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认识三角形

1．三角形有关的概念

(1) 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫

做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．(2) 三角形的表示

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

如图7 -4 一l，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边： A B、B C、AC;有三个角： A 、B、 C ．

△ABC的三边用a,b,c 表示时，A所对的边BC用a表示． B 所对的边AC用b 表示． C 所对的边AB 用c 表示．

2．三角形的分类

三锐角三角形（三个是角锐都角）

角直角三角形（有一是个直角角）

形钝角三角形（有一是个钝角角）

注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角，则三角形是锐角

三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形．

3．三角形中边的关系

（1）三角形的任意两边之和大于第三边；

（2）三角形的任意两边之差小于第三边

如图7 -4 -1 中，a b c,b c a,a c b;c b a,c a b,a b c 。

注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。

例如：有三条线段的长分别为3、4、6 因为 3 +4 >6，所以这三条线段能组成三角形．

又如：有三条线段的长分别为3、4、8 要为3+4 <8，所以这三条线段不能组成三角形．

4．三角形的三种主要线段

(1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。

如图7 -4 -2，AD 是△ABC的高，可表示为AD BC或ADC =90°或

ADB = 90°。

- 1 -

(2)中线： 在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段 ，叫做三角形的中线。

如图 7 -4 -3，AE 是△ABC 的中线，表示为 BE=EC 或 BE =

1 2

BC 或 BC= 2EC.

(3)角平分线： 在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线 ，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段．

1

如图 7-4-4，AF 是 ABC 的角平分线，可表示为

BAF

CAF 或 BAF

BAC

2

或 BAC 2 CAF .

一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。 5．三角形的高、角平分线、中线的画法 (1)三角形高的画法，如图 7-4 -5．

注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．

②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图 7 -4 -5 甲， ③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图 7 -4 -5 乙，

④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图

7 -4 -5 丙．

(2) 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线． (3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。 防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．

6．面积法解题

例如：如图 7 -4 -6，在△ ABC 中，AB =AC ，AC 边上的高 BD= 1 0，求 AB 边上的高 CE 的长．

解析：由三角形面积公式有：

S ABC

1 2

CE AB

1 2

BD AC

因为 AB =AC ，BD =10， 所以 CE= BD= 10.

- 2 -

释

诠

名题

B C上的一点，点 E 在AD 上．

7 -4 -7，点 D 是△ABC的边

【例题

1】如图

(1)图中共有____个三角形；

(2)以.AC为边的三角形是____；

(3)以BDE为内角的三角形是____.

【解析】(1) AD 的左右两侧各有 3 个三角形，分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、

△ECD，左右两侧组合又形成 2 个以BC为边的三角

形，它们

边的三角形有 3 个，它们是△.ACE、△ACD、△ACB. (3) 是△ABC、△EBC.故共有8 个三角形．(2) 以AC为

内角的三角形有 2 个，它们是△EBD、△ABD．

以BDE为

【答案】(1)8 (2)△ACE、△ACD、△ACB (3)△EBD、△ABD

序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形．

【点评

择恰当的顺

】数三角形要注意选

2】下列三角形分别

是什么三角形？

【例题

是50°和60°；

（1）已知一个三角形的两个内角分别

(2) 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；

(3) 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；

(4) 已知一个三角形的周长为16cm，有两边的长分别是6cm 和4cm.

【解析】确定三角形的形状，应紧扣定义．

是50°和60°，所以第三个内角是70°，

180°，而两个内角分别

角三角形，因为三角形内角和为

【答案】(1)锐

角三角形．

个三角形是锐

即这

(2) 直角三角形，同理．

(3)钝角三角形，同理．

(4) 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6(cm)．

和角的条件，再根据定义判别

．

三角形的边

】应

【点评

全面考虑

成三角形的是( )．

段能组

【例题

3】下列长

度的三条线

A. lcm、2cm、3.5cm

B.4cm、5cm、9cm

C. 5cm、8cm、15cm

D.8cm、8cm、9cm

段不能构成三角形

【解析】因为

1+2<3.5，所以lcm、2cm、3.5cm 的三条线

4+5 =9，所以4cm、5cm、9cm 的三条线段不能构成三角形；

因为

5+8<15，所以5cm、8cm、15cm 的三条线

段不能构成三角形；

因为

8+8 >9，所以8cm、8cm、9cm 的三条线

段能构成三角形．

因为

【答案】 D

便方法

之和大于第三边．简

【点评

段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边

】三条线

之和是否大于最大边

．

验较

小的两边

是检

4】甲地离学校4km，乙地离学校lkm ．记

甲、乙两地之间的距离

【例题

为( )．

为d km ，则d的取值

A.3

B.5

C.3 或5 D．3≤d≤ 5

：(1)甲、乙两地与学校在一条直线上；(2)甲、乙两地

论

应分两种情况讨

【解析】本题

构成三角形，可利用三角形三边

关系解题．

上，则

与学校不在同一条直线

【答案】 D

7-4 -8，在△ABC中，1= 2，G为A D 的中点，延长B G 交AC于

【例题

5】如图

E．F为A B 上一点，CF AD 于H，下面判断正确的有( )．

- 3 -

①AD 是△ABE的角平分线；②BE是△ABD 边AD 上的

中线；③CH为△ACD边AD 上的高；④AH 是△ACF的角平

分线和高线．

A.l 个B．2 个 C.3 个D．4 个

【解析】由1= 2 知AD 平分BAE．但AD 不是△ABE内的线段，故①错，AD 应是△ABC的角平分线；同理，BE经过△ABD 的边AD 的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确，正确的说法应是BG是△ABD边AD 上的中线；由于CH AD 于H，故CH是△ACD边AD 上的高，故③正确；AH 平分FAC并且在△ACF内，故AH 是△ACF的角平分线，同理AH 也是△ACF的高，故④正确．

【答案】 B

【点评】三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延

伸．

【例题6】在△ABC中，AB =AC，AC边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长，【解析】中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，要分类讨论：(1)当腰长小于底边时，AB +AD =12，如图7-4 -9①；(2)当腰长大于底边时，AB +AD =15，如图7-4 -9②．

．

1

【答案】设AB= x，则有：AD= DC= x

2

1

=12，x=8．

(1)若AB +AD =12，即x + x

2

AB =AC =8,DC = 4，故BC= 15 -4= 11.

此时AB +AC> BC，

所以三角形三边长分别为8cm，8cm，llcm.

1

=15，x=10．

(2)若AB+ .4D= 15，即x+ x

2

即AB =AC =10，DC = 5，

故BC=12 -5 =7．显然，此时三角形存在，

所以三角形三边长分别为l0cm，l0cm，7cm．

综上所述，此三角形的三边长分别为8cm，8cm．llcm 或l0cm，l0cm，7cm．

【例题7】如图7-4 -10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE，其中画法错误的是____________

- 4 -

【解析】甲图错在把三自形的高线与AC边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE与AC不垂直；丙图错在没有过点 B 画AC的垂线，故不是高；丁图错在没有向点 B 的对边画垂线．

【答案】甲、乙、丙、丁

【例题8】如图7—4-11，在△ABC 中，AB =AC，AC边上高BD=10，P 为边BC上任意一点，PM AB，PN A C，垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．

【解析】连接AP 后，PM、PN就转化为△APB和△APC的高，从而由面积法可求得PM+ PN 的值．

【答案】连接AP，由图7-4 -11 可知：

S ABP S S ，

ACP ABC

1 1 1

即AB PM AC PN AC BD

2 2 2

因为AB =AC，BD =10，

所以PM+PN= BD =10.

速效基础演练

1 如图7 -4 -12，图中三角形的个数共有( )．

A 1 个B．2 个 C.3 个D．4 个

2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是________，这个三角形是___________

三角形

3 如图7 -

4 -13．

( 1 ) AD BC，垂足为D，则AD是___________的高，_______=_______= 90°；

( 2 ) 若AE 平分BAC ，交BC于E 点，AE叫___________的角平分线，BAE =_______= ( 3 ) 若AF= F C，则△ABC的中线是_________; 1

2

________;

( 4 ) 若BC= GH= HF．则AG 是________的中线，AH 是_________的中线。

- 5 -

4 如图7 -4 -14，在△ABC 中， C = 90°，D、E 为AC 上的两点，且AE= DE，CBD

，则下列说法中不正确的是( )．

1

= EBC

2

A．BC是△ABE的高

B．BE是△ABD 的中线

C．BD 足△EBC的角平分线

D．ABE EBD DBC

5 如图7 -4 -15，哪一个图表示AD 为△ABC的高？( )

6 如果三角形的两边分别为 3 和5，那么这个三角形的周长可能是( )．

A．15 B．16 C．8 D．7

7 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )．

A. lcm，2cm，3cm

B. 2cm，3cm，6cm

C. 4cm，6cm，8cm

D. 5cm，6cm，12cm

8 如图7 -4 -16，为估计池塘岸边A、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测

得OA =15 米，OB =10米，A、B 间的距离不可能是( )．

A．5 米B．10 米C．15 米D．20 米

9 如图7 -4 -17，在△ABC中，(1)画出 C 的平分线CD；(2)画出AC边上的中线BM；

(3)画出△ABM 的边BM 上的高AH

.

10 如图7 -4 -18．△ABC是周长为18cm 的等边三角

形，D 是BC上一点，△ABD 的周长比△ADC的周长多2cm，求B D、DC的长。

- 6 -

11 等腰三角形的周长为30，一腰上的中线把其周长分成差为 3 的两部分，试求腰长．

12 已知如图7 -4 -19，在△ABC中，BE平分ABC ，交AC于点E，DE∥BC，EF∥AB，分别交AB、BC于点D、F，则BE是DEF 的平分线吗？请说明理由．

13 在△ABC中， C = 90°，BC = 6，AC =8，AB =10，求边AB 上的高．

知能提升突破

1 如图7 -4 -20，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE上的中点，且S ABC =4

2 cm ，

求阴影部分的面积S阴。

2 如图7 -4 - 21，在△ABC中，AB= AC，BD 是AC边上的高，P 为BC延长线上的一

点，PM AB ，PN AC ，垂足分别为M、N．试问PM、PN与BD之间有何关系？

3 某木材市场上木棒规格和价格如下表：

规格1m 2m 3m 4m 5m 6m

价格

（元/ 根）10 15 20 25 30 35

小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．问：

(1) 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？

(2) 选择哪一种规格的木棒最省钱？

- 7 -