关于动态规划方法的最优消费路径

关于动态规划方法的最优消费路径有些学者从微观经济理论的角度探索消费和投资的最优比率。例如，Ｐｈｅｌｐｓ构建了不确定收入下的最优消费率［２］。基于这一模型，Ｍｅｒｔｏｎ以布朗运动模拟不确定收益，利用动态规划建模的方式，求出在连续时间假设下获得最大消费效用的消费和资产投资组合［３］。然而Ｍｅｒｔｏｎ的模型采用了Ｐｒａｔｔ的绝对风险厌恶度（ａｂｓｏｌｕｔｅｒｉｓｋａｖｅｒｓｉｏｎ）［４］，即假设投资者的风险偏好是和年龄、财富无关的常数，从而把家庭总财富比率设计成常数。为了改进过于严格的常系数风险厌恶假设，Ｆａｒｈｉ和Ｐａｎ－ａｇｅａｓ假设投资者可以通过控制退休时间来调整劳动供给，从而实现最优消费和投资［５］。另外有些学者拓展了Ｍｅｒｔｏｎ等人的模型，如Ｈａｋａｎｓｓｏｎ和Ｒｉｃｈａｒｄ研究了存在保险时的生命周期最优消费［６］［７］；Ｋａｒａｔｚａｓ使用鞅方法研究了个人如何选择消费率来实现消费和财富效用最大化［８］；Ｂｏｄｉｅ等人探讨了退休期间的最优消费投资问题［９］。有些学者则从宏观经济学的角度阐述消费和投资对消费效用最大化的影响。李嘉图的古典消费理论强调了消费对经济的刺激。凯恩斯绝对收入假说认为消费主要取决于当期绝对收入，平均消费倾向（ＡＰＣ）随收入增加而减少。按此假说，一战后，美国人民收入增加，储蓄应随之增加。但是，Ｋｕｚｎｅｔｓ实证研究发现战后储蓄并未增加，长期ＡＰＣ稳定［１０］。为解析上述矛盾现象，Ｄｕｅｓｅｎｂｅｒｒｙ提出相对收入假说，家庭会比较其他家庭的收入，

即相对水平，来决定自己的消费水平［１１］（Ｐ３）。相对收入假说的缺陷在于家庭的消费是短视行为，没有考虑未来收入。为克服相对收入假说存在的问题，Ｆｒｉｅｄｍａｎ提出了家庭将根据终生收入来决定消费的持久收入假说［１２］（Ｐ２６－１３５）。内生增长理论被广泛用于分析投资和消费的最优分配。该理论假设在生产过程中的规模收益不变，即凸性生产技术，经济增长的决定因素是生产要素，生产率是由模型内生所决定的，而不是由资源、人口等外部因素决定。典型的内生增长模型有ＡＫ模型、Ｒｅｂｅｌｏ模型等［１３］。

曾经有人质疑ＡＫ模型是否可以用来评估经济增长。Ｊｏｎｅｓ建立了技术为常数的ＡＫ模型，对函数关于物质资本和人力资本求最大值，并基于１９５０～１９８８年加拿大、法国、德国等１５个ＯＥＣＤ国家的时间序列数据，研究发现战后投资额同经济增长无关，并由此推断ＡＫ模型对投资和经济增长关系的预测是短期的或不正确的［１４］。为了反驳ＡＫ模型不适用于研究经济增长的结论，ＭｃＧｒａｔｔａｎ建立了技术为常数的ＡＫ模型，对函数关于消费和资本求最大值。ＭｃＧｒａｔｔａｎ用１８７０～１９８９年１１个国家的数据验证了投资率和经济增长之间的正相关关系，证明政府投资诱导政策会永久性影响经济增长［１５］。ＭｃＧｒａｔ－ｔａｎ发现Ｊｏｎｅｓ之所以用ＡＫ模型测不出投资和经济增长的相关性，一是数据期限短，二是模型设计存在缺陷。ＭｃＧｒａｔｔａｎ的模型假设如下：（１）代表性家庭选择投资和消费，从而实现生命周期效用最大化；（２）家庭有两种资本，分别是结构资本和设备资本，

家庭收入来源于把结构资本和设备资本租给公司的租金；（３）家庭收入要向政府缴纳税收，因此政府政策可以影响投资产出比和劳动闲暇选择。这样一来，ＭｃＧｒａｔｔａｎ就解释了Ｊｏｎｅｓ观察到的投资增加而产出稳定的短期离差，并从理论和实证角度验证了ＡＫ模型的有效性。本文在持久收入假设和内生增长理论框架下，研究经济增长的最优消费投资比率，从理论上指导国民收入的合理分配。之所以选择资本产出弹性为单位弹性的ＡＫ模型，是因为资本对发展中国家很重要。发展中国家可以通过购买技术先进的国家的设备得到知识，这种由投资带来的技术溢出可以加速整个国家的现代化。另外，由于行业间存在溢出效应，当资本提高某个行业的生产率时，与之相关行业的生产率也随之提高［１６］，所以不仅要考虑资本对单个行业的作用，还需要考虑资本的社会回报。Ｌｊｕｎｇｑｖｉｓｔ和Ｓａｒｇｅｎｔ建立的ＡＫ模型与本文有类似的目标函数ｙｔ＝Ａｋαｔ，也猜测了相同的值函数形式，并得到了类似的策略函数［１７］，但本文与之不同的是：第一，他们假设资本产出弹性大于零而小于１（０＜α＜１），从而使资本边际效用递减，通过数学推导发现资本收敛，而本文假设资本产出弹性等于１（α＝１），从而使资本没有边际效用递减，通过数学推导发现资本不收敛，而值函数收敛；第二，本文考虑了资本折旧；第三，本文通过真实数据，再现改革开放以来消费和投资对提高社会效用的贡献。本文余下部分的结构安排如下：第二部分建立包含资本折旧率和贴现因子的最优消费模型，通过猜解求出策略函数，讨论了消费、资本积累序列的意义，并通过求导分析了

各变量对值函数的影响；第三部分比较了不同贴现因子下的值函数，并用三维效果图展示了１９７８～２０１０年中国消费、资本和值函数的演变关系；最后是本文的结论。

模型

本文考虑生产单一商品的经济，此商品既可消费又可投资，投资以资本的形式体现，消费品和资本品可以相互转换。消费数量和消费投资比决定代表性行为人的效用，社会计划者的目标是通过政策引导消费路径，使代表性行为人在任意时期都能获得最大效用。经济增长由资本驱动，因此设生产函数为ｙｔ＝Ａｋｔ，其中Ａ反映技术水平，ｙｔ、ｋｔ和ｃｔ分别表示在时期ｔ的生产量、资本存量和消费。对于任意ｔ期，有ｃｔ≥０，ｋｔ≥０；且初始资本ｋ０已知。由此，可得模型：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｙｔ＋１－（δ）ｋｔ－ｃｔ，ｙｔ＝Ａｋ烅烄烆ｔ（１）其中δ为资本折旧率，０≤δ≤１；β为贴现因子，０＜β＜１；βｔｌｎｃ（ｔ）是消费效用。式（１）是终生消费效用，资本积累规则为下期资本的数量取决于本期的有效商品总供给和本期的消费。令ｆｋ（ｔ）＝Ａｋｔ＋１－（δ）ｋｔ＝（Ａ＋１－δ）ｋｔ表示包含资本折旧的有效商品总供给，则式（１）可转化为：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎｃ（ｔ）ｓ．ｔ．ｋｔ＋１＝ｆ（ｋｔ）－ｃｔ，ｆ（ｋｔ）＝（Ａ＋１－δ）ｋ烅烄烆ｔ（２）式（２）目标函数的含义是代表性行为人追求一生消费的贴现效用最大化，其中消费ｃｔ是控制变量，资本ｋｔ为状态变量。由约束条件ｋｔ＋１＝ｆ（ｋｔ）－

ｃｔ，可得ｃｔ＝ｆ（ｋｔ）－ｋｔ＋１，即控制变量可表示为状态变量的函数。求式（２）的最优解，就是在给定约束条件下，找到一个恰当的序列ｃｔ，ｋ｛ｔ＋１｝!ｔ＝０，使目标函数∑!ｔ＝０βｔｌｎ（ｃｔ）取得最大值。（一）猜解求值函数和策略函数为方便求极值，将式（２）由离散形式转化为连续形式，并定义值函数（）Ｖｋ为投资者在给定财富下所能达到的期望终生总效用。在竞争性均衡中投资者的效用得到了最大化，则根据汉密尔顿－雅可比－贝尔曼方程（Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｌｍａｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ＨＪＢＥ）可得：（）Ｖｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ［ｆｋ－ｋ］＇＋β｛Ｖ（ｋ）｝＇（）＝ｌｎ［ｆｋ－ｇ（ｋ）］＋βＶ［ｇ（ｋ）］（３）式（３）中，ｋ是当前时期的资本存量（相当于ｋｔ），ｋ＇是下一时期的资本存量（相当于ｋｔ＋１）。ｇ（ｋ）是利用ＨＪＢＥ进行递归迭代的策略函数，且ｇ（ｋ）＝ｋ＇，表示计划者面临的决策为：究竟是应该用政策引导代表性行为人当期多消费一些，还是当期少消费，留作下一期的资本，从而使下一期能消费更多。（）Ｖｋ和ｇ（ｋ）都是连续可微的。根据动态规划理论，可猜测值函数的形式为：（）（）Ｖｋ＝Ｅ＋Ｆｌｎｋ（４）其中，Ｅ、Ｆ是待定常数。对式（３）和（４）计算一阶最优的必要条件，并根据式（２）可得：ｇ（ｋ）＝ｋ＇＝βＦＡ＋１－（δ）ｋ１＋βＦ（５）（）ｃ＝ｆｋ－ｋ＇＝Ａ＋１－（δ）ｋ１＋βＦ（６）式（５）是策略函数ｇ（ｋ）关于ｋ的显式解，Ｆ是待定系数。（二）最优消费、资本累积序列令ｎ＝１，式（３）变成式（７）。由式（２）

可知当ｔ＝１时，以下两式成立：Ｖ１（）ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎｆｋ－ｋ［］＇（７）Ｖ１（）ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎｆｋ－ｋ［］＇＋βＶ０ｋ（）＇（８）式（７）是目标函数（２）的最大值，即社会计划者最优问题中的值函数；式（８）表示代表性行为人一生的效用贴现值等于当期效用、未来效用的贴现值之和。当期消费和期末资本的选择ｃ，ｋ｛｝＇产生了当期效用ｌｎ（ｃ），下期的资本ｋ＇将按照策略函数ｇ（ｋ）来选择。此处可获得的最大期望效用是Ｖｋ（）＇，而ｋ＇的贴现值为βＶ０ｋ（）＇。类似的，利用式（５）、式（３）逐期递归迭代可得到值函数Ｖｎ（）ｋ序列。对任意ｔ期，有：Ｖｎ（）ｋ＝∑ｎ－１ｉ＝１（β）ｉ－１ｌｎＡ＋１－δ１＋β（）Ｆ＋βｎ－１ｌｎ（Ａ＋１－δ）＋∑ｎ－１ｊ＝１ｊ（β）ｊｌｎβＦＡ＋１－（δ）１＋β［］Ｆ＋∑ｎｓ＝１（β）ｓ－１（）ｌｎｋ由于０＜β＜１，根据级数理论容易证明：当ｎ→!时，Ｖｎ（）ｋ是收敛的，且其极限值（）Ｖｋ＝ｌｉｍｎ→!Ｖｎ（）ｋ就是无穷序列的唯一解。也就是说，得到的函数方程与式（４）的猜测完全符合。可以解出Ｅ＝１１－βｌｎ（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］，Ｆ＝１１－β。将Ｅ和Ｆ代入式（４）可得到函数方程（３）的具体表达式和相应的策略函数：（）Ｖｋ＝１１－βｌｎ（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎｋ（９）ｇ（ｋ）＝βＡ＋１－（δ）ｋ（１０）式（９）也就是式（１）的解。对于任意给定的ｋ０＞０，值函数（）Ｖｋ采用策略ｋ＇＝ｇ（ｋ）＝βＡ

＋１－（δ）ｋ恒可取得最优值。回到式（１）的离散形式，对任意时期ｔ（ｔ≥０），当资本存量按策略ｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋｔ逐步演变时，式（１）必定取得最优解。相应地，ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔ。综上所述，可得式（１）的最优消费、资本累积序列ｃｔ，ｋ｛ｔ＋１｝!ｔ＝０为：ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋ烅烄烆ｔ（１１）从式（１１）可以看出：资本折旧率δ和当期消费ｃｔ以及下期资本ｋｔ＋１负相关。资本折旧率反映了资本的使用成本，折旧率越大，资本越少，收入越少，可供消费也越少。对资本的良好维护，可以降低资本折旧率。宏观政策能改变折旧率，比如政府推出投资刺激政策，会使维护既有资本的成本高于重新投资，从而提高资本折旧率；再如，高利率增加贷款成本，导致生产者更倾向于用廉价原材料，产品耐用度降低，资本折旧率提高。贴现因子β和当期消费ｃｔ负相关，和下期资本ｋｔ＋１正相关。贴现因子反映了资产预期总收入超出当期总收入的部分折现到当期末的值。贴现因子越小，代表性行为人越倾向于当期消费ｃｔ；贴现因子越大，代表性行为人越希望把消费推迟到将来。贴现因子是随机的、主观的，受真实的经济发展变化的影响，可以通过宏观经济政策引导贴现因子变化。比如福利保障制度可以提高当期消费者的信心，而提高利率会导致人们推迟当期消费。α＝１时，ＡＫ模型ｙ＝Ａｋαｔ的资本增长率ｋｔ＋１ｋｔ＝βＡ＋１－（δ）更大，而且资本不收敛。０＜α＜１时［１７］，ＡＫ模型ｙ＝Ａｋαｔ的资本增长率ｋｔ＋１ｋｔ＝αβＡｋα－１ｔ更小，而且资本收敛。另外，

根据方程（１）最优解的一阶必要条件可以断定，当且仅当ｃｔ＋ｋｔ＋１＝Ｄｋγｔ（Ｄ为常数，γ是大于零的任意实数）的形式时，即ｃｔ＋ｋｔ＋１必须与ｋγｔ成正比关系，ＡＫ模型才可能求出显式的最优解。其他学者在研究包含资本折旧的ＡＫ模型时，要么生产函数是线性的（即ｙ＝Ａｋ），而资本折旧是非线性的；要么生产函数是指数形式的（即ｙ＝Ａｋα），但资本折旧是线性的；或者假设劳动是弹性供应的（即ｙ＝Ａｋαｎ１－α）。诸如此类模型，它们所对应的消费、资本累积之和ｃｔ＋ｋｔ＋１必定不能表示为ｋγｔ（其中γ＞０）的正相关函数，因此无论采用序列推导法或贝尔曼动态规划的解法或其他方法，都不可能得到最优解的显式解析表达式，他们一般采用数值解法求解最优的消费和资本积累路径。（三）变量对值函数的影响前文定义值函数（）Ｖｋ为投资者在给定财富下，所能达到的终身期望总效用，以下讨论贴现因子β、资本折旧率δ、消费ｃ、资本存量ｋ对值函数（）Ｖｋ的影响。为方便讨论参数β、δ、ｋ的意义，将Ｖ（ｋ）记为Ｖ（β，δ，ｋ），即：Ｖβ，δ，（）ｋ＝１１－βｌｎ（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎｋ（１２）由式（１２）可以发现：１．可以证明?Ｖβ，δ，（）ｋ?β＞０对于β０≤β（≤１）恒成立，所以Ｖβ，δ，（）ｋ是β的单调增函数，即值函数（）Ｖｋ随着贴现因子β的增大而增大。而由式（１）也易知，贴现因子β越大，消费的效用就越大。２．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?δ＜０可知，值函数Ｖβ，δ，（）ｋ随着资本折旧率δ的增加而减小，也就是说，资本折旧率越高，

消费总效用就越小。关于宏观经济政策对资本折旧率和贴现率的影响，可参考公式（１１）对最优消费、资本累积序列的分析。３．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?ｋ＞０可知，值函数Ｖβ，δ，（）ｋ随着资本存量ｋ的增加而增加。资本存量ｋ越大，可用于生产的投资就越多，从而可供未来消费的也就越多（即消费ｃ越大），因此终生消费的总效用值就越大。另外，根据式（１）的假设，消费越大，消费效用也就越大，但是由于所有的生产恰好被消费与投资全部划分，即ｃｔ＋ｋｔ＋１＝ｃｏｎｓｔ是常数，若ｔ期的消费占收入比率过大，则可用于下期的资本就少，下期消费也减少，所以应该合理地安排消费－投资比率。政府可以用贴现因子、折旧率和技术进步率等政策引导消费－投资比率。