(完整版)28.2仰角俯角问题(包含答案),推荐文档
28.2仰角俯角问题
一．选择题（共8小题）
1．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平
面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂
直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距
离为（ ）
A．100mB．50m C．50m D．m
2．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度
AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的
距离为（ ）
A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m
3．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时
热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离
是（ ）
A．200米B．200米C．220米D．100（）米
4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB
方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米B．10米C．20米D．米
5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m 的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米
7．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）
A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米
8．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗
杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（ ）
A．米B．6米C．米D．12米
二．填空题（共5小题）
9．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后
向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
10．如图，甲乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处
的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为 米．
11．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并
测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC= 米．
仰角与俯角教案
教学设计- 1 - 25.3 解直角三角形——仰角与俯角苏州市彩香中学数学团队教学目标：一、知识与技能．1、进一步掌握解直角三角形的方法；2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 二、过程与方法．1、在课堂中渗透数形结合的数学思想，让学生感受到生活中处处有数学； 2、加强解直角三角形的两种基本图形的训练； 3、让学生相互探讨，能够应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。三、情感、态度与价值观．1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯；2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生生活中应用数学的意识。教学重点：一、能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形二、要求学生善于将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。解决措施：在课堂中渗透数形结合的数学思想，培养学生的学习兴趣，加强解直角三角形的两种基本图形的训练。教学难点：一、把实际问题转化为数学问题的能力的培养，二、灵活应用解直角三角形的知识、仰角、俯角等知识解决综合的实际问题解决措施：通过例题讲解与配套练习加以巩固。教学设计思路：为充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在整个教学活动中始终处于主动探索的积极状态，根据本课特点我将课堂结构设计如下：1、概念的介绍；2、简单例题的导入（把解题格式呈现给学生）；3、从同一个点观测不同物体(讲练同步)； 4、从不同点观测同一物体（讲练同步）； 5、从不同点观测不同物体及实际问题的应用。（让学生自己探究）理论依据：知识的建构主义理论教学设计- 2 - 教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a 2 ＋b 2 ＝c 2 (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系斜 边的对 A sin 边 A 斜边的 A cos 邻边 A 边边的邻 A 的对 A tan A 对边邻边的A 的A cot A （二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。(教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．) 2．导入：试一试1：如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=30°，求飞机A到控制点B距离。（让学生自己寻求辅助线的两种方法）Ａ解：ＤA A B B B C 解：（略，让学生自己构造图形）试一试2 .如图，为了测量椰子树的高度AB，在离椰子树20 米的C处，用高1.25 米的测角仪CD测得椰子树顶端B的仰角α＝30°求椰子树AB的高（保留根号）图19.4.4 A B C D 教学设计- 3 - C B A D 例1：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高? 解：（略，让学生自己构造图形）练习一：建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。(精确到0.1m) sin50°＝0.766，cos50°＝0.643，tan50°＝1.192 练习二：如图，测得两楼之间的距离30 米，从楼顶点A 观测点D 的俯角为30°，观测点C 的俯角为45°，求这两幢楼的高度？（保留根号）让学生自己构图，探索发现两种辅助线的方法：B C 30米A D F 30°45° E B C 30米A D F 30°45°E A B C D E F 30°45°30米A B C D 30米A α=30°β=60°120米B C D 教学设计- 4 - E A C B D 30°60°例2 ：如图, 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B 处，测得塔尖D 的仰角为45°，后退340m到 A 点测得塔尖D 的仰角为30°，设塔底C 与A、B在同一直线上,试求该塔的高度。（保留根号）练习三：在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D测得点A的俯角β=45°，已知塔高BD=30 米，求山高CD。C A 解：（三）能力提高动动脑？如图，测量楼房AC的
仰角、俯角的测量
课题解直角三角形（三） 一、教学目标 1、使学生了解什么是仰角和俯角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二）教学互动 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现 1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． 2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)． 3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。 解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出： （米） （米） （米）
解直角三角形的实际应用----仰角、俯角及方位角的重难点解析
28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重 难点解析 今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。 一、教材分析 （一）教材地位和作用 这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）（二）教学目标 1、知识技能目标：进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题. 2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神. （三）教学重点与难点 重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。 二、教法学法 （一）教法分析
本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。 （二）学法分析 通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。 三、教学程序 本节课我将围绕 情景引入、复习回顾、探索知识、课堂练习、小结梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学，具体步骤是： （一）情景引入 问题：(2015云南19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA ＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度？ 方式：是以云南省去年的中考题为问题而引出的。目的：（1）突出解直角三角形应用的广泛性和重要性，揭示本课学习解直角三角形应用知识的必要性和意图。（2）创设问题情景，为自然引出本课主题和目标，且有利于激发学生兴趣和解决问题的欲望。 （二）复习回顾 1. 回顾直角三角形具有的基本性质（三边关系、两锐角关系、边角关系（三角函数））。 ；结果保留整数），（73.1341.12≈≈
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28.2仰角俯角问题 一．选择题（共8小题） 1．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平 面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂 直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距 离为（ ） A．100mB．50m C．50m D．m 2．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度 AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的 距离为（ ） A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m 3．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时 热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离 是（ ） A．200米B．200米C．220米D．100（）米 4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米B．10米C．20米D．米 5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m 的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ） A．B．C．D． 6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ） A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米 7．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ） A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米 8．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第2课时 仰角、俯角问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案 第24章解直角三角形 24.4解直角三角形 第2课时俯角、仰角问题 学习目标： 1.理解仰角、俯角的概念（重点）. 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）. 自主学习 一、新知预习 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______． 合作探究 一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，从B出发沿着BC方向向前走1000 m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山的高度AC(结果保留根号)． 【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解． 【问题2】如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE 的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么旗杆AB的高度是() A．(82＋83)m B．(8＋83)m
C ．(82＋833)m D ．(8＋8 3 3)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形． 【针对训练】 1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC . 2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m 的E 处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38). 二、课堂小结 仰角俯角问题 图解 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角 当堂检测 1．如图某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞机高度AC ＝b （m ），从飞机上看地面上挥台B 的俯角为α，则飞机A 到指挥台B 的距离为（ ） A ． m B ．b cos α m C ． m D ．B sin αm
仰角俯角
课题:解直角三角形应用（仰角俯角） 编写：钟珍玖 审核：初三备课组 使用时间：2014-12-4 【【学习目标】⒈ 理解仰角俯角的含义，会运用仰角俯角解决实际问题. 【学习重点】仰角俯角的定义及应用． 【导学方案】问题一 仰角与俯角 在进行测量时，从低处向高处看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 在进行测量时，从高处向低处看，视线与水平线的夹角叫做俯角角. 问题二 仰角与俯角应用 例1、如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 例2、在山脚C 处测得山顶A 的仰角为45°.问题如下： 沿着水平地面向前300米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为600 , 求山高AB. 变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D 点测得山 顶A 的仰角为600 ,求山高AB. 练习： 1.如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离.(精确到1米） 2. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比） （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 【学习反思】我的收获___________________我的困惑____________________. B E A D C 22 °
仰角和俯角
初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角 问题》“微课堂教学设计” 一、目标设计 1.理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力. 2.培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力. 二、过程设计 板块一：知识链接 同学们，回忆我们在前几节研究的锐角三角函数的概念?还学习哪些特殊角的三角函数？ 【设计意图】承上启下，为新知打开突破口. 板块二：探究新知 （1）.了解仰、俯角的意义 水平线 ① 结合图例认识仰角和俯角. ② 合作交流，能正确作出判断. ③ 总结：从观察的目标时，与所成的锐角叫仰 角；反之，从观察的目标时，与所成的锐角叫俯角。 （2）.自主探究 出示问题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留根号）Array ①自主探索 ②合作探索 ③班内展示交流 ④请一位同学板讲 ⑤教师结合课件进行补充 ⑥反思总结提升
【设计意图】让学生产生认知冲突，让学生置身于问题情景里，把实际问题中的仰角、俯角问题化归为直角三角形中边角关系的数学问题。通过反思，让学生感知研究这类问题的一般过程是 1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）添加辅助线； 2.根据条件的特点，选用适当锐角三角形函数等去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 三、评价设计 通过板块二中的（1）了解仰、俯角的意义达成教学目标------理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力. 通过板块二中的（2）探究新知达成教学目标------培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力. 初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角
湘教版数学九年级上册4.4 第1课时 仰角、俯角问题2教案
4.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边 A A ∠∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度 斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′， 求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ 中解决。 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA= 斜边的对边 A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边， 求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边． （三）．巩固练习 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600 ，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l =h l α 基础知识2 解直角三角形的应用举例 1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即 h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= = 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）. 【题型1】仰角与俯角 如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、 E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）. （参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）
【变式训练】 1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）. 2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数 据：≈1.414，≈1.732） 3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度． 4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．
仰角与俯角
课题 解直角三角形仰角与俯角（三） 一、教学目标 1、使学生了解什么是仰角和俯角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系 ∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ （三种，重叠、向上和向下） 结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二）教学互动 例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到 0.1m)? 2 22c b a =+c a A A =∠= sin c b B B =∠= sin c b A A =∠= cos c a B B =∠= cos b a A A A =∠∠= tan a b B B B =∠∠= tan
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图, ，, 答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现 【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
中考数学复习指导：实际问题中的仰角和俯角问题.doc
实际问题中的仰角和俯角问题 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知 仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度. 梳理总结：（1）仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同 位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽 象为数学问题. ⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把 每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就 得到这座山的高度. 例1如图2 ,甲、乙两栋高楼的水平距离〃〃为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部力点的仰 角Q为30。，测得乙楼底部〃点的俯角0为60。，求甲乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果 都不取近似值. 分析:过点C作CE±AB于点E,在RUBCE和R2ACE中，BE和AE可用含CE（即为水平距离） 的式子表示出来,从而求得两楼的高. 解:作CE丄AB于点E, ?/CE||DB, CD||AB,且zCDB二90°,二四边形BECD 是矩形.??CD二BE, CE=BD. < CZJ CZ3甲 匸 1—1 % % X ■= = %%Q \ %□ A o o
在Rt^BCE 中，n 0 二60°, CE=BD=90 米. tan P = , .*.BE=CE ? tan /? = 90x tan 60° = 90\/3 （米）. CE .?.CD二BE二90VJ （米）. 在Rt^ACE 中，za = 30°,CE=90 米. AE T tan a —-- . CE 「.AE二CE tan^ = 90xtan30° =90x—= 30^3 （米）. 3 .?.AB二AE+BE二30^3 + 90^3 = 120^3 （米）. 答:甲楼高为90A/3米，乙楼高为120侖米. 反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型，作辅助线构造直角三角形（一般同时得到两个直角三角形）并解之是解决这类问题的常用方法. 例2如图3 ,小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB. 要求：⑴画出测量示意图； ⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算. 分析：要测量底步不能到达的物体的高度，要转化为双直角三角形问题,测量方案如图 2,计算的关键是求AE,可设AE二x,则在RZAGF和R2AEF中， 利用三角函数可得HE =」一，EF = ——，再根据HE-FE二CD二in tan a tan p 建立方程即可. ra A
新人教版数学九年级下册同步练习28.2 应用举例 仰角、俯角
28.2.2 应用举例 第1课时仰角、俯角 1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA 的高度为( A ) (A)米(B)米 (C)米(D)米 2.如图,学校的保管室里,有一架4米长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成角为45°,如果梯子底端O固定不动,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为( D ) (A)(2+2)米(B)(+2)米 (C)(2+)米(D)(2+2)米 3.(2018金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( B )
(A)(B) (C)(D) 4.(2017深圳)如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,CE的长为10 m,则树AB的高度是( A ) (A)20 m (B)30 m (C)30 m (D)40 m 5.如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,则A,B 两点的距离是100(+1) m. 6.如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为2.9 米(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).
(完整版)锐角三角函数仰角俯角应用题
1. (2008 安徽省芜湖市) 在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC , 小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后, 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°,已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D 点距离地面的高度.(计算结果精确到0.1米, 参考数据 :2 1.414,3 1.732≈≈.) 2. (2008 湖北省荆门市) 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点 D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米） （已知sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10° ≈0.18， sin15°≈0.26， cos15°≈0.97， tan15°≈0.27．） 3. (2008 四川省成都市) 如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践 活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C D ，间的距离．从山顶 A 处测得湖中小岛C 的俯角为60o ，测得湖中小岛D 的俯角为45o ．已知小山A B 的高为 180米，求小岛C D ，间的距离．（计算过程和结果均不取近似值） A B C D
4. (2008 浙江省) 如图，小明用一块有一个锐角为30o的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米） 5. (2009 四川省广安市) 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园 内一棵大树的高度，设计的测量方案及数据如下： （1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为30°； （2）在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°； （3）量出A、B间的距离为4米．请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1，参考数据：2≈1.41 3≈1.73） 6. (2009 安徽省芜湖市) 如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到米，参 考数据：2 1.414 ≈，3 1.732 ≈，5 2.236 ≈） 30°60° B A D C 海面
仰角、俯角问题
解直角三角形的应用作业 陈亮 一、填空： 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A 2＝________. 2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝15 8，则AB＝________. 第2题图第3题图 3、如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米。(结果保留一位小数。参考数据：sin54°＝ 0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764) 4、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米． 第4题图第5题图 5、如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游 船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1 v2＝________．(结果保 留根号)
二、解答题： 1、为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB ＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) 第1题图 2、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73) 第2题图 3、小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上． (1)求树DE的高度； (2)求食堂MN的高度．
(完整版)锐角三角函数仰角俯角应用题
1. （2008 安徽省芜湖市）在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC, 小丽同学在点A处,测得条幅顶端 D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后, 又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为45°,已知测点A、B 和 C 离地面高度都为 1.44 米,求条幅顶端 D 点距离地面的高度.（计算结果精确到0.1 米, 参考数据: 2 1.414, 3 1.732 .） 2. （2008 湖北省荆门市）如图，山脚下有一棵树AB，小华从点 B 沿山坡向上走50米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10 °，已知山坡的坡角为15 °，求树AB 的高．（精确到0.1 米） （已知sin10 ≈°0.17，cos10°≈0.98，tan10 °≈0.18，sin15 °≈0.26，cos15°≈0.97，tan15 °≈0.27．） 3. （2008 四川省成都市）如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C，D 间的距离．从山顶 A处测得湖中小岛C的俯角为60o，测得湖中小岛D的俯角为45o．已知小山AB 的高为 180米，求小岛C，D 间的距离．（计算过程和结果均不取近似值） A B
4. （2008 浙江省 ） 如图，小明用一块有一个锐角为 30o 的直角三角板测量树高，已知小明离 树的距离为 4 米， DE 为 1.68 米，那么这棵树大约有多高？（精确到 0.1 米） 5. （2009 四川省广安市 ） 在数学活动课上，九年级（ 1）班数学兴趣小组的同学们测量校园 内一 棵大树的高度，设计的测量方案及数据如下： （1）在大树前的平地上选择一点 A ，测得由点 A 看大树顶端 C 的仰角为 30°； （ 2）在点 A 和大树之间选择一点 B （ A 、 B 、 D 在同一直线上） ，测得由点 B 看大树顶 端 C 的仰角恰好为 45°； 3）量出 A 、B 间的距离为 4 米．请你根据以上数据求出大树 CD 的高度．（精确到 0.1， 6. （2009 安徽省芜湖市 ） 如图，一艘核潜艇在海面下 500米 A 点处测得俯角为 30°正前方的 海 底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60 正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点处距离海面的深度？（精确到米，参 考数据： 2 ≈ 1.414 ， 3 ≈ 1.732 ， 5 ≈ 2.236 ) D 海面
中考数学复习指导：实际问题中的仰角和俯角问题
实际问题中的仰角和俯角问题 在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度. 梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题. ⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度. 例1 如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30?，测得乙楼底部B 点的俯角β为60?，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值. 分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高. 解:作CE ⊥AB 于点E, ∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴ CD=BE,CE=BD. 铅垂线 图 1 E 图2
在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CE BE = β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=?=?β(米). ∴CD=BE=390(米). 在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CE AE =α ∴AE=CE 3303 3 9030tan 90tan 0=? =?=?α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米. 反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法. 例2 如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：⑴画出测量示意图； ⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ． 分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,β tan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. A B 图3 A E F H C D B 图4
解直角三角形的应用----仰角与俯角
七十九团中学公开课教学设计 教学设计基本信息 姓名田贺云科目数学 所用教书 书名人民教育出版 社数学九年级 下 时间2017.4.7 所教年级九年级 所教册次、 单元 九年级下第三单元 设计主题解直角三角形的应用----仰角、俯角 1.整体设计思路、指导依据说明 采用“复习引入—出示问题—学生探究—练习及总结”的方法, 总体思路是旧知让学生复习, 问题让学生解决, 规律让学生探究, 练习及总结让学生做。 2.教材分析 锐角三角函数是在直角三角形的基础上加以定义的, 在学习概念之后又用于解直角三角形, 不仅是知识的循环, 还突显出三角函数在实际测量中的重要作用, 在把实际问题转化为数学问题之后, 就是运用解直角三角形的知识来解决的. 本节课内容就是介绍解直角三角形的知识, 是三角函数知识运用的最基础的部分. 3.学情分析 本节课学生是在学习了锐角三角函数之后来学习的，本节课利用复习、问题，激活学生原有的知识，为本课的学习作知识预备。 4、教学目标分析
知识目标：了解仰角、俯角概念，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题．帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系． 情感与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识，同时激发学生对自己家乡的热爱之情及自豪感，更好的激励学习． 5、教学重点难点 1．重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题． 2．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 6、教学方法 引导探索 现学生的主体地位。 7、教学准备 PPT ，照片 8.教学过程设计 一、复习旧知, 导入新课 1. 在三角形中共有几个元素? 2. Rt △ABC (∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素? 3. a, b, c, ∠A,∠B 这5个元素中有哪些等量关系呢? 分类: 三边之间关系: a 2+b 2=________(勾股定理) 锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余) 边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, 有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 4、（1）若AC=2 ，BC=2 A C B