2020年湖北省鄂州市中考数学试卷(附答案解析)

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）2020-的相反数是( )

A ．2020

B ．1

2020

-

C ．

1

2020

D ．2020-

2．（3分）下列运算正确的是( ) A ．2235x x x += B ．33(2)6x x -=-

C ．325236x x x =

D ．2(32)(23)94x x x +-=-

3．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（3分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为(

)

A ．80.2110?

B ．82.110?

C ．92.110?

D ．100.2110?

5．（3分）如图，//a b ，一块含45?的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若165∠=?，则2∠的度数为( )

A ．25?

B ．35?

C ．55?

D ．65?

6．（3分）一组数据4，5，x ，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为( ) A ．4

B ．5

C ．7

D ．9

7．（3分）目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为( )

A ．20%

B ．30%

C ．40%

D ．50%

8．（3分）如图，在AOB ?和COD ?中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=?．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：

①36AMB ∠=?，②AC BD =，③OM 平分AOD ∠，④MO 平分AM D ∠．其中正确的结论个数有( )个．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

9．（3分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <，②20a b +<，③420a b c -+>，④30a c +>，其中正确的结论个数为( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．（3分）如图，点1A ，2A ，3A ?在反比例函数1

(0)y x x =>的图象上，点1B ，2B ，

3B ，n B ?在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=?，直线y x =与双曲线1

y x

=

交于点1A ，111B A OA ⊥，2212B A B A ⊥，3323B A B A ⊥?，则(n B n 为正整数）的坐标是( )

A ．(2n ，0)

B ．1(0,2)n +

C ．(0，2(1))n n -

D ．(0，2)n

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：221218m m -+= ． 12．（3分）关于x 的不等式组24

50x x >??-?

的解集是 ．

13．（3分）用一个圆心角为120?，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．

14．（3分）如图，点A 是双曲线1

(0)y x x

=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使

3OB OA =，

当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k

y x

=上移动，则k 的值为 ．

15．（3分）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(23)cm -的速度向左运动 秒时，O 与正方形重叠部分的面积为22

(3)3

cm π-．

16．（3分）如图，已知直线34

y x

=-+与x、y轴交于A、B两点，O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为．

三、解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）

17．（8分）先化简

22

2

4421

111

x x x x

x x x

-+-

÷+

-+-

，再从2

-．1

-，0，1，2中选一个合适

的数作为x的值代入求值．

18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM BM

=，连接DE．

（1）求证：AMB CND

???；

（2）若2

BD AB

=，且5

AB=，4

DN=，求四边形DEMN的面积．

19．（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组频数频率

A组(01)

x<9m

B组(12)

x<180.3

C组(23)

x<180.3

D组(34)

x

E组(45)

x<

30.05

（1）频数分布表中m=，n=，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

20．（8分）已知关于x的方程2410

x x k

-++=有两实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为

1

x、

2

x，且

12

12

33

4

x x

x x

+=-，求实数k的值．21．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30?．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tan2

α=，503

MC=米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：2 1.41

≈，3 1.73)

≈22．（10分）如图所示：O与ABC

?的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，//

DE OB．DC是O的直径．连接OE，过C作//

CG OE交O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．

（1）求证：直线AB 与O 相切； （2）求证：AE ED AC EF =； （3）若3EF =，1

tan 2

ACE ∠=时，过A 作//AN CE 交O 于M 、N 两点(M 在线段AN 上），求AN 的长．

23．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件)与售价x （元件）(x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

x （元/件）

4 5 6 y （件)

10000

9500

9000

（1）求y 与x （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元(16)m ，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m 的取值范围．

24．（12分）如图，抛物线2

12

y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线1

22

y x =

-经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN BC ⊥，垂足为N ．设(,0)M m ．

①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使PNC

?相

?与AOC 似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【试题答案】

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．A

【解答】解：2020-的相反数是2020． 2．C

【解答】解：A 、235x x x +=，故原题计算错误；

B 、33(2)8x x -=-，故原题计算错误；

C 、325236x x x =，故原题计算正确；

D 、2(32)(23)49x x x +-=-，故原题计算错误．

3．A

【解答】解：从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 4．C

【解答】解：21亿92100000000 2.110==?． 5．A

【解答】解：如图：

165∠=?，1453180∠+?+∠=?， 3180456570∴∠=?-?-?=?， //a b ，

42370∴∠+∠=∠=?，

445∠=?，

2704704525∴∠=?-∠=?-?=?．

6．B

【解答】解：数据4，5，x ，7，9的平均数为6， 6545795x ∴=?----=，

∴这组数据的众数为5．

7．C

【解答】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则2020年底全市5G 用户数为2(1)x +万户，2021年底全市5G 用户数为22(1)x +万户，

依题意，得：222(1)2(1)8.72x x ++++=，

整理，得：23 1.360x x +-=，

解得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）． 8． B

【解答】解：36AOB COD ∠=∠=?， AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，

即AOC BOD ∠=∠， 在AOC ?和BOD ?中， OA OB AOC BOD OC OD =??

∠=∠??=?

()AOC BOD SAS ∴???，

OCA ODB ∴∠=∠，AC BD =，故②正确； OAC OBD ∠=∠，

由三角形的外角性质得：

AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠， 36AMB AOB ∴∠=∠=?，故①正确；

作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，

则90OGA OHB ∠=∠=?， AOC BOD ???， OG OH ∴=，

OM ∴平分AM D ∠，故④正确；

假设OM 平分AOD ∠，则DOM AOM ∠=∠， 在AMO ?与DMO ?中， AOM DOM OM OM

AMD DMO ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()AMO OMD ASA ∴???， AO OD ∴=， OC OD =， OA OC ∴=，

而OA OC <，故③错误； 正确的个数有3个． 9．B

【解答】解：①由抛物线的开口向上知0a >， 对称轴位于y 轴的右侧， 0b ∴<．

抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<， 0abc ∴>；

故错误； ②对称轴为12b

x a

=-<，得2a b >-，即20a b +>， 故错误；

③如图，当2x =-时，0y >，420a b c -+>， 故正确；

④当1x =-时，0y =，

023a b c a a c a c ∴=-+<++=+，即30a c +>．

故正确．

综上所述，有2个结论正确． 10．D

【解答】解：由题意，△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，?，都是等腰直角三角形， 1(1,1)A ，

12OB ∴=，设2(,2)A m m +，

则有(2)1m m +=，

解得1m =，

2OB ∴=

设3(A a ，)n ，则有)1n a a ==，

解得a =

3OB ∴=

同法可得，4OB =

n OB ∴=

(0n B ∴，．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11． 22(3)m -

【解答】解：原式22(69)m m =-+

22(3)m =-． 12． 25x <

【解答】解：2450x x >??-?

①

②

由①得：2x >， 由②得：5x ，

所以不等式组的解集为：25x <， 13．

4

3

【解答】解：设圆锥底面的半径为r ， 扇形的弧长为：

12048

1803

ππ?=， 圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

∴根据题意得823

r ππ=，

解得：43

r =． 14． 9-

【解答】解：点A 是反比例函数1

(0)y x x

=<上的一个动点，

∴可设1(,)A x x

，

OC x ∴=，1AC x

=

， OB OA ⊥，

90BOD AOC AOC OAC ∴∠+∠=∠+∠=?， BOD OAC ∴∠=∠，且BDO ACO ∠=∠， AOC OBD ∴??∽， 3OB OA =，

∴

1

3

AC OC OA OD BD OB ===，

3

3OD AC x

∴==

，33BD OC x ==， 3

(B x

∴，3)x -，

点B 反比例函数k

y x

=图象上， 3

(3)9k x x

∴=?-=-。

15． 1或(1163)+

【解答】解：如图1中，当点A ，B 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为22

(3)3

cm π-

此时，运动时间(23)(23)1t =-÷-=（秒)

如图2中，当点C ，D 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为22

(3)3

cm π-

此时，运动时间[42(23)](23)(113)t =+-÷=+（秒)， 综上所述，满足条件的t 的值为1秒或(1163)+秒． 16． 23【解答】解：如图，

在直线34y x =+上，0x =时，4y =， 当0y =时，43

x = 4OB ∴=，43

OA =

， 3

tan OA OBA OB ∴∠=

=

， 30OBA ∴∠=?，

由PQ 切O 于Q 点可知：OQ PQ ⊥，

22PQ OP OQ ∴-

由于1OQ =，

因此当OP 最小时PQ 长取最小值，此时OP AB ⊥， 1

22

OP OB ∴==，

此时22213PQ =-

224223BP =-=

1

2

OQ OP ∴=，即30OPQ ∠=?，

若使点P 到直线a 的距离最大， 则最大值为PM ，且M 位于x 轴下方， 过点P 作PE y ⊥轴于点E ， 1

32

EP BP ∴=

22(23)(3)3BE ∴-=， 431OE ∴=-=，

1

2OE OP =，

30OPE ∴∠=?，

303060EPM ∴∠=?+?=?，

即30EMP ∠=?，

2PM EP ∴==

三、解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）

17．【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从2-．1-，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：2224421111

x x x x x x x -+-÷+

-+- 2(2)11

(1)(1)(2)1

x x x x x x x -+=+

+--- 21

(1)1x x x x -=+

-- 2(1)x x

x x -+=-

2(1)

(1)x x x -=-

2x

=

， 0x =，1，1-时，原分式无意义， 2x ∴=-，

当2x =-时，原式2

12

=

=--． 18．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到AMB CND ???；

（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到EMN ∠是直角，进而得到四边形DEMN 是矩形，即可得出四边形DEMN 的面积．

【解答】解：（1）平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， AO CO ∴=，

又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点， AM CN ∴=，

四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =， BAM DCN ∴∠=∠，

()AMB CND SAS ∴???；

（2）AMB CND ???，

BM DN ∴=，ABM CDN ∠=∠，

又BM EM =， DN EM ∴=，

//AB CD ， ABO CDO ∴∠=∠， MBO NDO ∴∠=∠， //ME DN ∴

∴四边形DEMN 是平行四边形，

2BD AB =，2BD BO =，

AB OB ∴=，

又M 是AO 的中点，

BM AO ∴⊥， 90EMN ∴∠=?，

∴四边形DEMN 是矩形，

5AB =，4DN BM ==， 3AM MO ∴==， 6MN ∴=，

∴矩形DEMN 的面积6424=?=．

19．【分析】（1）频数分布表中0.15m =，12n =，并将频数分布直方图补充完整； （2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

【解答】解：（1）根据频数分布表可知： 10.30.30.20.050.15m =----=， 180.360÷=，

6091818312n ∴=----=，

补充完整的频数分布直方图如下：

故答案为：0.15，12； （2）根据题意可知：

1000(0.150.3)450?+=（名)，

答：估计全校需要提醒的学生有450名；

（3）设2名男生用A ，B 表示，1名女生用C 表示， 根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种， 所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：

4263

=． 20．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：（1）△164(1)16441240k k k =-+=--=-，

3k ∴．

（2）由题意可知：124x x +=，121x x k =+， 1212

33

4x x x x +=-， ∴

1212123()

4x x x x x x +=-， ∴

34

141

k k ?=+-+， 5k ∴=或3k =-，

由（1）可知：5k =舍去， 3k ∴=-．

21．【分析】（1）在Rt ACM ?中，由tan 2α=，503MC =，可求出AM 即可；

（2）在Rt BND ?中，30BDM ∠=?，1003BN =，可求出DN ，进而求出DM 和CD 即可．

【解答】解：过点B 作BN MD ⊥，垂足为N ，由题意可知， ACM α∠=，30BDM ∠=?，50AB MN ==，

（1）在Rt ACM ?中，tan tan 2ACM α∠==，503MC =， 21003AM MC BN ∴===，

答：无人机的飞行高度AM 为1003米； （2）在Rt BND ?中， tan BN

BDN DN

∠=

，即：1003tan30?=，

300DN ∴=，

30050350DM DN MN ∴=+=+=， 350503264CD DM MC ∴=-=-≈，

答：河流的宽度CD 约为264米．

22．【分析】（1）证明()BOE BOC SSS ???可得结论． （2）连接EG ．证明AEC EFG ??∽可得结论．

（3）过点O 作OH AN ⊥于H ．解直角三角形求出DE EC =，CD ，利用相似三角形的性质求出E ，AC ，AO ，求出AH ，HN 即可解决问题．

【解答】（1）证明：CD 是直径， 90DEC ∴∠=?， DE EC ∴⊥，

//DE OB ， OB EC ∴⊥，

OB ∴垂直平分线段EC ， BE EC ∴=，OE OC =， OB OB =，

()OBE OBC SSS ∴???， OEB OCB ∴∠=∠， BC 是O 的切线， OC BC ∴⊥， 90OCB ∴∠=?， 90OEB ∴∠=?， OE AB ∴⊥，

AB ∴是O 的切线．

（2）证明：连接EG ． CD 是直径，

90DGC ∴∠=?， CG DG ∴⊥， //CG OE ， OE DG ∴⊥，

∴DE EG =，

DE EG ∴=，

AE OE ⊥，DG OE ⊥， //AE DG ∴， EAC GDC ∴∠=∠， GDC GEF ∠=∠，

GEF EAC ∴∠=∠， EGF ECA ∠=∠， AEC EFG ∴??∽，

∴

AE AC

EF EG =

， EG DE =，

AE DE AC EF ∴=．

（3）解：过点O 作OH AN ⊥于H ． DE EG =，

EDG ACE ∴∠=∠， 1tan tan 2EF DE

EDF ACE DE EC

∴∠=∠=

==

， 3EF =，

6DE ∴=，12EC =，CD ==

90AED OED ∠+∠=?，90OED OEC ∠+∠=?， AED OEC ∴∠=∠， OE OC =，

OEC OCE ∴∠=∠， AED ACE ∴∠=∠， EAD EAC ∠=∠， EAD CAE ∴??∽，

∴

1

2

AE DE AD AC EC AE ====， ∴可以假设AE x =，2AC x =，

2AE AD AC =， 2(265)2x x x ∴=-，

解得45(0x x ==舍去），

45AE ∴=，85AC =，25AD =，55OA =，

//EC AN ，

OAH ACE ∴∠=∠， 1

tan tan 2

OH OAH ACE AH ∴∠=∠==， 5OH ∴=，10AH =， OH MN ⊥，

HM HN ∴=，连接OM ，则2222(35)525MH HN OM OH ==-=-=， 1025AN AH HN ∴=+=+．

23．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；

（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x 的不等式组，求得x 的取值范围，再设利润为w 元，由(3)w x y =-，列出w 关于x 的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售

价；

（3）根据题意列出利润w 关于售价x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出m 的不等式进行解答便可．

【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：(0)y kx b k =+≠， 把4x =，10000y =和5x =，9500y =代入得， 410000

59500k b k b +=??

+=?

， 解得，50012000k b =-??=?

，

50012000y x ∴=-+；

（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，

解得，123≤≤x ，

设利润为w 元，根据题意得，

22(3)(3)(50012000)5001350036000500(13.5)55125w x y x x x x x =-=--+=-+-=--+， 5000-<，

∴当13.5x <时，w 随x 的增大而增大，

∵123≤≤x ，

∴当12x =时，w 取最大值为：2500(1213.5)5512554000-?-+=，

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元； （3）根据题意得，

2(3)(50012000)500(13500500)3600012000w x m x x m x m =---+=-++--，

∴对称轴为1350050013.50.51000

m

x m +=-

=+-，

5000-<，

∴当13.50.5x m +时，w 随x 的增大而增大，

捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．

24．【分析】（1）先求出点B ，C 坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；