2020届浦东高三数学二模卷及答案

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测

高三数学答案及评分细则

2020.05

一、填空题（本大题满分

54分）本大题共有 12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分?考生

应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得

4分或5分，否则一律得零

分.

1. 设全集 U 0,1,2 ,集合 A 0,1 ,则 C U A _ 2 ___________________ ?

2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115 ,则这组数据的中位数为_100_

1

3. 若函数 f X X 2 ,贝y f 1 1

—1 ________ .

4?若1 i 是关于X 的方程X 2 PX q 0的一个根（其中i 为虚数单位，p,q R ），则 Pq 0 5?若两个球的表面积之比为 1: 4则这两个球的体积之比为 _____ 1: 8 _______ .

XtI

6?在平面直角坐标系XOy 中，直线I 的参数方程为

t 为参数，圆O 的参数方程

y t

X cos

为

为参数，则直线I 与圆O 的位置关系是 相交

y Sin

1

7. 若二项式1

2 展开式的第4项的值为4.2 ,则Iim X X X

X _5_.

n

-

-

2

8. 已知双曲线的渐近线方程为 y X ,且右焦点与抛物线 y 4x 的焦点重合，则这个双

曲线的方程是 _2x 2 2y 2

1 ________ .

9. 从mm N ,且m 4个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选

出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果A 的概率和B 的概率相等， 则 m 10 . X 2 a log 2 X 2 2 a 2的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合

、选择题（本大题满分 20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案?考生必须

10.已知函数f X 为 {1}

?

11.如图，在 ABC

中,

BAC —,D 为AB 中点，P 为

3 CD 上一点，且满足 AP tAC 1

-AB ,若 ABC 的面积为 3

12.已知数列

a n ,

b n 满足a 1

bi 对任何正整数

b n 1

a n

C n 3n

1 丄 a n

b n

,

为 ______________ . 【解】a n 1 b n 1 2 a n +bn

a n 1

b n 1 2a n b n

a n bn 2“

a n 1

,G n

b n 2n ,

2 3n 3n 1

则数列 G n 的前2020项之和

n 2021

3 , S 2020 3 3

警，则IA P

的最小值为」—.

n

均有 a n 1

a n

b n a n b ∏

,

16.设集合S 1,2,3,...,2020 ,设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小 元素之差称为集合 A 的直径.那么集合 S 所有直径为

71的子集的元素个数之和为

（C ） A .

71 1949 B . 270 1949 C .

270 37 1949 D. 270 72 1949

三、解答题（本大题满分 76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区

域内写出必要的步骤.

17 .（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴顺 时针旋转120得到的. （1） 求此几何体的体积；

（2） 设P 是弧EC 上的一点，且 BP BE ,求异面 直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【解答】（1

）因为S 扇形EBC

4

8 所以，VSh

2

. ........ （7 分）

3

3

（2）如图所示，以点 B 为坐标原点建立空间直 角坐标系.则 A 0,0,2 , F 2,0,2 , P 0,2,0 ,

C 1, ■ 3,0 .

所以，FP 2,2, 2 ,

AC 1,.3, 2 .................. ..................... （ 11 分）

设异面直线FP 与CA 所成的角为 ，则

在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得

Xyo

y 1，则目标函数f 2X 0

13 .若X 、y 满足 X

A .

1 14.如图，正方体 上的点， A . C . 在平面 有一条 有

无数条 y B .

A 1

B 1

C 1

D 1 ABCD 中，

E 、

F 分别为棱

ADD I A l 内且与平面DEF 平行的直线

B .有二条 D.不存在

C .

3

5分，否则一律得零分.

15.已知函数f X COSX COSX ?给出下列结论:

①f X 是周期函数; 函数f X

图像的对称中心 （k + 2,0）（k

③若f X 1

f X 2 ,则 X I X 2 k

④不等式Sin2 X sin2 cos2 X cos2 X 的解集为

k 5,

k Z

则正确结论的序号是 A .

①②

（

B .②③④

C . ①③④ D. ①②④

y 的最大值为

B

（

Z ）

；

（4分）

2

5

CO S FP AC

FP AC 2 1 2 3 2 2 2 ??.. 6 ? 2 （13

分）

√6 √2

arccos — 4 14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 、的顶点与坐标原点重合， 始边与X 轴正方向重合，终边与单位圆分别交 3.10 2、5 所以，异面直线FP 与CA 所成角为 18.（本题满分

已知锐角

于P 、Q 两点, P 、 Q 两点的横坐标分别为 10 5 （14 分） （1） 求 COS （2）

在 ABC 中, tan A -,且 a 2 4 的大小； a 、b 、C 为三个内角A 、 C 对应的边长，若已知角 C 【解答】（1）由已知 因而 cos （ + ）=cos bc CO S CO S C 2 ,求 3 10 10 Si n （2）法一：（正弦定理）由已知, Sin B Sin （A C ） Sin q

A ）

的值. Si n Si n 10 ,COS 10 3 10 10 2,5 2 a 1 bc ■ 2 A ? 2 c

Sin A Sin C Sin BSinC 3

5 _9 25 ,cos

C 4 丄

2 1 2 5 √2 i C ,sin C 2 7.2 10

25 . ,Sin 5 JQ 10 J 5 辽

2

.5

5 J 2 （2分） 6分）

法二：（余弦定理） 7 2 2 10 2 2

b 2bccosA , （14 分）

?（7 分）

（10 分）

因而由已知得b 2 2bccosA= bc 法三：（余弦定理、 正弦定

理）

因而由余弦定理得: b 2 2 C 2

a 2 a

Sin B Sin C 7.2

10 Zf 2

cosB

cos （- 4 C

）

10

2

C b 2 2ac cosB ccosB bcosC

2ab cosC

2

2

C

b

10

2

2

同理a 2 C 得 a c, b

b 2 2 a 2

C b 2 2bc 2ab cosA b ccosA

acosC

cosC

2 2

a C bc

4

2

/2

定理)可得 a CCOSB bcos C

而C

,

4 b CCOSA acosC C

5

下同解法二

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分? 疫情后，为了支

持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额

在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案. 方案要求同时具备下列 两个条件：①补助款 f X （万元）随企业原纳税额 X （万元）的增加而增加；②补助款不 低于原纳税额X （万元）的50% ?经测算政府决定采用函数模型 b 为参数）作为补助款发放方案.

（1）判断使用参数b 12是否满足条件，并说明理由; （2）求同时满足条件①、②的参数 b 的取值范围.

3 3

,所以当b 12时不满足条件②.

4 2

....... （6 分）

解得b

,所以当b 12时不满足条件②. ........... （

6分）

4

（注：如果证明了当b 12时满足条件①得2分） （2）法一：由条件①可知， f X 在3,6上单调递增，则对任意 3 X , X 2 6时,

有 f (xj

f (X 2)

X b

4昼 b 4 (x ∣ X 2) x

1 2

0恒成立,

4 X

1

4 X 2

4 x 1x 2

即 X 1X 2 4b 0

b 1 X 1X 2恒成立，所以 b 9 ? ......... …（10分）

4

4

由条件②可知，f

X X

X 即不等式一

b 4 1 X 在 3,6 上恒成立，

2 4 X

2

十

1 2

39

所以b

X 4x

?( 13

4

max

4

综上，参数b 的取值范围是

9 39

??…( 14分）

4, 4 X b

法二：由条件①可知，

f X

4在3,6上单调递增，

4 X

所以当b 0时，满足条件；当b 0时，得2；耳 3

9

b 0,

X b JI

f X 4 (其中

4 X 【解答】（1）法一：因为当b 12时，f 3

法二：由条件②可知 X 12 1

X — 4 —X X 4,12

4 X 2

因为3

4,12 ,所以当b 法三：由条件②可知

X

X

Ξ在S 6上恒成立，所以

b

4x

max

12时不满足条件

②.

6分)

9

所以b - ..................... ( 10分)

4

b

........... ( 13 分)

4

-39 综上，参数b 的取值范围是

-,3 4 4

20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6

分.

2

X 在平面直角坐标系XOy 中，F 1, F 2

分别是椭圆 ：-T y 2 1 a 0的左、右焦点, a 直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且AF 1

AF 2 2y [2.

(1) 求椭圆 的方程；

(2) 已知直线I 经过椭圆的右焦点 F ? , P I Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形, 求直线

I 的方程；

(3) 已知直线I 不经过椭圆的右焦点 F 2,直线AF 2 , I , BF 2的斜率依次成等差数列， 求直线I 在y 轴上截距的取值范围.

【解答】(1)由AF 1 +AF 2 =2 J2可得2a 2血，从而a √2 ,

2

椭圆方程为

y 2 1. ..................... (4分)

2

(2)由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 AB//PQ 且| AB | ∣PQ ∣.

由对称性，F 1在线段PQ 上. 因此, AP I BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线

相互垂直，可得 AP BQ , 即 OA OB. ..............

(6分)

设I: X 1 my

,与椭圆方程联立可得 (m 2

2)y 2 2my 1

0 , 设??(????),????,??),因

2m

1

此y 1 y ∑

2 C ，y 1y 2

2

C .

(8分)

m 2

m 1 2

9

2

m 1

2m 2

由

y 1y 2 0 ,可得(m

1)y 1y 2 m(y 1 y 2)

1

2

2

1 0,

m 2 m 2

解得m

2,

即直线方程为 X 2y 1 0.?????

? (10 分)

(3) 设I : y kx b ,由k 1

k

2

y 1

2k ,可得 1

Y 2

2k

X 1 1 X 2 1

即心

b kx 2 b

2k .

X 1 1

x 2 1

化简可得2kx 1x 2 (b k)(x 1 X 2) 2b 2k(x 1

1)(x 2 1),

即(b k)(X 1 X 2 2)

0.

若b k 0 ,则

I: y kx k 经过 F 2 ,不符，因此 X 1 X 2.

……(12分)

联立直线与椭圆方程， (2k 2 1)x 2 4kbx (2b 2

2) 0.

因为

8(2k 2 b 2 1) 0 ①

由条件②可知,

X

X b

CC

2，即不等式

4 X 4

在3,6

上恒成立，所以

3 b

4 3 6 b 4 6

4

,得

(14 分)