哈密尔顿图的充分必要条件
哈密尔顿图的充分必要条件
摘要
图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.
关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;
1 引言 (3)
2 哈密尔顿图的背景 (3)
3 哈密尔顿图的概念 (4)
4 哈密顿图的定义 (5)
4．1定义 (5)
4．2定义 (5)
4．3哈密顿路是遍历图的所有点。 (6)
4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7)
5 结论 (8)
参考文献 (8)
指导老师 (9)
1 引言
图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.
2 哈密尔顿图的背景
美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.
1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
图1
哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。但商业运作失败了.该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。
3 哈密尔顿图的概念
含有图中所有顶点的轨称作哈密尔顿轨，闭合的哈密尔顿轨称作哈密尔顿环，含有哈密尔顿环的图称作哈密尔顿图。著名的美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。哈密尔顿轨也称作哈密尔顿链，指在一个图中沿边访问每个顶点恰好一次的路径。寻找这样的一个路径是一个典型的NP-完备(NP-complete)问题。
包含图中每个顶点的路称为哈密尔顿路;通过图中每个顶点一次且仅一次的通路称为哈密尔顿通路;通过图中每个顶点一次的回路称为哈密尔顿回路;一个图若含有哈密尔顿回路,则称这个图是哈密尔顿图(如图2).
图2
一个图的哈密尔顿回路与欧拉回路是很相似的,但差别在于哈密尔顿回路是环游图中的所有顶点,而欧拉回路是环游图中所有的边.对于一个图是否存在欧拉环游,存在一个非常简单的判别法.那么判别一个图是否存在哈密尔顿回路是否也存在这样一个非常简洁的判别法吗?遗憾的是直到目前为止,还没找到哈密尔顿图的充分必要条件,事实上,寻找哈密尔顿图的充分必要条件几乎是无望的.但是人们希望找到哈密尔顿图的简明有效的充分条件,这就是图论中的一个著名问题:哈密尔顿图的问题.”棋盘的骑士问题”实际上就是要判断它所对应的图是否是哈密尔顿图的问题.
4 哈密顿图的定义
4．1定义
设G=(P,L)是有向图，（ v1,…, v n）是G中一条路，如果G中没每点在此路中出现一次，则称此路为哈密顿路。如果G中每点除v1外，恰在此中出现一次，且v1＝ v n，则此路称为哈密顿回路。
4．2定义
设G=(P,L)是有向图，如果G中有一条哈密顿回路，则称G为哈顿顿图。
例1 下面的图为哈密顿图。
在图中，路（ABCDHGFE ）是哈密顿路。路（ABCDHGFEA ）是哈密顿回路。
4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
对于哈密顿路与哈密顿回路，下面的一些性质是显然的。
① 哈密顿路是简单路。设G 有n 个点，这G 的哈密顿路有n-1条边，G 的哈
密顿回路有n 条边。
② 若G 中某点度是0，这G 既无哈密顿路，也无哈密顿回路。若G 中某点的
度是1，这G 无哈密顿回路。
③ 设v 是G 中的一个点， d G (v)=2若G 有哈密顿回路，则以v 为端点的两
边必须都出现在哈密顿回路中。
④ 哈密顿回路要求遍历诸点，如果图中某些必须在哈密顿回路中出现的边已
经构成回路，而图中尚有不在该回路中出现的点，这该图一定没有哈密顿
回路。
⑤ 设v 是图G 的一个点，d G (v) ＞2，G 有哈密顿回路，则哈密顿回路仅使
用以v 为端点的两条边
H
G F E
D C B A
G 2
4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论
对于哈密尔顿图条件的条件的讨论,我们先给出一个简单而有用的必要条件(7): 定理1:设无向图G=(V,E)是哈密尔顿图,
V 1是V 的任意的非空子集,则:P(G-V1)≤|V1|.
其中,P(G-V1)为从G 中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得图的连通分支数.
证明:设C 为G 中的一条哈密尔顿回路.
(1)若V1中的顶点在C 上彼此相邻,则P(C-V1)=1≤|V1|
(2)设V1中的顶点在C 上存在r(2≤r ≤|V1|)个互不相邻,则
P(C-V1)=r ≤|V1|
一般说来,V1中的顶点在C 上既有相邻的,又有不相邻的,因而总有 P(C-V1)≤|V1|
又因为C 是G 的生成子图,故P(G-V1)≤P(C-V1)≤|V1|
图3
上图3中,虽然对任意的结点集合V1,都满足P(G-V1)≤|V1|,但它仍然不是哈密尔顿图.由此可见,定理1有时可以用来证明某一特定的图是非哈密尔顿图,可是,这个方法并不总是有效的.
一般来说，V1中的顶点在C 上既有相邻的，又有不相邻的，因而总有
()||11V V C p ≤-
又因为C 是G 的生成图，故
||)()(111V V C P V G P ≤-≤-
现在我们讨论哈密顿图的充分条件，当且仅当它的基础简单图是哈密尔顿图，所
以我们只考虑简单图。
最早的结果是英A 狄拉克在1952年给出一个充分条件使得一个图是哈密尔顿图。它的定理是只要检查每一顶点X，看它的上面有多少个弧通过，把这个数目D（X）来表示，只要每一个点D（X）是相当大的话，这个图就会是哈密顿尔图。
5 结论
定理1：设无向图G=是哈密顿图，V1是V的任意的非空子集，p(G-V1)<=|V1| 其中，p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得到的图的连通分支。
定理2：设G是n(n>=3)阶无向简单图，如果G中任何一对不相邻的顶点度数之和都大于等于n,则G是哈密顿图。
推论：设G是n(n>=3)阶无向简单图，如果G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n，则G是哈密顿图。
定理3：在n(n>=2)阶有向图D=中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含生成子图Kn，则有向图中存在哈密顿图。
推论：n(n>=3)阶有向完全图为哈密顿图
参考文献
[1]J。A邦迪，默蒂等，图论能其应用。科学出版社，1984，54-55。
[3]田丰，马仲。图与网络流理论。科学出版社，1987，97-98。
[3]李慰。图论。湖南科学技术出版社，1980，107-108
[4]李修。图论导论。华中工学院出版社，1990 ，57-64。
[5魏权等。运筹学通论。中国人民大学出版社，2000，47-67。
指导老师
黄乐定
习题四 欧拉图与汉密尔顿图 - 烟台大学计算机与控制工程学院
习题四: 欧拉图与汉密尔顿图 1．判定图7-4.15的图形是否能一笔画。 2．构造一个欧拉图，其结点数v 和边数e 满足下述条件 a ）v ，e 的奇偶性一样。 b ）v ，e 的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。 3．确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。 4．a ）图7-4.16中的边能剖分为两条路（边不相重），试给出这样的剖分。 b ）设G 是一个具有k 个奇数度结点（k >0）的连通图，证明在G 中的边能剖分为2k 条路（边不相重）。 c ）设G 是一个具有k 个奇数度结点的图，问最少加几条边到G 中，而使所得的图有一条欧拉回路，说明对于图7-4.16如何能做到这一点。 d ）在c ）中如果只允许加平行于G 中已存在的边，问最少加几条边到G 中，使所得的图有一条欧拉回路，这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。 5．找一种9个a ，9个b ，9个 c 的圆形排列，使由字母｛c b a ,,｝组成的长度为3的27个字的每个字仅出现一次。 6．a ）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。 图7-4.15 (a) (b) 图7-4.16 图 7-4.17
b ）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。 c ）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。 7．判断图7-4.17所示的图中是否有汉密尔顿回路。 8．设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，3≥n ，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点被一条边连结，当且仅当对应的人是朋友。 a ）结点的度数能作怎样的解释。 b ）G 是连通图能作怎样的解释。 c ）假定任意两人合起来认识所留下的n -2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。 d ）证明对于n 4≥，c ）中条件保证n 个人能站成一圈，使每一个人的两旁站着自己的朋友。 9．证明如G 具有汉密尔顿路，则对于V 的每一个真子集S 有 1)(+≤-S S G W 10．一个简单图是汉密尔顿图的充要条件是其闭包是汉密尔顿图。 11．设简单图??=E V G ,且e E v V ==,，若有22 ,2+≥-v C e ，则G 是汉密尔顿图。 12．将无向完全图6K 的边随意地涂上红色或绿色，证明：无论如何涂法，总存在红色的3K 或绿色的3K 。 13．证明如果G 是二部图，它有n 个顶点，m 条边，则4 2 n m ≤。 14．设G 为有n 个结点的简单图，且()()221--n n E ，则G 是连通图。 15．无向图G 的各个结点的度数都是3，且结点数n 与边数m 有关系32-=n m 。在同构 的意义下G 是唯一的吗？为什么？ 16．（1）n 为何值时，无向完全图n K 是欧拉图？n 为何值时n K 为半欧拉图？ （2）什么样的完全二部图是欧拉图？ （3）n 为何值时，轮图n W 为欧拉图？ 17．求图6-20中的两个图各需要几笔画出（笔不离纸，每条边均不能重复画）？
哈密尔顿图的充分必要条件
哈密尔顿图的充分必要条件 摘要 图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注. 关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;
1 引言 (3) 2 哈密尔顿图的背景 (3) 3 哈密尔顿图的概念 (4) 4 哈密顿图的定义 (5) 4．1定义 (5) 4．2定义 (5) 4．3哈密顿路是遍历图的所有点。 (6) 4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7) 5 结论 (8) 参考文献 (8) 指导老师 (9)
1 引言 图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的. 2 哈密尔顿图的背景 美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径. 1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
哈密顿图
定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。 Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。 将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。 周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。 十二面体图是H 图 判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质 的不同。目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。 本节给出一些经典的充分条件和必要条件。 一、必要条件 定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。 证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G 的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。证毕。 这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数 个顶点，则它必定不是Hamilton 图。例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。 Herschel 图不是H 图 定理4.3.2 若G 是H 图，则对V(G)的每个非空真子集S，均有： 连通分支数W(G－S) ≤| S |。 证明：设C 是G 的H 圈，则对V(G)的每个非空真子集S，均有 W(C－S) ≤| S |. 由于C－S 是G－S 的生成子图，故W(G－S)≤W(C－S)≤| S |. 证毕。 利用定理4.3.2 可判断下面(1)中的图不是H 图。事实上，令S={u, v, w}，则 W(G－S) = 4 > | S |。 但无法用该定理给出的必要条件来判断(2)中的Petersen 图不是H 图。
第三章 欧拉图和哈密顿图
第三章欧拉图与哈密顿图 （七桥问题与一笔画，欧拉图与哈密顿图） 教学安排的说明 章节题目：§3.1环路；§3.2 欧拉图；§3.3 哈密顿图 学时分配：共2课时 本章教学目的与要求：认识七桥问题的实质，理解一笔画问题的解决方法，会正确理解关于欧拉图和哈密顿图的判断定理，并进行识别． 其它：由于欧拉图与一笔画问题密切相关，因此本章首先从一笔画问题讲起，章节内容与教材有所不同。
课堂教学方案 课程名称：§3.1环路；§3.2欧拉图；§3.3哈密顿图 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：认识七桥问题的实质，理解一笔画问题的解决方法，会正确理解关于欧拉图和哈密顿图的判断定理，并进行识别． 教学重点、难点： （1）理解环路的概念； （2）掌握欧拉图存在的充分必要条件； （3）理解哈密顿图的一些充分和必要条件； 教学内容： 看图1，有点像“回”字，能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来？这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。中国古代量米用的“斗”?上下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。 这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。 一、问题的提出图1 哥尼斯堡七桥问题。18世纪，哥尼斯堡为东普鲁士的首府，有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥联结起来，见图2（1），当时那里的居民热衷于一个难题：游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。1735年，一群执着好奇的大学生写信请教当时正在圣彼得堡科学院担任教授的著名数学家欧拉。欧拉通过数学抽象成功地解决了这一问题。欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。相反地，这问题属于提出的“位置几何”。欧拉想到，岛与河岸陆地仅是桥梁的连接地点和通往地点，桥仅是从一地通往另一地的路径，一次能否不重复走遍七桥与河岸陆地大小是没有
哈密尔顿图1
《哈密尔顿图》教学设计 所属学科、专业: 理学--数学类 所属课程：《离散数学》 授课题目：哈密尔顿图 适用对象：计算机科学与技术专业、数学与应用数学专业本科生 选用教材：《离散数学》(第四版)，耿素云等编著，北京大学出版社，2008. ------------------------------------------------------------------------------ 一、教学背景 本节课是《哈密尔顿图》的第一课时，主要学习哈密尔顿图的定义和判定条件.在此之前，学生已经学习了图论的基本概念，有了初步的图论建模的思想方法，并且在前一节课刚学过与哈密尔顿图类似的欧拉图，因此学生对本节课的学习有相当的兴趣和积极性． 二、教学目标 知识目标：使学生理解哈密尔顿图的定义，掌握常见的判断哈密尔顿图的充分条件和必要条件； 能力目标：通过把实际问题转化为哈密尔顿图求解，提高用图论方法建模的能力．三、重难点分析 教学重点：哈密尔顿图的定义和判定条件； 教学难点：如何判断哈密尔顿图． 四、教学方法 探究式、启发式教学；任务驱动法 五、教学设计方案 本节课的教学设计遵循理论联系实际、循序渐进的教学原则，由实际问题出发，创设情境，激发学生兴趣；针对学生普遍认为学习难度比较大的内容，如哈密尔顿图的判定条件，本课程主要采取诱导、启发的方式，采取PPT和板书相结合的方式进行教学；在新知识给出的同时，及时通过实例进行巩固，例子的设置由浅入深，使学生循序渐进地掌握课程内容．具体教学过程安排为： （一）由哈密尔顿图的起源引入： 哈密尔顿图起源于一种数学游戏，它是由爱尔兰数学家哈密尔顿于1859年提出的“周游世界问题”，即用一个正十二面体的20个顶点代表世界上20个著名城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点．与哥尼斯堡七桥问题形成鲜明对照的是，没过多久,哈密尔顿先生就收到来自世界各地的表明已成功周游世界的答案． 教师提出问题，并适当介绍相关数学史，激发起学生兴趣，许多同学马上就开始跃跃欲
哈密顿图
13.2 哈密顿图
13.2.1哈密顿图的定义 与欧拉回路类似的是哈密顿回路问题。它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在下图中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称为周游世界问题。
定义13.3 给定图G，若存在一条路经过图中的每一个结点恰好一次，这条路称作哈密顿（Hamilton）路。若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。具有哈密顿路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。 (a)(b)(c) （a）中存在哈密顿路，不存在哈密顿回路，所以（a）是半哈密顿图， （b）中存在哈密顿回路，（b）是哈密顿图，（c）不是哈密顿图。
13.2.2哈密顿图的判定 定理13.3 （哈密顿回路的必要条件）若图G=
例13.2 某地有5个风景点。若每个景点均有两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个景点恰好一次而游完这5处？ 解 将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。由题意，对每个结点vi，有。则对任意两点均有可知此图一定有一条哈密顿路，本题有解。