杭州电子科技大学_高等数学_期末试题

杭州电子科技大学高数期末下学期考试卷

一、填空题（每小题3分，本题共18分）：

1．[3分]设二元函数)sin(xy e z =，dz = ；

2．[3分]将二次积分??-π

πππ2),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ；

3．[3分] 设L 是抛物线x y =2从)0,0(O 到)1,1(A 的弧段，则?L x y d x

= ； 4．[3分]函数x x f +=21

)(展开成x 的幂级数为 ；

5．[3分] 微分方程0)(3)(2)(=-'-''x y x y x y 的通解为 ；

6．[3分]幂级数n

n n x n )1(21+∑

∞

=的收敛半径为 ； 二、 试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：

1．[5分] 设)sin(xy xe z xy +=-，求y x

z z '',； 2．[5分] 计算dxdy y x D

??+)23( ，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成

的区域；

3．[5分] 判别级数 )1()

1(1n n n n -+-∑∞

=的敛散性，收敛的话，是条件收敛还是

绝对收敛；

试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：

1．[5分] 设y x e

z 2-= ，其中3,sin t y t x ==，求全导数dt dz ； 2．[5分] 计算三重积分yzdxdydz x I ???

Ω=2，这里Ω是由

,402x y -≤≤02≤≤-x ，10≤≤z 所确定；

3．[5分] 求微分方程xdx y ydy x sin cos sin cos =满足初始条件40π==x y

的特解。

四、试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：

1．[6分] 求椭球面623222=++z y x 在点)1,1,1(处的切平面方程和法线方程；

2．[6分] 求圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+所割下部分的面积。

五、 试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：

1．[6分] 设?

??<<≤≤-=ππx x x x x f 0,0,2)(，试写出)(x f 的以π2为周期的傅立叶级数的和函数)(x s 在],[ππ-上的表达式。

2．[6分] 计算曲线积分dy xy y x dx y x y x L

)2()32(22+-+-+?，其中L 是圆

周222=+y x 的顺时针方向。

六、[本题8分] 试求幂级数n

n n n x n )3(51-+∑

∞

=的收敛半径，并讨论幂级数在收敛端点处的收敛性，同时求级数的和函数；

七、[本题8分] 设函数)(x y 的二阶导数连续，且0)0(='y ，试求由方程dt te t y t y x y x t ]6)(2)([311)(0?-+-''-+=确定的函数)(x y 。

八、[本题7分] 计算??∑++zxdxdy yzdzdx xydydz

，其中∑是平面

0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的边界曲面的外侧。

九、[本题5分] 已知平面区域{}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0),(，L 为D 的正向边界，试证：2

sin sin 2π≥--?dx ye dy xe

x L y 。