高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用
教学目的:
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。
教学重点:
1、二元函数的极限与连续性;
2、函数的偏导数和全微分;
3、方向导数与梯度的概念及其计算;
4、多元复合函数偏导数;
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线;
7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点:
1、二元函数的极限与连续性的概念;
2、全微分形式的不变性;
3、复合函数偏导数的求法;
4、二元函数的二阶泰勒公式;
5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数;
6、拉格郎日乘数法;
7、多元函数的最大值和最小值。
§8. 1 多元函数的基本概念
一、平面点集n 维空间
1.平面点集
由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ?R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作 E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.
例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )| x 2+y 2 如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP | 邻域: 设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即 }|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U . 注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U . 点与点集之间的关系: 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点; (3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点. E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E . E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点. 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集 E ={(x , y )|1 满足1 集合{(x , y )|1 连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集. 区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ?U (O , r ), 其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集. 无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集. 例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域. 2. n 维空间 设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ? ? ? , x n )的全体所构成的集合, 即 R n =R ?R ?? ? ??R ={(x 1, x 2, ? ? ? , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ? ? ?, n }. R n 中的元素(x 1, x 2, ? ? ? , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ? ? ?, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n ), y =(y 1, y 2, ? ? ? , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ? ? ? , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ? ? ? , λx n ). 这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间. R n 中点x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )和点 y =(y 1, y 2, ? ? ? , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定 2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+???+-+-=y x ρ. 显然, n =1, 2, 3时, 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即 22221 ||||n x x x ???++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得 ),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+???+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限: 设x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n ), a =(a 1, a 2, ? ? ? , a n )∈R n . 如果 ||x -a ||→0, 则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a . 显然, x →a ? x 1→a 1, x 2→a 2, ? ? ? , x n →a n . 在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如, 设a =(a 1, a 2, ? ? ? , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ} 就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念 例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h . 这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 V RT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2 121R R R R R += . 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定. 定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为 z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D ) 其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量. 上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }. 函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等. 类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ? ? ? , x n ), (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如, 函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域); 函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域). 二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面. 例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面. 三. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限. 定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ?∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε 成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为 A y x f y x y x =→),(l i m ) ,(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)), 也记作 A P f P P =→)(lim 0 或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限. 例4. 设2 2 221sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim ) 0,0(),(=→y x f y x . 证 因为 222 22 222 22 |1s i n ||| |01 s i n )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+?+=-++=-, 可见?ε >0, 取εδ=, 则当 δ<-+-<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P ?∈时, 总有 |f (x , y )-0|<ε, 因此 0),(lim ) 0,0(),(=→y x f y x . 必须注意: (1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论: 函数?????=+≠++=0 00 ),(222 222 y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限? 提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 00lim )0 ,(lim ),(lim ) 0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时, 0lim ) ,0(lim ),(lim ) 0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿直线y =kx 有 2 22220 2 2 ) 0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx y y x += +=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限. 极限概念的推广: 多元函数的极限. 多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似. 例5 求 x xy y x )sin(lim ) 2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ?=→→) sin(lim )sin(lim )2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x ) 2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→?==1?2=2. 四. 多元函数的连续性 定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→, 则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续. 如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数. 二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数. 证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ?ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故?δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε. 以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε, 即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为 ),(s i n s i n lim ),(lim 000) ,(),() ,(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→, 所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的. 定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点. 例如 函数?????=+≠++=0 00 ),(22222 2y x y x y x xy y x f , 其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点 O (0, 0)是该函数的一个间断点. 又如, 函数1 1 s in 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点. 注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点. 可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数. 多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的. 例如 2 221y y x x +-+, sin(x +y ), 2 22 z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则 )()(lim 00 P f P f p p =→. 例7 求 xy y x y x +→) 2,1(),(lim . 解: 函数xy y x y x f += ),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}. P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)?D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此 2 3)2,1(),(lim ) 2,1(),(= =→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0 P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是 )()(lim 00 P f P f P P =→. 例8 求 xy xy y x 11lim ) 0 ,0(),(-+→. 解: ) 11() 11)(11(lim 11lim ) 0 ,0(),() 0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 2 11 11lim ) 0 ,0(),(= ++=→xy y x . 多元连续函数的性质: 性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得 f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D }, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. §8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是 x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 0y y x x x z ==??, 0y y x x x f ==??, 0 0y y x x x z ==, 或),(00y x f x . 例如 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?) ,(),(lim ),(00000 00. 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 , 记作 0y y x x y z ==??, 0y y x x y f ==??, 0 0y y x x y z ==, 或f y (x 0, y 0). 偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??, x f ??, x z , 或),(y x f x . 偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0 . 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??, y f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0 . 求 x f ??时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ??时, 只要把x 暂时看作 常量而对y 求导数. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确? 0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 0 0),(),(00y y x x y y y x f y x f ===. ]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==, 0 ]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 x z y x f z y x x f z y x f x x ?-?+=→?) ,,(),,(lim ),,(0 , 其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x x z 32+=??, y x y z 23+=??. 823122 1=?+?=??==y x x z , 7 22132 1=?+?=??==y x y z . 例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解 y x x z 2sin 2=??, y x y z 2cos 22=??. 例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z y z x x z y x 2ln 1=??+??. 证 1-=??y yx x z , x x y z y ln =??. z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1 ln 11 =+=+ =??+??-. 例4 求222z y x r ++=的偏导数. 解 r x z y x x x r = ++= ??2 2 2 ; r y z y x y y r = ++= ??2 2 2 . 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 求证: 1-=????????p T T V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p -=??; p RT V =, p R T V =??; R pV T =, R V p T =??; 所以 12-=-=??-=????????pV RT R V p R V RT p T T V V p . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义: f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率. 偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 ?????=+≠++=0 00 ),(222 222 y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示: 0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y . 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有 00lim )0 ,(lim ),(lim ) 0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有 22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→. 因此, ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续. 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??, y f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0 . 二. 高阶偏导数 设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数 ),(y x f x z x =??, ),(y x f y z y =??, 那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 ),()(22y x f x z x z x xx =??=????, ),()(2y x f y x z x z y xy =???=????, ),()(2y x f x y z y z x yx =???=????, ),()(22y x f y z y z y yy =??=????. 其中),()(2y x f y x z x z y xy =???= ????, ),()(2y x f x y z y z x yx =???=????称为混合偏导数. 22)(x z x z x ??=????, y x z x z y ???=????2)(, x y z y z x ???=????2)(, 22 )(y z y z y ??=????. 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例6 设z =x 3y 2 -3xy 3 -xy +1, 求2 2x z ??、3 3x z ??、x y z ???2和y x z ???2. 解 y y y x x z --=??32233, x xy y x y z --=??2392; 2 2 2 6xy x z =??, 2336y x z =??; 196222--=???y y x y x z , 196222--=???y y x x y z . 由例6观察到的问题: y x z x y z ???=???22 定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ???2及y x z ???2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数. 例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02 222 =??+??y z x z . 证 因为)ln(2 1ln 2222y x y x z +=+=, 所以 2 2y x x x z += ??, 2 2 y x y y z += ??, 2 22222222 222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=??, 2 22222222 222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??. 因此 0) ()(22222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z . 例 8.证明函数r u 1 =满足方程0222222=??+??+??z u y u x u , 其中222z y x r ++=. 证: 32211r x r x r x r r x u -=?-=???-=??, 52 343223131r x r x r r x r x u +-=???+-=??. 同理 52 32231r y r y u +-=??, 52 3 22 31r z r z u +-=??. 因此) 31()31()31(52 352 3523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=??+??+?? 33)(3352352 223=+-=+++-=r r r r z y x r . 提示: 6236333 22 3)()(r x r r x r r r x x r r x x x u ???--=??? --=-??=??. §8. 3 全微分及其应用 一、全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分: f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x , f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y , f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ). 计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) 可表示为 ) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ, 其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y . 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ), 于是 0lim 0 =?→z ρ, 从而 ) ,(]),([lim ),(lim ) 0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件: 定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ??、 y z ??必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ???+???=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有 f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |). 上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得 A x y x f y x x f x =?-?+→?) ,(),(lim , 从而偏导数x z ??存在, 且A x z =??. 同理可证偏导数y z ??存在, 且B y z =??. 所以 y y z x x z dz ???+???=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有 f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |). 上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得 A x x o A x y x f y x x f x x =??+=?-?+→?→?]|) (|[lim ),(),(lim , 从而x z ??存在, 且A x z =??. 同理 y z ??存在, 且 B y z =??. 所以y y z x x z dz ???+???=. 偏导数x z ??、 y z ??存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数 ?? ? ?? =+≠++=0 00 ),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即?z -[f x (0, 0)?x +f y (0, 0)?y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(?x , ?y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时, ρ ] )0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ??+??-?02 1 )()()()(222 2≠=?+????= ?+????= x x x x y x y x . 定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ??、 y z ??在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数. 按着习惯, ?x 、?y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作 dy y z dx x z dz ??+??=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy x z 2=??, y x y z 22+=??, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy . 例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解 因为xy ye x z =??, xy xe y z =??, 21 2e x z y x =??==, 21 22e y z y x =??==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yz e y x u ++=2 sin 的全微分. 解 因为1=??x u , yz ze y y u +=??2 cos 21 , yz ye z u =??, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2 cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用 当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|?x |, |?y |都较小时, 有近似等式 ?z ≈dz = f x (x , y )?x +f y (x , y )?y , 即 f (x +?x , y +?y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )?x +f y (x , y )?y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 V =π r 2h . 已知r =20, h =100, ?r =0. 05, ?h =-1. 根据近似公式, 有 ?V ≈dV =V r ?r +V h ?h =2πrh ?r +πr 2?h =2π?20?100?0. 05+π?202?(-1)=-200π (cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值. 解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02). 取x =1, y =2, ?x =0.04, ?y =0.02. 由于 f (x +?x , y +?y )≈ f (x , y )+f x (x , y )?x +f y (x , y )?y =x y +yx y -1?x +x y ln x ?y , 所以 (1.04)2. 02≈12+2?12-1?0.04+12?ln1?0.02=1.08. 例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是22 4T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少? 解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产 生的误差就是二元函数2 24T l g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此 我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为 ||||||T T g l l g dg g ???+???=≈? T l T g l g δδ???+???≤|| || )21(4322T l T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为 )004.02 10022 1.0(43 22??+=πδg )/(93.45.022s cm ==π. 002 22 5.02100 45.0=?=ππδg g . 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对 误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy , 则z 的误差 ||||||y y z x x z dz z ???+???=≈? ||||||||y y z x x z ????+????≤ y x y z x z δδ???+???≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ???+???=||||; z 的相对误差约为 y x z z y z z x z z δδδ??+ ??=||. 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数,且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = (x>0,y>0)[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限: A (2,1,-6), B (0,2,0), C (-3,0,5), D (1,-1,-7). 解:A 在V 卦限,B 在y 轴上,C 在xOz 平面上,D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1,2,3),求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解:设所求对称点的坐标为(x ,y ,z ),则 (1) 由x -1=0,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为:(1,-2,-3). (2) 由x =-1,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为:(-1,-2,-3). 同理可得:点M 关于y 轴的对称点的坐标为:(1, 2,-3);关于z 轴的对称点的坐标为:(1,-2,3). (3)由x =-1,y =2,z +3=0,得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为:(-1, 2,-3). 同理,M 关于yOz 面的对称点的坐标为:(1, 2,3);M 关于zOx 面的对称点的坐标为:(-1,-2,3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0,0,z ),依题意有|MA |2=|MB |2,即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11,故所求的点为M (0,0, 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解:由两点距离公式可得2 12 14M M =,2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =-3,c =5,求这个平面的方程. 解:所求平面方程为1235y x z + +=-。 6. 求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程. 解:因所求平面经过x 轴,故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,-3,-1)在平面上,所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0),M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解:因所求平面平行于y 轴,故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上,于是 A D C D +=?? +=? 可得关系式:A =C =-D ,代入方程得:-Dx -Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z -1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面? 解:表示以点(1,-2,0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形? (1) x -2y =1; (2) x 2+y 2=1; (3) 2x 2+3y 2=1; (4) y =x 2. 解:(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。 §5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==,,,,=, z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????; 模型2. ()()u f x y z x y =,,,z=z , x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===,,,,z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===,,,,,,, u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =,,有连续的一阶偏导数,又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?,求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++ 由2xy e xy -=两边对x 求导,得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-(分子和分母消去公因子()1xy e -) 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导,得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++,f ,?具有二阶连续导数,则 2________z x y ?=??。 答案:()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注:①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关; ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ,其中函数?具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有( ) (A )2222u u x y ??=-??;(B )2222u u x y ??=??;(C )222u u x y y ??=???;(D )222 u u x y x ??=??? 答案:B 全微分形式不变性 例:利用全微分形式不变性求sin u z e v =,u xy =,v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数,且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=?? 第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ,则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ,则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=,则 y x x z 1 2+=?? ( ) 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在,则 该函数在P 点处一定连续 ( ) 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = ( ) 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f ( ) 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续,但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 ( ) 二、填空题 1. 设2 ln y x z = ,则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在,则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数: 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2: 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=,求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=,证明:.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1.xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2.2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz 第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容: 一、 区域 1. 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点,δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即 ),(0δP U =}{0δ 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中,E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如,}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+ 第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法,尤其是形如z=f (x 2-y 2 ,e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时,对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则,即z=f (u ,v),u=u(x ,y),v=v(x ,y),有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种: (一)全部函数关系都给出:这时可按前边方法求偏导数,如求二元函数 )ln(2v u z +=,xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,,可以把u ,v 代入z 中,再求偏导数,即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy ),求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? (二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ,x 2+y 3), 的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ,v=x 2+y 3,用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=,23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则,有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数,是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t),y =y (t),z = z (t),在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ,则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ,y ,z)=0(或z=f (x ,y)),在曲面上的点P(x 0,y 0,z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ,则在点(x 0,y 0,z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1.填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2,x y z ???2 ,则在D 上, x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2.求下列函数的定义域 (1)y x z -=;(2)2 2 arccos y x z u += 3.求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→; (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ; (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4.设()xy x z ln =,求y x z ???23及2 3y x z ???。 5.求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =;(2)()xy z ln =;(3)32z xy e u =。 6.设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数 dt dz 。 7.设()z y e u x -=,t x =,t y sin =,t z cos =,求dt du 。 8.曲线?? ???=+= 4422y y x z ,在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少? 9.求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10.设y x ye z x 2sin 2+=,求所有二阶偏导数。 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件, 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性; 2、函数的偏导数和全微分; 3、方向导数与梯度的概念及其计算; 4、多元复合函数偏导数; 5、隐函数的偏导数;多元函数极值和条件极值的求法; 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线; 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念; 2、全微分形式的不变性; 3、复合函数偏导数的求法; 4、二元函数的二阶泰勒公式; 5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数; 6、拉格郎日乘数法,多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§1第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学(下)》,第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》,第六版.高等教育出版社 第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 (一) 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数,一方 面充实微分学,另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上,在一元函数微分学基础上,通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法,并注意比较它们的异同。 (二) 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念,引入二元函数由点函数再过渡到多元函数,并引入多元函数极限,讲清它的概念,并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同,可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法,如换元化为一元函数两边夹准则,运用连续性等。在理解极限概念之基础上,不难得到求一个二元函数极限不存在之方法,最后可介绍累次极限与重极限之关系。 (三) 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念,类比一元函数,引入偏导数,通过例题说明,偏导与连续之关系,在偏导数的计算中,注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例,类比一元函数的微分,引入全微分的定义,并指出用定义判断),(y x f z =可微,即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件,重点指出可微与偏导之关系,让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义,最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 (四) 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式,画出函数关系图,通过关系图中“分线相加,连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =,)(x u ?=,)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。 多元函数微分学总结内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念 ①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时,()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限,比如:极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等(见例2) 例1证明:2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0()的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点,可考虑选择路径 2x ky =。 证明: 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++, k ∴不同,极限值就不同,故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念,了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念,有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念,熟练掌握偏导数的计算,了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数(主要是一阶)。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法,会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 (1)重点:多元函数概念,偏导数与全微分概念,偏导数计算,微分在几何上的应用,多元函数的极值的计算。 (2)难点:二重极限的定义与计算,多元函数连续;偏导数存在与可微之间的关系;复合函数的高阶偏导数;方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此两者之间有许多相似之处,但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m;且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念 偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数:),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??,就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数;对y 的偏导数 x x x z =??(同理)。 2) `全微分:),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则:画出函数到自变量的路经,然后利用链式迭加法则:即同 条路经的偏导数相乘,不同路经的偏导数相加,求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =,)(),(t v t u ψ?==,则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =,),(),,(y x v y x u ψ?== 则: x v v z x u u z x z ????+ ????=??,y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则: A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定,则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定,则 z x F F dx dz -=,z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定,从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ,求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理 第八章多元函数微分法及其应用 (讲授法18学时) 上册研究了一元函数微分法,利用这些知识,我们可以求直线上质点运动的速度和加速度,也可以求曲线的切线的斜率,可以判断函数的单调性和极值、最值等,但这远远不够,因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说,研究自然现象总离不开时间和空间,确定空间的点需要三个坐标,所以一般的物理量常常依赖于四个变量,在有些问题中还需要考虑更多的变量,这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广,所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方,但也有许多不同的地方,学生在学习这部分内容时,应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性,了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配: 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点: 重点: 1.多元函数的极限与连续; 2.偏导数的定义;全微分的定义 3.多元复合函数的求导法则;隐函数的求导法则 4.方向导数与梯度的定义 5.多元函数的极值与最值的求法 难点: 1.多元函数微分学的几个概念,即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系; 2.多元复合函数的求导法则中,抽象函数的高阶导数; 3.由方程组确定的隐函数的求导法则; 4.梯度的模及方向的意义; 5.条件极值的求法 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=(或0 lim (,)P P f x y A →=)的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法: (1)令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ,若极限值与k 有关,则可断言 函数极限不存在; (2)找两种不同趋近方式,若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在,但两者不相等, 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商, 等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似: 例1.用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2(03年期末考试 三、1,5分)当0,0→→x y 时,函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在?证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ,讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在? 例4(07年期末考试 一、2,3分)设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ,讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在? 例5.求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1. 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在(0,0)处的连续性。 例2. (06年期末考试 十一,4分)试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。 例3.求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 .(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义) 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在,则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? (相当于把y 看成常数!所以求偏导数本质是求一元函数的导数。) 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题: . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题(单选): 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π(n=1,2,3,…); (B) x=y=n π(n=1,2,3,…); (C) x=y=m π(m=0,±1,±2,…); (D) x=n π,y=m π(n=0,±1,±2,…,m=0,±1,±2,…)。 答:( ) 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点(0,0)处: (A )无定义; (B )无极限; (C )有极限但不连续; (D )连续。 答:( ) 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题: . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题(单选): . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答:( ) 三、试解下列各题: .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题: . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题(单选): 1. 函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)两偏导数存在是函数在该点全微分存在的: (A )充分条件; (B )充要条件; (C )必要条件; (D )无关条件。 答:( ) 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = ( B ) (A)等于0; (B)不存在; (C)等于 12 ; (D)存在且不等于0或 12 (提示:令2 2 y k x =) 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ,则极限lim (,)x y f x y →→0 = ( C ) (A)不存在; (B)等于1; (C)等于0; (D)等于2 (提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小) 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ,则(,)f x y ( A ) (A) 处处连续; (B) 处处有极限,但不连续; (C) 仅在(0,0)点连续; (D) 除(0,0)点外处处连续 (提示:①在2 2 0x y +≠,(,)f x y 处处连续;②在0,0x y →→ ,令y kx = , 200 0(0,0)x x y f →→→=== ,故在220x y +=,函数亦连续。所以, (,)f x y 在整个定义域内处处连续。) 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( A ) (A)必要而非充分条件; (B)充分而非必要条件; (C)充分必要条件; (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ,则??u x = ( B ) (A) x x y 22 +; (B) - +y x y 22 ; (C) y x y 22 + ; (D) -+x x y 22 高等数学期末复习 第九章 多元函数微分学 一、内容要求 1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限 4、掌握二元函数偏导数定义,性质,能确识别二元函数偏导数定义形式,得出偏导数正确表达 5、会求二元函数偏导数值:求偏导函数,代入点求值 6、会求二元函数微分值:求偏导函数,代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数 12、会求二元函数驻点,判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况 14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度 二、例题习题 1、二元函数x y z arcsin =的定义域是( ) A.|}||||),{(x y y x ≤ B. }0|||||),{(≠≤x x y y x C. }0|||||),{(≠>x x y y x D. }0|||||),{(≠≥x x y y x 解:使函数x y z arcsin =有意义,只要||1,0y x x ≤≠,即||||,0y x x ≤≠,所以,选B. (内容要求1) 2、函数22 1 (,)ln()=++ +f x y x y x y 的定义域为 ; 解:使函数22 1(,)ln()=++ +f x y x y x y 有意义,只要22 0,0x y x y +>+≠,所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠(内容要求1)(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
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