关于动态规划方法的最优消费路径

关于动态规划方法的最优消费路径有些学者从微观经济理论的角度探索消费和投资的最优比率。例如，Ｐｈｅｌｐｓ构建了不确定收入下的最优消费率［２］。基于这一模型，Ｍｅｒｔｏｎ以布朗运动模拟不确定收益，利用动态规划建模的方式，求出在连续时间假设下获得最大消费效用的消费和资产投资组合［３］。然而Ｍｅｒｔｏｎ的模型采用了Ｐｒａｔｔ的绝对风险厌恶度（ａｂｓｏｌｕｔｅｒｉｓｋａｖｅｒｓｉｏｎ）［４］，即假设投资者的风险偏好是和年龄、财富无关的常数，从而把家庭总财富比率设计成常数。为了改进过于严格的常系数风险厌恶假设，Ｆａｒｈｉ和Ｐａｎ－ａｇｅａｓ假设投资者可以通过控制退休时间来调整劳动供给，从而实现最优消费和投资［５］。另外有些学者拓展了Ｍｅｒｔｏｎ等人的模型，如Ｈａｋａｎｓｓｏｎ和Ｒｉｃｈａｒｄ研究了存在保险时的生命周期最优消费［６］［７］；Ｋａｒａｔｚａｓ使用鞅方法研究了个人如何选择消费率来实现消费和财富效用最大化［８］；Ｂｏｄｉｅ等人探讨了退休期间的最优消费投资问题［９］。有些学者则从宏观经济学的角度阐述消费和投资对消费效用最大化的影响。李嘉图的古典消费理论强调了消费对经济的刺激。凯恩斯绝对收入假说认为消费主要取决于当期绝对收入，平均消费倾向（ＡＰＣ）随收入增加而减少。按此假说，一战后，美国人民收入增加，储蓄应随之增加。但是，Ｋｕｚｎｅｔｓ实证研究发现战后储蓄并未增加，长期ＡＰＣ稳定［１０］。为解析上述矛盾现象，Ｄｕｅｓｅｎｂｅｒｒｙ提出相对收入假说，家庭会比较其他家庭的收入，

即相对水平，来决定自己的消费水平［１１］（Ｐ３）。相对收入假说的缺陷在于家庭的消费是短视行为，没有考虑未来收入。为克服相对收入假说存在的问题，Ｆｒｉｅｄｍａｎ提出了家庭将根据终生收入来决定消费的持久收入假说［１２］（Ｐ２６－１３５）。内生增长理论被广泛用于分析投资和消费的最优分配。该理论假设在生产过程中的规模收益不变，即凸性生产技术，经济增长的决定因素是生产要素，生产率是由模型内生所决定的，而不是由资源、人口等外部因素决定。典型的内生增长模型有ＡＫ模型、Ｒｅｂｅｌｏ模型等［１３］。

曾经有人质疑ＡＫ模型是否可以用来评估经济增长。Ｊｏｎｅｓ建立了技术为常数的ＡＫ模型，对函数关于物质资本和人力资本求最大值，并基于１９５０～１９８８年加拿大、法国、德国等１５个ＯＥＣＤ国家的时间序列数据，研究发现战后投资额同经济增长无关，并由此推断ＡＫ模型对投资和经济增长关系的预测是短期的或不正确的［１４］。为了反驳ＡＫ模型不适用于研究经济增长的结论，ＭｃＧｒａｔｔａｎ建立了技术为常数的ＡＫ模型，对函数关于消费和资本求最大值。ＭｃＧｒａｔｔａｎ用１８７０～１９８９年１１个国家的数据验证了投资率和经济增长之间的正相关关系，证明政府投资诱导政策会永久性影响经济增长［１５］。ＭｃＧｒａｔ－ｔａｎ发现Ｊｏｎｅｓ之所以用ＡＫ模型测不出投资和经济增长的相关性，一是数据期限短，二是模型设计存在缺陷。ＭｃＧｒａｔｔａｎ的模型假设如下：（１）代表性家庭选择投资和消费，从而实现生命周期效用最大化；（２）家庭有两种资本，分别是结构资本和设备资本，

家庭收入来源于把结构资本和设备资本租给公司的租金；（３）家庭收入要向政府缴纳税收，因此政府政策可以影响投资产出比和劳动闲暇选择。这样一来，ＭｃＧｒａｔｔａｎ就解释了Ｊｏｎｅｓ观察到的投资增加而产出稳定的短期离差，并从理论和实证角度验证了ＡＫ模型的有效性。本文在持久收入假设和内生增长理论框架下，研究经济增长的最优消费投资比率，从理论上指导国民收入的合理分配。之所以选择资本产出弹性为单位弹性的ＡＫ模型，是因为资本对发展中国家很重要。发展中国家可以通过购买技术先进的国家的设备得到知识，这种由投资带来的技术溢出可以加速整个国家的现代化。另外，由于行业间存在溢出效应，当资本提高某个行业的生产率时，与之相关行业的生产率也随之提高［１６］，所以不仅要考虑资本对单个行业的作用，还需要考虑资本的社会回报。Ｌｊｕｎｇｑｖｉｓｔ和Ｓａｒｇｅｎｔ建立的ＡＫ模型与本文有类似的目标函数ｙｔ＝Ａｋαｔ，也猜测了相同的值函数形式，并得到了类似的策略函数［１７］，但本文与之不同的是：第一，他们假设资本产出弹性大于零而小于１（０＜α＜１），从而使资本边际效用递减，通过数学推导发现资本收敛，而本文假设资本产出弹性等于１（α＝１），从而使资本没有边际效用递减，通过数学推导发现资本不收敛，而值函数收敛；第二，本文考虑了资本折旧；第三，本文通过真实数据，再现改革开放以来消费和投资对提高社会效用的贡献。本文余下部分的结构安排如下：第二部分建立包含资本折旧率和贴现因子的最优消费模型，通过猜解求出策略函数，讨论了消费、资本积累序列的意义，并通过求导分析了

各变量对值函数的影响；第三部分比较了不同贴现因子下的值函数，并用三维效果图展示了１９７８～２０１０年中国消费、资本和值函数的演变关系；最后是本文的结论。

模型

本文考虑生产单一商品的经济，此商品既可消费又可投资，投资以资本的形式体现，消费品和资本品可以相互转换。消费数量和消费投资比决定代表性行为人的效用，社会计划者的目标是通过政策引导消费路径，使代表性行为人在任意时期都能获得最大效用。经济增长由资本驱动，因此设生产函数为ｙｔ＝Ａｋｔ，其中Ａ反映技术水平，ｙｔ、ｋｔ和ｃｔ分别表示在时期ｔ的生产量、资本存量和消费。对于任意ｔ期，有ｃｔ≥０，ｋｔ≥０；且初始资本ｋ０已知。由此，可得模型：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｙｔ＋１－（δ）ｋｔ－ｃｔ，ｙｔ＝Ａｋ烅烄烆ｔ（１）其中δ为资本折旧率，０≤δ≤１；β为贴现因子，０＜β＜１；βｔｌｎｃ（ｔ）是消费效用。式（１）是终生消费效用，资本积累规则为下期资本的数量取决于本期的有效商品总供给和本期的消费。令ｆｋ（ｔ）＝Ａｋｔ＋１－（δ）ｋｔ＝（Ａ＋１－δ）ｋｔ表示包含资本折旧的有效商品总供给，则式（１）可转化为：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｆ（ｋｔ）－ｃｔ，ｆ（ｋｔ）＝（Ａ＋１－δ）ｋ烅烄烆ｔ（２）式（２）目标函数的含义是代表性行为人追求一生消费的贴现效用最大化，其中消费ｃｔ是控制变量，资本ｋｔ为状态变量。由约束条件ｋｔ＋１＝ｆ（ｋｔ）－