?

?

（D

）22

2

132112

d (,,)d x y x x y f x y z z +--??

9. 函数???

??=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x y

x y x f 在)0 ,0(点处 [ ]

（A ）连续且偏导数存在 （B ）连续但偏导数不存在

（C ）不连续但偏导数存在 （D ）不连续且偏导数不存在 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

10．设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2

()(,(,))x f x g x x ?=，求22d d x

?

.

11.

求函数u z

=011,,12M ?? ???

处沿曲面222

142x z y ++=在该点的外法线

方向上的方向导数.

12．已知解析函数)(z f 的虚部(,)2e sin y v x y xy x -=+,求实部),(y x u 及 解析函数)(z f 和(i)f '. 13. 计算

d z v Ω

???

，其中{}

3222

(,,)2x y z z x y z z Ω=∈≤++≤R 14．计算22()d 2d L

x y x xy y ++?

，其中L 是由极坐标方程2sin ρ?=-所表示的曲线上从

0?=到2

π

?=

的一段弧.

四（15）．（本题满分9分）在平面320x z -=上求一点，使它与点(1,1,1)A 及 点(2,3,4)B 的距离平方之和为最小.

五（16）.（本题满分9分）设在xoy 平面上有薄板)(2

2222x y x a y x a ++≤+≤(其中

常数0a >)，其面密度为2

2

||y

x y +=

μ，求此薄板的质心坐标.

六（17）. （本题满分6分）设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数，且0y f ≠，证明：对任意常数C ,C y x f =),(为一直线的充分必要条件是

0)(2)(22=+-x yy xy y x xx y f f f f f f f .

2007级高等数学（A ）（下）期中试卷

一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分)

1. 交换二次积分的次序

()()

01

12

1d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+=?

??

；

2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z

y

x x y ??+=?? ； 3. 二重积分

2221

()d d x y x y x y +≤+=??

；

4. 曲线222

1,,

y x z x y ?=-?

?=+??在点(1,0,1)处的切线方程为 ； 5. 设曲线2224:

1

x y z L z ?++=?=?，则曲线积分2L

s =? . 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)

6. ( [ ]

(A )))()cos isin - (B )))()cos isin +

(C )()()()cos isin - (D )()())cos isin +

7. 设222222()d ,:4I f x y z V x y z z Ω

=

++Ω++≤???

，f 为连续函数，则I = [ ]

(A )

()4cos 2

2

20

d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

(B ) ()24cos 2220

2d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

(C )

()24cos 2

2

0d d sin d f r r r ππθ?θθ?

??

(D ) ()24cos 2220

d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

8. 设,e x x z f y y ??= ???，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ?=?? [ ]

(A ) 21112221232e 1(1)e e x x x x f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x

x f x f y f y y +-+

(C )2111222132e 1e x x

x f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y

+++

9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =?, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．

计算二重积分

{d ,(,)0D

x y D x y x =≤≤

11．求函数2

(,,)e d xy t z

u x y z t -=?

在点(1,1,1)P 处沿曲面222

1236

x y z ++=在该点处的法线方

向的方向导数.

12．计算三重积分

22

()d xy z V Ω

+???

,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.

13.

计算曲面积分

222A ∑

，其中∑

为上半球面z =220(0)x y Ry R +-=>内的部分.

四（14）．（本题满分8分）设曲线段2:(01)L y x x =≤≤上任意一点(,)x y 处的线密度函数

12x μ=，求该曲线段的质量.

五（15）。（本题满分8分）已知曲线22

:4

z x y C x y z ?=+?++=?，求C 上距离原点最远的点和最近

的点，并求最远距离和最近距离.

六（16）.（本题满分7分）设()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部与虚部的乘

积满足()

22(,)(,)2u x y v x y xy x y ?=-，试求2

()f z 的表达式（必须用变量z 表示）.

2008级高等数学（A ）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．交换积分次序

0242

d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=?

?

? ；

2．

设e 10z -=，则Re z = ，Im z = ；

3．设(,)z z x y =是由方程22

()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分

d z = ；

4．设C 为由x y π+=与x 轴,y 轴围成的三角形的边界,e

d x y

C

s +=? 。

5．设(,)f x y 连续，{

}2

(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤，且(,)(,)d d D

f x y xy f x y x y =+??

则

(,)d d D

f x y x y =?? ．

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．函数22

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠?+=??=?

在点(0,0)处 [ ]

(A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在

(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在

7设{

}

22

(,)1D x y x y =+≤,1D 为D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ ] （A

）

1

d 4d D

D x y x y = （B ）1

d d 4d d D

D xy x y xy x y =????

（C ）

32()d d 0D

x x y x y +=?? （D ）2332

d d d d D

D

x y x y x y x y =???? 8设()[0,)f t C ∈+∞,2222

222()()d x y z R I R f x y z v ++≤=

++???

,则当0R +→时,()I R [ ]

（A ）是R 的一阶无穷小 （B ）是R 的二阶无穷小

（C ）是R 的三阶无穷小 （D ）至少是R 的三阶无穷小 9．设(,)f x y 在原点的某邻域内连续，且2200

(,)(0,0)

lim

01sin cos x y f x y f a x x y y →→-=>+--，则 [ ]

（A ）(,)f x y 在原点处取得极大值 （B ）(,)f x y 在原点处取得极小值 （C ）不能断定(,)f x y 在原点处是否取得极值 （D ）原点一定不是(,)f x y 的极值点 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．计算二重积分2223d D

x y

x y σ++??，其中{}

22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥. 11．计算曲面积分()d z y A ∑

+??，其中∑是由0,1z z ==与2

221z

x y +=+所围成的立体的

表面.

12．求

2222

d d d d x y z y z x x y z

∑

∧+∧++??

，其中∑为圆柱体222y z R +≤， (0)x R R ≤>的表面，

取外侧.

13．求由曲面221,1x z y z +=+=和0z =所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标. 14．已知解析函数()f z 的实部22

(,)2x

u x y xy x y =++,求()f z 的表达式（用变量z 表示）

和(i)f '．

四（15）（本题满分8分）求函数22223u x y z =++在球面2221x y z ++=和平面

0x y +=的交线上的最大值与最小值.

五（16）（本题满分8分）试求过直线20

530

x y x y z +-=??---=?，且与曲面22z x y =+相切的平

面方程.

六（17）（本题满分8分）设0ab ≠,(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且22

2

2220f f a b x y

??+=??，(,)f ax bx ax =，2(,)x f ax bx bx =，求(,)xx f ax bx ，(,)xy f ax bx ，(,)yy f ax bx .

2009级高等数学（A ）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2．设ln 1i 3

z π

=+

，则Re z = ，Im z = ；

3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1,

2π?

?

??

?

处的法平面方程为 ； 4．设曲线C 为球面2222

(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分

(

)

222d C

y z z s ++?的值等于 ；

5．设曲面:1S x y z ++=，则

()d S

x y S +=?? ．

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．已知曲面2

2

4z x y =--在点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ]

(A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2

d (,)d x

x f x y y ππ??

等于 [ ]

（A ）10arcsin d (,)d y

y f x y x π

π+?

?

（B ）1

0arcsin d (,)d y

y f x y x π

π-??

（C ）

1arctan 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

+?

? （D ）1arctan 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

-??

8.设L 是摆线sin 1cos x t t

y t

=-??

=-?上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]

(A)1 (B)

43 (C) 34 (D)2

π 9．函数23u x y y z =-在点(1,1,3)-处的方向导数的最大值是 [ ]

(D) 3

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

10．设2

(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???.

11．计算二重积分

(321)d D

x y σ-+??

，其中{}

22

(,)221D x y x y x y =+≤+-. 12．设调和函数(,)e

cos()x y

u x y x y y -=++,求(,)u x y 的共轭调和函数(,)v x y ，并求解析

函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+表达式(自变量单独用z 表示)，且满足(0)1i f =+. 13． 求极限2

222

2225

1

lim sin()d d d t x y z t x y z x y z t +

→++≤++???

.

14．计算2

d d d d S

x y z z x y ∧+∧??，其中S 为z =

与1z =所围成的立体的表面，取

外侧.

四（15）（本题满分8分）求密度为1，半径为R 的上半球面对球心处单位质量质点的引力. 五（16）（本题满分10分）平面1x y z ++=被抛物面2

2

z x y =+截得一椭圆， （1）求该椭圆到坐标原点的最长距离和最短距离；（2）求该椭圆所围平面区域的面积. 六（17）（本题满分6分）证明不等式：

22

sin d cos d

2

L

y x x x y y π

≤

-+≤?

，

其中曲线22

:0L x y x y +++=，取逆时针方向.

2003级高等数学（A ）（下）期末试卷

一. 填空题（每小题3分，满分15分）：

1．幂级数11

(1)2

n n

n x n ∞

=-?∑

的收敛域为 。 2．当常数p 满足条件

时，级数1

(1)n n ∞

=-∑绝对收敛。

3．设2

sin ()(1)z

f z z z =

-，则()f z 在0z =的留数Re [(),0]s f z = 。

4．微分方程()9()0y x y x ''''-=的通解为 。

5．设C 为抛物线21y x =-上自点A （-1，0）到点B （1，0）的一段弧，则曲线积分

22()

()()C AB x y dx x y dy ++-?

的值为 。

二.单项选择题（每小题4分，满分12分）：

1．微分方程356x y y y xe '''-+=的特解形式为（其中A 、B 为常数） （ ） （A ）3x y Ae *= （B ）3x y Axe *= （C ）3()x y Ax B e *=+ （D ）3()x y x Ax B e *=+

2．设2,02()0,24x x f x x +≤

，1()sin ()4n n n x

S x b x π∞

==-∞<<+∞∑，其中 401()sin (1,2,)24

n n x

b f x dx n π=

=?，则(2)(9)S S +-等于 （ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）5 （D ）7

3．设级数1

(1)n n n a ∞

=-∑条件收敛，则必有 （ ）

（A ）1n n a ∞

=∑收敛 （B ）2

1n n a ∞

=∑收敛

（C ）11

()n n n a a ∞

+=-∑收敛 （D ）21

n n a ∞

=∑与211

n n a ∞

-=∑都收敛

三．（每小题7分，满分35分）：

1．

计算积分1

0x

y

dx dy y

?。 2． 计算复积分222

1

(1)

x c

e dz z z --?

，其中c 为正向圆周：3z =。 3． 将2

2

()815

f x x x =

-+展成1x -的幂级数。

4． 将21

()1f z z =

-在圆环域123z <-< 内展成罗朗级数。 5． 求幂级数1

21

3n n n n x ∞

=-∑的和函数。

四．1．（6分）求微分方程22(6)0ydx y x dy +-=的通解。

2．（9分）求微分方程484sin 2y y x x ''+=-满足条件(0)0,(0)5y y '==的特解。

五．（8分）计算曲面积分223()I x dy dz y dz dx z x dx dy ∑

=∧+∧++∧??，其中∑为抛物面

22(01)z x y z =+≤≤，取下侧。

六．（9分）设()f x 具有二阶连续导数，(1)1,(1)7f f '==，试确定函数()f x ，使曲线积分

2[()11()]32()AB

I x f x xf x dy f x ydx '=--?与路径无关，并对点A （1,1）

，B （0,3）计算曲线积分的值。

七．（6分）设级数12

u n n u u ∞

-=-∑收敛，且正项级数1

n n v ∞

=∑收敛，证明级数2

1

n n n u v ∞

=∑收敛。

2004级高等数学（A ）（下）期末试卷

一. 填空题(本题共5小题，每小题4分，满分2 0分)

1．曲面24e 3z xy z +-=在点(1,2,0)处的法线方程 . 2. 幂级数

()

()

1

112ln 1n

n

n

n x n ∞

=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:

()()1

2

20

1

d ,d d ,d y

y

y f x y x y f x y x -+=???

?

.

4. 设曲线C 为圆周2

2

1x y +=,则曲线积分

()2

23d C

x

y x s +-=? .

5. 当α= ,β= 时,向量场()()()23x y x z y z αβ=++++-Αi j k 为有势场. 二. 单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分1 6分)

1. 在下列级数中，收敛的级数是 [ ]

（A ）()111n n n n n ∞

=??- ?+??∑（B

）()111n

n n ∞=-+∑（C ）31e n

n n ∞-=∑（D

）1ln 1n ∞=??+ ?∑ 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）

()()1

sin d d 2d d D

D xy y xy x y xy x y +=????

（B ）()()()1

sin d d 2sin d d D

D xy y xy x y y xy x y +=????

（C ）()()()()1

sin d d 2sin d d D

D xy y xy x y xy y xy x y +=+????

（D ）

()()sin d d 0D

xy y xy x y +=??

3．设∑

为上半球面z =

，则曲面积分∑

[ ]

（A ）4π （B ）

165π （C ）163

π （D ）83π

4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ]

(A) 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三、(本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)

1．设(),z z x y =是由方程()

22

23x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求

23z z y

x x y

??+?? . 2．确定λ的值，使曲线积分

()()2

124d 62d C

x

xy x x y y y λλ-++-?在XoY 平面上与路径无

关。当起点为()0,0，终点为()3,1时，求此曲线积分的值。

3．将函数()()

2

ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。

4．设(),01

,0,12

x x f x x ≤

≤

（2）记此正弦级数的和函数为()S x ，求(1)S 和7()2

S 。 5．将函数()21

1

f z z =-分别在圆环域(1)012;(2)32z z <-<<+<+∞内展成罗朗级数。

四．(本题满分7分) 计算复积分

()()

2

2

2

d 11z z

z z z

=-+?

五．(本题满分8分) 求幂级数

()

()

1

21

1

121n n n x n n ∞

-=--∑的收敛域与和函数。

六．(本题满分8分) 讨论级数(

)111n

n ∞

=??

-- ?

∑的敛散性。若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

七．(本题满分6分) 设级数

1

1

k k k a x

∞

+=∑在[]0,1上收敛，其和函数为()f x ，证明级数

1

1n f n ∞

=??

???

∑收敛。

2005级高等数学（A ）（下）期末试卷

一. 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1.

交换积分次序：

1

10

d (,)d x f x y y =? 。

2. 曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)M 处的切平面方程为 。

3. 向量场22223342x yz xy z xyz =++A i j k 在点(2,1,1)处的散度div =A 。

4. 已知曲线积分

()()3e

cos ()d e sin d x

x L

y yf x x x y y ++-?与路径无关，则()f x = 。

5. 已知微分式()()

222

d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则其原函数z = 。

6. 若幂级数

1

(1)

n

n n a x ∞

=+∑在2x =处条件收敛，则

1

1

(1)

n n

n na x ∞

-=+∑的收敛半径R = 。

7. 将函数1,01

()1,1x f x x x π

≤

+≤

的函数值(1)S -= 。 8. 设C 为正向圆周：1z =，则

2sin d C

z

z z =? 。 9. 设()f z 在z 平面上解析，0

()n n n f z a z ∞

==

∑，则对任一正整数k ，函数

()

k

f z z 在点0z = 的留数()Res ;0k f z z ??

=?

???

。 二. 计算下列各题（本题共4小题，满分33分）

10.（本题满分7分）设函数(,)z z x y =由方程22z x y x y ???

+=

???

所确定，其中?为可微函数，求

,z z

x y

????。 11.（本题满分7分）将函数()

2

()ln 2f x x x =-展开为1x -的幂级数，并指出其收敛域。

12.（本题满分10分）求幂级数1131n n n n x n ∞

+=?+∑的收敛域及和函数，并求1

314n

n n n ∞

=??

?+??∑的和。

13.（本题满分9分）

计算第二型曲线积分：(

d L

I x y x y =++

?

，

其中L 是从点(2,1)A

沿曲线y (1,0)B 的一段。

三（14）.（本题满分9分）试就x 在区间π3π,22??????上的不同取值，讨论211

2sin (1)

n n n n x n ∞

-=-∑的敛散性；当级数收敛时，判别其是绝对收敛，还是条件收敛？ 四（15）.（本题满分10分）将函数()

21

()1f z z z =

+分别在圆环域（1）1z <<+∞；（2）

112z <-<内展开成Laurent 级数。

五（16）.（本题满分6分）

证明级数1n ∞

=?∑收敛。 六（17）.（本题满分6分）计算第二型曲面积分：

()()()(,,)d d (,,)d d 2(,,)d d S

yf x y z x y z xf x y z y z x xyf x y z z x y +∧++∧++∧??，

其中S 是曲面()2

212

z x y =+介于平面2z =与平面8z =之间的部分，取上侧，(,,)f x y z 为连续函数。

2006级高等数学（A ）（下）期末试卷

一。填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)

1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则

0x = ，0y = ，0z = ；

2．

交换积分次序

2111

d (,)d x x f x y y --=?

?

；

3．设{

},,,x y z r ==

r 3div

r

=r

； 4．设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22

d d C

x y x xy y +=? ；

5.设幂级数

n

n n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数1

1

(1)n n

n na x ∞

+=-∑的收敛区间为 ； 6．设2

()e x f x =，则(2)(0)n f = ； 7. 设0,0

()1,0x f x x x ππ-<≤?=?

+<≤?

，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ， 则

(3)S π= ；

8.设正向圆周:1C z =，则

cos d C

z

z z

=?

； 9．函数1

()cos

f z z z

=的孤立奇点0z =的类型是 （如为极点，应指明是几级极点），[]Res (),0f z = ； 二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

11．判断级数1342n n n

n ∞

=-∑的敛散性. 12．求幂级数1

121

n n n n x n ∞

+=+∑的收敛域与和函数. 三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)

14．将函数21

()43

f z z z =

-+ 在圆环域13z <<内展开为Laurent 级数.

四．（15）(本题满分9分)验证表达式 2

2

(cos 21)d (3)d x xy x x y y +++-+ 为某一函数的全微分，并求其原函数.

五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分

4

1

d 1x x

+∞+?

. 六．（17）(本题满分10分) 已知流体的流速函数

{}33333(,,),,2x y z y z z x z =--

v ，

求该流体流过由上半球面1z =+

z =

所围立体表面的外侧

10．使二重积分

()2

244d D

x

y σ--??的值达到最大的平面闭区域D 为 .

13．将函数()f x x x =+ 在(1,1]-上展开为以2为周期的Fourier 级数.

的流量.

七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：

1

1

100

()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--???

2007级高等数学（A ）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 幂级数1(3)3

n

n

n x n ∞

=-?∑的收敛域为 ； 2.

将三次积分

12220

d ()d x y f x y z z ++?

?

（其中f 连续）化成球面坐标系

下的三次积分 ；

3. 散度()

3

(2,0,)

div cos(2)x y y z π+-+=i j k

；

4. 曲线22

4

x y z z x y ++=??=+?

在点(1,1,2)处的切线的方向向量为 ； 5. 设2,0

(),0x f x x x ππ

-<≤?=?

<≤?，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，

则(4)S π= ；

6. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则

1

d (i)(3)C z z z =-+? ；

7. 留数ln(1)sin Res ,0(1cos )z z z z ??

-=?

?-??

；

8. 已知第二型曲线积分

4124(4)d (65)d n n L

x xy x x y y y -++-?

与路径无关，则n = ；

9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面2

2

491x y +=所截的有限部分的面积为 . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．求幂级数1

5(3)n n n

n x n ∞

=+-∑的和函数，并指明收敛域.

11．将函数,

01()2,12

x x f x x x ≤

-≤≤?展开为余弦级数.

12．讨论级数

1n

n n αβ

∞

=∑的敛散性，其中α为任意实数，β为正实数.

13. 判定级数

3

1sin ln n n n π∞

=?

?+ ???∑是否绝对收敛、条件收敛或发散？并说明理由。

三（14）．（本题满分7分）将函数2

1

()1

f z z =+ 在圆环域12i 3z <-<内展开为Laurent 级数.

四（15）。（本题满分8分）计算

(

(

)ln d I x y xy x y =

++?

，

其中C 是由点(1,0)B π+沿曲线sin(1)y x =-到点(1,0)A 的一段弧. 五（16）. （本题满分8分）计算

d d (1)d d y z x z x y ∑

∧-+∧??

，其中∑为圆柱面22

4x y +=被平面2x z +=和0z =所截部分的外侧.

六（17）（本题满分7分）设121,2a a ==，当3n ≥时，有12n n n a a a --=+， （1） 证明不等式113

022

n n n a a a --<

<<，4n ≥； （2） 证明级数11n n a ∞

=∑收敛，且满足不等式 115

22n n

a ∞

=≤≤∑.

七（18）（本题满分6分）设C 是圆周22

x y x y +=+，取逆时针方向，连续函数()0f x >，

证明 ()d d ()

C

y

xf y y x f x π-

≥?

2008级高等数学（A ）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 曲面2

cos()e 4xz

x x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是

； 2. 设u =

(1,2,0)

u

=grad ；

3. 设幂级数

n

n n a x ∞

=∑的收敛半径是2，则幂级数0(1)1

n n

n a x n ∞

=++∑

的收敛区间是 ；

4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分

2

d d C

y x x y -?的值是 ；

5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分

(,)(d d )AB

F x y y x x y +?与路径无关的

充分必要条件是 ； 6. 将函数1,01

()2,1x f x x x π-≤

≤

在[0,]π上展开为余弦级数，其和函数()S x 在点

21x π=-处的函数值(21)S π-= ；

7. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则积分

1

d (1i)(3)C z z z ---?的值是 ；

8. 留数2

1Res sin

,0z z ??

=???

?

； 9.取n a = ，可使得级数

2

n

n a

∞

=∑收敛，且级数

2

ln n

n a

n ∞

=∑发散.

二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)

10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ?=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，?具有连

续导数，计算2,z z

x x y

?????.

11．（本小题满分7分）判别级数

1

e 1n

n n

∞

=-∑的敛散性，并说明理由． 12．（本小题满分8分）判别级数1

1

(1)2ln n

n n n

∞

=--∑是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，

还是条件收敛？并说明理由.

13. （本小题满分8分） 将函数()1(1)f x x x =-≤展开为以2为周期的Fourier 级数.

三（14）．（本题满分7分）求幂级数

21

n

n nx

∞

=∑的收敛域与和函数.

四（15）。（本题满分7分）将函数2

1

()4

f z z =+在圆环域1i 3z <+<内展开为Laurent 级数.

五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x C

I y x xy

y y =

+-?

，其中C 为曲线

x =，方向沿y 增大的方向.

六（17）（本题满分7分）计算()()2

22d d d d ()d d S

I y

xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧??，

其中S

为2z =被0z =所截的部分，取上侧.

七（18）（本题满分6分）设0,0(1,2,

)n n a b n >>=，若存在常数0α>，使得

11(1,2,)n

n n n b a a n b α++-≥=，则级数1

n n b ∞=∑收敛.

2009级高等数学（A ）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1.

将

22222

d ()d x y f x y z z -++?

?

?

（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标

系下的三次积分 ；

2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；

3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤?=?<≤?

，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，

则(3)S π= ，(2)S π-= ；

4. 已知3222

(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则

____,____a b ==；

5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则

1

d (i)(4)C z z z =+-? ；

6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +??

=?

?-?

?

；

7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =

r ；

8.设∑是锥面1)z z =

≤≤下侧，则

3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑

∧+∧+-∧=?? ；

9. 设()(,)d d x y t

F t f x y x y +≤=

??

，其中2,0(,)0,

x y x x f x y ?≥≥=??且其它，则(2)F = .

二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)