复变函数在中学数学中的应用1
毕业论文
学生姓名林文强学号160901074 学院数学科学院
专业数学与应用数学
题目复变函数在中学数学中的应用
熊成继
指导教师
（姓名）（专业技术职称/学位）
2013 年 5 月
毕业论文独创性声明
本人郑重声明：
本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
作者签名：
日期：
摘要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。
关键词：复数；代数；几何；三角函数
Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics.Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve.For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex https://www.360docs.net/doc/378965496.html,ing the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students' creative thinking. Keyword:Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function
目录
1 引言 (6)
2 预备知识 (8)
2.1 复数的形式 (8)
2.2 复数的代数性质 (8)
2.3 复数的几何意义 (9)
3 复数的应用 (10)
3.1 复数的代数应用 (10)
3.2 复数的几何应用 (12)
3.3 复数的三角函数应用 (17)
结论 (20)
参考文献 (21)
1 引言
复数是指能写成如下形式的数bi a +，这里a ，b 都是实数。i 是虚数单位，满足：12-=i 。
第一次提出负数的是意大利数学家卡尔丹（Girolamo Cordano ）。他在1545年发表的《重要艺术》一书中讨论了是否能把10分成两部分使它们的乘积为40。
出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在1937年发表的《几何学》中提出“虚的数”与“实的数”相对应。从此，虚数才流传开来。
虚数的出现，引起了数学界的一片困惑，很多数学家都不承认虚数。瑞士数
为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”还有德国数学家莱布尼茨也在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概存在和虚妄两界中的“两栖物”。”然而真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，并最终让所有人承认它的。随着微积分的发明和发展。1777年欧拉在《微分公式》一文中第一次用i 表示-1的平方根，首创了用i 作为虚数的单位。此后，复数才被人们广泛的承认和使用。
众所周知所有实数都能在一条数轴找到唯一一个对应的点，那么虚数呢？1806年德国数学家阿甘得发表了虚数的图像表示法，即虚数也能用一个平面上的点表示。在直角坐标系中，取横轴上的实数a 对应点A ，取纵轴上的实数b 对应点B ，并过这两点引平行于坐标轴的直线，取它们的交点为c 就表示复数bi a +。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”。 1831年高斯以实数组()b a ,代表复数bi a +，由此建立复数的基本运算。并于1832年第一次提出“复数”这名词，同时将两种表示点的不同方法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，拓展为平面上的点与复数一一对应。并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统的建立起来。
经过数代数学家持之以恒的努力，深刻探讨并发展了复数理论，终于揭示了虚数的神秘面纱。虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集。并且随着科学技术日新月异的变化，复数理论在多项科学研究发现中都有重
要的意义。不仅在解决堤坝渗水问题中起到了重要的作用，而且为建立巨大水电站提供了重要的理论依据，并且在证明机翼上升力的基本定理中也起到了重要的作用。
复数内容在高中教材引入之后为学生解决数学问题提供了一种新的工具，使学生借助这一工具解决以前许多不能解决或者不好解决的问题。也因此复数得到了越来越多的学生和老师的关注。因此越来越多关于复数的应用的文章发表。例如：李平兰曾发表《复数在代数与几何的应用》并在其中讨论了关于复数在代数不等式，三角函数，几何题方面的应用。本文从中得到许多启发。刘绛玉，石宁，许景彦在一起发表的《复数的几何意义及其应用》中重点介绍了复数的几何意义以及复数在几何方面的应用。还有许多关于复数的应用的文章在这里就不一一介绍了。然而这些文章大部分都只是介绍了复数在中学数学中的某一方面的应用。所以本文旨在中学生已有的知识基础上，综合借鉴前人的文章，尽可能的全面的讨论复数在中学数学中的应用。其内容包含了复数在代数、三角函数以及几何上的应用。
本文将在中学生已有的知识的基础上，主要是介绍复数在中学数学上的应用。全文阐明复数的意义及其性质的基础上，首先讨论了复数在解代数问题中的应用，重点的复数的模的性质的应用运算上。然后借助复数运算的几何意义，给出了复数在几何上的应用。最后是运用了复数的三角形式及性质，说明了复数在三角函数上的应用。
2 预备知识
复数（Complex Number ）为形如bi a +的数。式中a ，b 为实数，i 是一个满足12-=i 的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i 不是实数，而是实数以外的新的数。在复数bi a +中，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数内容在高中教材中引入之后，使学生对数的概念已初步形成了较完整的认识。而且复数知识沟通了代数，三角，几何之间的有机联系，这样又为学生解决数学问题提供了一种强有力的新工具，借助这一工具使以前许多不能解决或者较难解决的问题顺利的解决。
2.1复数的形式
复数有多种表示形式
①代数形式：bi a z += ()R b a ∈, 是复数常用形式
②几何形式：复数bi a z +=用直角坐标平面上点()b a z ,表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
辐角，记辐角主值为z arg 。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
2.2 复数的代数性质
一、 复数模的性质
2.3 复数的几何意义
复数本身的几何意义
在任一复数bi a z += 和复平面上的点或由原点出发的向量OZ 是一一对的 关系，而复数的模则对应此点到原点的距离或有向线段OZ 的长度[]2。
加减运算的几何意义
21z z ≠0时，z 1所对应的向量为OZ 1,2z 所对应的向量为OZ 2。则21z z +所 对应的向量是以OZ 1,OZ 2为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ （如图1）. 12z z -
乘除运算的几何意义
复数()1111sin cos θθi r z +=所对应的向量为OZ 1 ，复数所对应的向量为OZ 2
。
()1
111sin cos θθi r z +=则21z z z ?=所对应的向量为把OZ 1按逆时针方向旋转θ
2
度
（θ2<0，则按顺时针方向转动2θ），再将1z 的模变为原来的2r 倍（如图3）。 同上z=
2
1
z z 所对应的向量为把OZ 1按顺时针方向旋转θ2度（θ2<0，则按逆2r 倍（如图4）[]3。
3 复数的应用 3.1 复数的代数应用
O X
Y z
1
z 2z
一、复数证明不等式
运用复数的模的一些基本性质证明实数不等式，对于一些较为复杂的不等
式给出较为简单的证明。
例1 设1a ，2a ，1b ，2b 为任意实数，证明：11b a +22b a ≤2
2
21a a +2
221b b +。
分析 这道不等式证法很多，用复数模的性质则极其简单。 证明 令Z 1=21ia a +，212ib b Z -=。 则有213Z Z Z ==()21ia a +()21ib b -
=11b a +12b ia +21b ia +22b a =()2211b a b a ++()2112b a b a i -
2211b a b a +=3Re Z ≤3Z =21Z Z ?=21Z Z ?=22
21a a +2
221b b +? 不等式得证。
例2 若实数 z y x ,,满足等式 a z y x =++，2
2
2
2
2
a z y x =++ （0?a ）
求证 a x 320≤
≤，a y 320≤≤，a z 3
2
0≤≤。[]4 分析 此题可以多种方法证明 如不等式的性质，解析法等等，可若用复数 法，则明显更加简便。
证明 由题可得：z a y x -=+ （1）
222221
z a y x -=+ （2）
设复数 iy x Z +=1 ix y Z +=2 则由 2121Z Z Z Z +≤+ 得 2222y x y x +≤+ （3） 将（1），（2）代入（3）得 22
2
12
2z a z a -≤- 则有 2（222z az a +-）??
?
??-≤22214z a
由此易得 a z 320≤
≤ 同理可证 a x 320≤≤ a y 3
2
0≤≤。 由以上2个例题 我们可知在某些不等式证明题中，若能认真观察题目的结构特点，用复数的方法可以更加容易更加简洁的证明。
二、复数求函数的最值
例3 求 45222++++=x x x y 的最小值。 解 因为()41522
2++=++x x x ()2
2224-+=+x x
所以令()i x z 211++= i x z 22-= 则有 212
2
2
1
z z z z y +=+
=
，
因为2121z z z z -≥+
可得 ()()i x i x y 221--++≥i 41+=17=（当且仅当1z 与2z 共线，即
x
x 2
12-=+，亦既21-=x 时成立。）
所以 17min =y 。 小结 求形如()()x g x f y +=
的最小值，设复数1z 2z ，使()x f z =2
1，
()x g z =2
2
，且21z z +或21z z -为常数。然后利用不等式公式 21z z +2
1z z ±≥来求解的。
例4 求函数2210222+--++=x x x x y 的最大值。 解 因为 ()22
231102++=++x x x ()11222
2+-=+-x x x
可设 i x z 311++= i x z 112+-=
由复数模的性质可得 2121z z z z -≤+=22 所以有 222221≤+≤-z z 注意到 当且仅当21kz z =时 等号成立。 既 ()i x k i x +-=++131 可得 3=k 且2=x
当2=x 时，有2213321=+-+=-i i z z 故222221≤+≤-z z ，
即22221022222≤+--++≤-x x x x 可得函数在2=x 时取得最大值22。
总结 当题型具有复数模的差的形式时。可以借助复数模的性质进行解题。
3.2 复数的几何应用
对于诸如正多边形 等腰三角形 圆等平面几何问题，如果运用普通的平面几何方法不仅难度大技巧高，不易找到关键点甚至无从下手而且单一的方法易造成学生的思维定性。为此寻找运用复数的方法去正题，不仅更加便利简洁而且更让学生耳目一新更好的接受吸收。
一、 平面几何证明题
例5 已知四边形ABCD 内接与圆，证明△ABC , △ABD , △BCD , △DAB 的重心共圆。
分析 根据共轭复数的性质,复数D C B A ,,,按顺序四点共圆的充要条件
为π=??
? ??--+??? ??--C B C D A B A D arg arg ，根据这个性质就很容易可证。
证明设D C B A ,,,四点对应的复数为D C B A ,,,。
则有 π=??
?
??--+??? ??--C B C D A B A D arg arg
再设△ABC , △BCD ,△CDA , △DAB 的重心分别为P L N M ,,,。 则有 ()C B A M ++=31,()D C B N ++=31,()D C A L ++=31,()D B A P ++=31
故()M N A D -=-3,()L N A B -=-3,()M P C D -=-3,()L P C B -=-3
所以()()???? ??--=??? ??--L N M N A B A D 33arg arg ,()()???? ??--=???
??--L P M P C B C D 33arg arg 所以有π=??
?
??--+???
??--L P M P L
N M N arg arg .所以P L N M ,,,四点共圆。
例 6 等腰斜边为BC ，
AD //BC ,BC =CD ,AB 交CD 于E 。求证：
BD =BE 。
分析 本题可引入复平面。
证明 设以A 为原点，AC 所在直线为X 轴，AB 所在直线为Y 轴，且设已知等腰Rt △ABC 的直角边长为a ，∠BCD =θ。则有
:ai a z +=1, :()θθsin cos 12i z z +=。
即()()θθsin cos 2i ai a z +?+=()()θθθθsin cos sin cos ++-=ia a 由//,可得λ=。
A
则有AD ：()ai a z +=λ3，a i a a AC AD CD λλ+-=-=。 故有()()θθθθsin cos sin cos ++-ia a a i a a λλ+-= 从而有 ()a a a -=-λθθsin cos
()a i ia λθθ=+sin cos 解得2
1
sin =θ 故∠DCB =30°
由条件BC =CD , ∠DCB =30°可得∠BDC =75°。
从而∠DEB =∠DCB +∠CBA =30°+45°=75°=∠BDC 即BD =BE 得证。 例7 有边长为2的正方形ABCD ，E 是正方形的中点，P 点是对角线AC 上的一点，有PN ⊥BC ，PM ⊥AB 垂足分别为N ,M 。求证EM ⊥EN 且
EM =EN 。
分析 此题有多种解法，本文则用复数解法。
证明 设以B 为原点，BC 所在直线为X 轴，BA 所在直线为虚轴建立复平面。则A,B,C,D,E 所对应的复数为2i,0,2,2+2i,1+i 。 设点P 所对应的复数为 ()i a a -+2
则有 i a z --=1:1 ()i a z -+-=11:2 可得()22
111z a z =-+=
所以EM=EN
又有()[]()[]i a i a z z -+-?+-=?11121()[]
112
+--=a i
即()
0Re 21=?z z ，即EM ⊥EN 得证。
总结 用复数证明平面几何问题，通常是建立一个复平面，用复数表示几 何图形中的点或线段，然后将图形中的一些位置关系转化为复数的数关系，然后再通过复数的运算证明原题。 二、复数解解析几何题
对于某些解析几何题来说，若用纯粹的解析法来解往往都很困难以及麻烦，
然而引入复平面，用复数的一些性质意义来处理，往往会有令人耳目一新的方法呈现。
例8[]5 定长为4的线段AB 的两端都在抛物线x y 22= 上移动，M 为线段
AB 的中点，求点M 到Y 轴的最短距离，并求出M 的坐标。
解 如图5，引入复平面，设A ,B 所对应的复数分别为1z ，2z 。 可得 ??? ??+=-
21Re 2111z z ，??? ?
?
+=-21Re 2122z z 。
所以()1Re 21Re 21Re 2121212121++=??? ?
?
++??? ??+=-+-
z z z z z z 可得()121Re 21+=++m x z z （m x 为M 的横坐标） 由复数模的性质可得： 421212*********==-=??
?
??--??? ??-≥-+-
AB z z z z z z 即412≥+m x 得 2
3
≥
m x 由题意可知，z 对应向量211-，z 对应向量2
1
2-。
当且仅当FA 与FB 共线且反向时，等号成立。
即当AB 为焦点弦时，m x 取最小值。
再由抛物线的焦点弦公式θ
sin 2p
AB =（θ为线段AB 与X 轴的夹角）
即4sin 2=θ，可得2
1
sin =θ。 所以33tan tan 21tan ±==??
? ??
-===θθθm m x FH MH y
所以M 的坐标为???
?
??±
33,23。
例9 在平行四边形ABCD 中，若4422AD AB BD AC +=? .求平行四边形的各个内角值。
解 如图7，引入复平面，设平行四边形的锐角∠θ=BAD ,令AB =a ，
AD =b 。有复数A =0，B =a ,D =()θθsin cos i b +，C =()θθsin cos i b a ++。
故 ()2
2
sin cos θθi b a AC ++=，
()2
2
sin cos θθi b a BD +-=
所以()2
2222
2
sin cos θθi b a BD AC +-=?
2
2222sin 2cos θθi b b a --= )(
)
2
22222sin 2cos θθb b a -+-= θ2cos 22244b a b a -+= 因为444422b a AD AB BD AC +=+=?
所以可得 02cos 222=θb a ，即02cos =θ
所以 4
π
θ=
所以四边形的4个内角∠DAB =∠BCD =4π ∠ABC =∠CDA =43π
三、点的轨迹
例10 如图8，线段4=BC ，现有一直线L 与BC 相距为2的地方平行。L 上有一动点D ，以BD 为边做等腰Rt △ABD 使AB ⊥BD ,以CD 为边做等腰Rt △CDE 使CD ⊥CE 。求AE 的中点P 的运动轨迹。 分析 解此类题目最好就是引入复平面。
解 如图8，引入以BC 所在直线为X 轴，BC 中点为原点建立坐标系。 设直线L 在X 轴上方。可得()0,2-B ，()0,2C ，L :2=y ，()2,t D 。 可得i t 22++=。由题意可得，绕B 点逆时针旋转90°得
所以??? ?
?
+=2sin 2cos ππi BD BA
()()i t i i t 22)0(22++-=+++= 可得()i t BA OB OA 24++-=+= 同理可得()i t OE 24--=
因为P 是AE 的中点
故()
=+=OE OA OP 21
()()[]i t i t 24242
1--+++-
()()[]i i t t 222442
1
=+-+++-=
设P 点坐标为（x ，y ），则0=x ，i y 2=。 由此可知x ,y 均为定值。所以点P 是定点()2,0
例11 图
9线段AB ，已知A 为定点（4,0），B 为单位圆122=+y x 上的 动点，以AB 为边做正三角形ABC （ABC 为顺时针方向），求C 点轨迹 。 解 以原坐标轴为轴建立复平面，设A ,B ,C 三点所对应的复数分别为
A Z ,
B Z ,
C Z ,
由题意可知AB 顺时针旋转
3
π
得到AC 故有 ()??? ?
?
+-=-3sin 3cos ππi Z Z Z Z A C A B
即 ()???? ??+-=-232144i Z Z C B 亦即 i i
Z Z C B 3222321-+????
??+= ()[]
i Z i C 3222321+-???
?
??+= 故
()
13222
3
21==+-+B C Z i Z i 即 ()
1322=+-i Z C
所以C 点的轨迹是以（2，32）为圆心，半径为1的圆。
小结 求轨迹是解析几何中的重要内容，如果直接用解析方法求动点间的 关系，有时会很复杂繁琐，但若用复数法求轨迹就很简洁，因为利用树形结合将复数的四则运算的几何意义有机联系在一起，显得非常的方便。
3.3 复数在三角函数上的应用
一、 三角函数的计算 例12 计算7
3cos 72cos
7
cos
πππ
+- （第五届国际竞赛题）
解 设7
sin
7
cos
π
π
i z +=，则有17-=z
z
z 217cos 2+=π
，242172cos z z +=π，3621
73cos z z +=π 所以73cos 72cos 7cos πππ
+-=3
624221
2121z
z z z z z +++-+ 3
3
3652421z z z z z z z z +-++--+=
由等比数列求和公式得：
()()011
11117
6
5
4
3
2
=+-=----=+-+-+-z
z z z z z z z z
所以73cos 72cos 7cos πππ
+-=
2
12033=+z z 小结 运用复数的基本性质计算三角函数的和或积问题，首先要引入复数，
然后再用复数表示三角函数，接着就复数进行计算，最后简化计算结果。这样把三角函数问题转化为复数问题，可以开扩学生的思维模式。
二、三角函数恒等式
例13 △ABC 的三角分别为A ，B ，C ，三条对应的边分别为a ，b ，c 。
求证 B
b
A a sin sin =(证明正弦定理) 证明 如图10以△ABC 的顶点A 为原点，边A
B 为X 轴建立复平面，A ，
B ，
C ，三点表示的复数分别为A Z ,B Z ,C Z 可得 0=A Z ,c Z B =，()A i A b Z C sin cos +=
故 ()A i A b AC sin cos +=,c AB =，()()()B i B a BC -+-=ππsin cos 由AC BC AB =+,得 ()()()B i B a c -+-+ππsin cos =()A i A b sin cos + 即 ()=+-B ia B a c sin cos ()A i A b sin cos + 由虚部相等得 A b B a sin sin =
即B
b
A a sin sin = （正弦定理得证）
例13 A ,B ,C 是△ABC 的三个内角。
求证 ??? ?
?
??+=++2sin 2sin 2sin 41cos cos cos C B A C B A
证明 设2sin 2cos
1A i A z +=,2sin 2cos 2B i B z +=,2
sin 2cos 3C
i C z += 因为π=++C B A ,所以i C
B A i
C B A z z z =+++++=2
sin 2cos
321 由题设可得 121212sin iz z A -=，222212sin iz z B -=,32
321
2sin iz z C -=
2
1
4121cos z z A +=，224221cos z z B +=，234
321
cos z z C += 原式右边 =1+????
?
?-?-?-32
32221212121214iz z iz z iz z =1+
()
1212
32221233223212221232221-+++---z z z z z z z z z z z z =1-1+()()[]
2
322232122212322
2121z z z z z z z z z ++-++ = ()()[]
2
322232122212322
212
1z z z z z z z z z ++-++ 等式左边= 2
14121z z ++2242
21z z ++ 2
34321z z + =
()()()
2
3
22212
2
2143232142232221
2111z z z z z z z z z z z z
+++++ =
()()[]
2
3222321222123222123222121z z z z z z z z z z z z +++++- =()()[]
2
322232122212322
212
1z z z z z z z z z ++-++ 原式左边=右边得证。
结论
本文通过对运用复数的性质及意义解决非复数问题的分析，分别列举了在代数，几何以及三角函数中可以运用复数巧妙解决的问题，同时阐述了应用复数具体结局诸多问题的方法和途径，培养学生的创新以及开拓思维，使其能够掌握解题的要点及策略。
参考文献
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【4】李平兰.复数在代数与几何的应用.湖南娄底：邵阳师范高等专科学校学报，2000
【5】刘金金.复数在求极值问题中的应用.湖南农机,2012
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复数的真实性存在疑虑，所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外，在学习这门课程当中，复变函数这部分原理、规律多，内容枯燥、抽象，需要理解的概念和定义也多，学生普遍感觉到理论性偏强，有点抓不住重点；而积分变换这部分所涉及的背景较多，学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程，也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广，它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处，同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点，而没有注意到它们的不同点，这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可，觉得这门课程与高等数学没什么区别，感觉是在重复学习，没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密，复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差，在后续课程用到时，往往都要花一定得时间去复习，否则学生难于跟上，造成教学重复现象，课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解，提高了我们对这门课程的认真度，同时鼓励同学
Matlab在复变函数中应用解读
Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月
MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand
im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下：
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
复变函数发展历程
复变函数发展历程 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 校内发展的历史 《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。 随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。 针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。 实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学
复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
泛函分析论文
泛函分析作业 数学系08级5班 08020170 赵英杰
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空
间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。 （一）、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 （二）、巴拿赫空间
复变函数在中学数学中的应用1
毕业论文 学生姓名林文强学号160901074 学院数学科学院 专业数学与应用数学 题目复变函数在中学数学中的应用 熊成继 指导教师 （姓名）（专业技术职称/学位） 2013 年 5 月
毕业论文独创性声明 本人郑重声明： 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日期：
摘要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。 关键词：复数；代数；几何；三角函数
Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics.Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve.For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex https://www.360docs.net/doc/378965496.html,ing the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students' creative thinking. Keyword:Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function
复变函数试题与答案
复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数 授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。 难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别 1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。 注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。 内点、外点和边界点： 设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内” ，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。 区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都 属于该点集。 闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。 练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？ 答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域. 例子： ||z r <代表一个圆内区域 ||z r <代表一个圆外区域 12||r z r <<代表一个圆环区域 将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。 注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念 2、复变函数 定义：形式和实变函数一样，()w f z =
复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）： 变量：z x iy =+ 函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+ 复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化） 极限： 设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即 0lim ()z z f z A →= 对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是： 当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A 不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散 举例：（1）222()()xy f z i x y x y =+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222 lim 22(,)010 kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在. （2）实变函数例子1()f x x = 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x x f x -→=-∞ 连续：0 0lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。 几个简单的复变函数 （1） 多项式：2012n n a a z a z a z +++ （其中n 为整数） （2） 有理分式：20122012n n n n a a z a z a z b b z b z b z ++++++
泛函分析在数值分析中的应用
泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2)
复变函数在信号处理分析中的应用
复变函数在信号分析处理中的应用 班级021161 姓名张秋实 学号02116013
前言 复变函数学了一个学期了，不敢说自己学习十分认真努力，也不敢说自己理解这个学科，有自己的见解，很多对复变函数的理解仅仅建立在人云亦云的基础之上。而且，对于信号的分析处理这门更加复杂，更需要科研精神的学科，我之前根本就没有多少的关注，对此我感到十分惭愧。基于以上几点，这篇文字对于我来说没有多少东西是真正属于我的，大部分为参考资料和前人的论文得来的，希望老师理解。 何为复变函数？何为信号分析？ 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。而复变函数在工程领域有很多的应用，其中在电气电子领域中，用的比较多的就是在信号的分析和处理上了。那么什么是信号分析与处理呢？ 为了充分地获取信息和有效利用信息，必须对信号进行分析和处理。信号分析就是通过解析方法或者测试方法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握它随时间或频率变化的规律的过程。 通过信号分析，可以将一个复杂的信号分解成若干个简单信号的分量之和，或者用有限的一组参量去考察信号的特性。信号分析是获取信号源或信号传递系统特征信息的重要手段，人们往往通过对信号特征的深入分析，得到信号源或者系统特征、运行情况甚至故障等信息，这正是故障的诊断基础。 而信号分析的基本方法有：时域分析法；频域分析法；复频域分析法。时间信号的频域分析和复频域分析中，复变函数的应用比较典型。 一、连续时间信号的频域分析 在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简单信号（傅氏变换与反变换）。频率特性是信号的第二个特性，频率特性就是通过变换将时间变量转变为频率变量，在频域中分析信号的方法。
复变函数测试题及答案
第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z
（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z