全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

李进

山东省邹平县第一中学

计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法

在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻

或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R i = R2 = R3 = R4 = R5 = R，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

答案：R AB = 3 R o

8

【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R i = 1 Q，R2 = 4 Q，R3 = 3 Q，R4 = 12 Q，R5 = 10Q，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，

并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。

因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

对于图8-5的乙图，求R AB是非常容易的。事实上，只要满足R =壬的关系，该桥式

电路平衡。

答案：R AB = -- Q。

4

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 间的等效电阻R AB 。

B

A

2、电流分布法

设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电 压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组， 解出各支路

电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算 A 、B 两点间的电压

R

U AB

R

AB

U

AB ，再由

I

即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试 求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出 A 、B 两点之间的等

效电阻R AB 。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络, 而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

C B

D

B

R ，试求A 、B 两点之

【例题4】用导线连接成如图所示的框架, 求AB 间的总电阻。

ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是 1

C 、

D 之间是两根电阻丝并联

电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别 作用时，在此支路中产生的电流的代数和。 所谓电路中只有一个电源单独作用，

就是假设将

其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为

R ，求A 、B 间等效电阻。

以上两套公式的记忆方法:

Y :分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y :分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。

当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的

三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的 Y 形联接的三个电阻相等，且等于

原来的1/3。

3、Y —△变换法

在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或△,如图所示，有时把Y 型联接代换成等效 的△型联接，或把△型联接代换成等效的

Y 型联

接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等 效代换要求Y 型联接三个端纽的电压 U i2、U 23、U 31及流过的电流h 、^、4 与△型联接的三个端纽相同。

⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：

R R 2

R 2 R 3 R 3R 1 R R 2

R 3

R 2 R 3 R 3R 1 R I

R 2 R 2

R 2 R 3 R 3R 1

R 1

⑵将△型电路变换到 Y 型电路的变换式:

R l2

R

3I

R 2

R

l2

R 12

B

R l2

尺2 R

23

R 31 R 23

【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻 R AB

提示：法一：“―”变换；

法二：基尔霍夫定律

【例题2】试求如图所示电路中的电流 用两种变换方式计算）

x 2 x a 0。所以

1

1 4a

x

2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路， 那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷

大。

⑴一维无限网络

【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ,试求A 、B 两点间的电阻 R AB 。

甲

乙

图 0-11

解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个

R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电

路是这样无穷级的叠加。在图

8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添

AB 、CD 间等效电阻。 无影响， (a > 0)

x 是由无限多个 a 组成，所以去掉左边第一个 即剩余部分仍为x ,这样，

就可以将原式等效变换为x

■- a 对x 值毫

ift R

I 。（分别应

【课堂练习】分别求下图中

A R &

4、无限网络

在求x 值时，注意到 (答案：0.5R; R PQ =4 Q )

加一级后，仍为无限网络，即

R AB // R + R = R AB

解这个方程就得出了R AB的值。

答案：R AB = 1-R O

2

解法二：可以，在A端注入电流I后，设第- 级的

并联电阻分流为I i ,则结合基尔霍夫第一定律和应有的

比例关系，可以得出相应的电流值如

图8-12所示

对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有

(I I i )R + (I

解得I i = I

2

很显然U A - IR - I i R = U B

即U AB = IR + 5 i IR = J— IR

2 2

最后，F AB =如=! 5R O

I 2

【例题2】如图所示，由已知电阻ri 等

效电阻R.(开端形)

r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b 间的【例题3】如图所示，由已知电阻

等效电阻R ab .（闭端形）

ri、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的

⑵双边一维无限网络

【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。（中间缺口形）

【例题5】如图所示，两头都是无穷长, 唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电

阻?（旁边缺口形）

【例题6】如图所示，求g 、f 间的等效电阻。（完整形）

小结：一维无限网络利用网络的重复性。 ⑶二维无限网络

【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与 上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为 R ,由此，按左右、上下一直延伸到无穷远 处.A 和B 为网络中任意两个相邻节点，试求

A 、

B 间的等效电阻R AB ?

模型分析：如图，设有一电流I 从A 点流入，从无穷远处流出?由于网络无穷大，故网

络对于A 点是对称的，电流I 将在联接A 点的四个电阻上平均分配?这时，电阻 R （指A 、

B 两节点间的电阻）上的电流为

1/4，方向由A 指向B ?

【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形 网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为

R

0，求：

（1） 结点a 、b 间的电阻。

（2） 如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过 de 段电阻的电流I de 为多大。

解：（1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有

同理，再设一电流 的对称点，因此在电阻 I 从无穷远处流处，从节点 R 上分得的电流也为1/4，

B 流出 方向也是由A 指向B ?

将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节 点A 流入网络，又从节点B 流出网络的稳恒电流I ， 在无穷远处既不流入也不流出?每个支路上的电流 B 也是网络

i

I

也是上述两种情况下各支路电流的叠加.因此， R

电阻上的电流为1/2 ?所以A 、B 两节点间的电势差 为: 【例题8】对图示无限网络，求

A 、

B 两点间的电阻R AB

I /3电流由a

由于网络无穷

大,

流向C ,有I /6电流由c 流向b 。再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有I /6 电流由a 流向c ,有I / 3电流由c 流向b 。

I

I I

3 6 2 （由a 流向c ） I

I I

3 6 2 （由c 流向b ）

因此，a 、b 两点间等效电阻

(2)假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

I 1 I 4 I 7 I A

I 2

13 I 5 I 6 I 8 I 9 I B

应该有

3I A 61 B I

因为b 、d 两点关于a 点对称，所以

I de I be

I A

2

同理，假如有电流I 从四面八方汇集到 g 点流出，应该有

I de

I B

最后，根据电流的叠加原理可知

I de I de I de

S A I B 2

1 1 3I A 6I B

I

6

6

⑷三维无限网络

【例题101假设如图有一个无限大

NaCl 晶格, 每一个键电阻为 r ,求相邻两个Na 和Cl

原子间的电阻。

【例题111在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R ，试求A 、B

两点间的等效电阻 R AB 。

当A 、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，

C 、

D 、

E …各点的电势是彼

此相等的，电势相等的点可以缩为一点， 它们之间的电阻也可以看成不存在。 这里取后一中 思想，将CD 间的导体、DE 间的导体…取走后，电路可以等效为图 8-13乙所示的二维无限 网络。

将以上两种情况综合，即有电流

I 由a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知 ac

cb

U AB

R o

乙图8-13

【答案】2