第三章证明三练习题及答案全套

第三章证明三练习题及答

案全套

一、填空题

1.如图，ABCD，则AB=_____，______=AD，∠A=________，________=∠D，若现在∠B+∠D=128°,则∠B=_______

度，∠C=_______度.

2.假如一个平行四边形的周

长为80 cm，且相邻两边之

比为1∶3，则长边=______cm，短边=______cm.

3.如下左图，ABCD,∠C的平分线交AB于点E，交D A延长线于点F，且AE=3 cm，E B=5 cm,则ABCD的周长为__________.

4.如上中图，ABCD，AB＞BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=__________,∠DCA=__________度，∠D=∠B=__________度，∠DAB=∠BCD=__________度.

5.如上右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有__________对.

二、选择题

1. ABCD中，∠A∶∠D=3∶6,则∠C的度数是

A.60°

B.120

C.90°

D.150°

2.在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情形是

A.2∶7∶2∶7

B.2∶2∶7∶7

C.2∶7∶7∶2

D.2∶3∶4∶5

3.如下左图，从等腰△ABC底边上任意一点D，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则AEDF的周长

A.等于三角形周长

B.是三角形周长的一半

C.等于三角形腰长

D.是腰长的2倍

4.如上右图，ABCD中，BC∶AB=1∶2，M为AB 的中点，连结MD、M C，则∠DMC等于

A.30°

B.60°

C.90°

D.45°

5.以不共线的三点为顶点，能够作平行四边形

A.一个

B.两个

C.三个

D.四个

6.平行四边形具有，但一样四边形不具有的性质是

A.不稳固性

B.内角和等于360°

C.对角线互相平分面

D.外角和等于360°

7.如下左图，在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠D A E等于

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

三、解答题

1.已知：如上右图ABCD的周长是20 cm,△ADC的周长是16 cm.求：对角线AC的长.

2.求证：平行四边形的对角线互相平分.

3.如下图, ABCD中，BD 是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.

（1）在图中补全图形；

（2）求证：AE=CF.

一、判定题

1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形( )

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形( )

3.对角线相等的四边形是平行四边形( )

4.有两组对角分别相等的四边形是平行四边形( )

5.对角线互相垂直的四边形是平行四边形( )

6.邻边互相垂直的四边形是平行四边形( )

7.假如一条对角线将四边形分成两个全等三角形,那么那个四边形是平行四边形( ) 8.对角线互相平分的四边形是平行四边形( )

9.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形( )

二、填空题

1.假如一个四边形的每对相邻内角都互补，那么那个四边形是__________.

2.延长△ABC的中线AD到E，使AE=2AD，则四边形ABEC是__________.

3.假如一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内旋转180°，与原四边形重合，则那个四边形是__________。

4.ABCD的周长是48厘米，AB=6厘米，则BC=__________厘米.

三、选择题

1.判定一个四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对边相等，另一组对边平行

B.一组邻边相等，一组对边相等

C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行

D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等

2.平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积( )

A.都不相等

B.不都相等

C.都相等

D.以上结论都不对

3.下列条件能组成一个平行四边形的是( )

A.相邻的两边分别是5 cm和7 cm，一条对角线长是13 cm

B.两组对边分别是3 cm和4 cm

C.一条边长是7 cm，两条对角线长分别是3 cm和4 cm

D.一组对角差不多上135°,另一组对角差不多上40°

4.下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )

A.AB∥CD，AD=BC

B.AB=AD，CB=CD

C.AB=CD，AD=BC

D.∠B=∠C，∠A=∠D

四、解答题

1.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

2.如图,在ABCD对角线AC上分别取E、F，使A E=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.

§3.1.2证明(三)

一、填空题

1.三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.

2.连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________.

3.一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.

4.三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形.

二、选择题

1.顺次连结梯形各边中点所组成的图形是

A.平行四边形

B.菱形

C.梯形

D.正方形

2.顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

3.等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

三、解答题

1.如图，CD是△ABC的高，E、F、G分别是BC、AB、AC上的中点.

求证：FG=DE

2.四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多能够有几个平行四边形，证明你的结论.

§3.1.3证明(三)

一、判定题

1.矩形的对角线互相平分（）

2.矩形的对角线互相垂直（）

3.对角线相等的四边形是矩形（）

4.矩形具有平行四边形的一切性质（）

5.对角线相等的平行四边形是矩形（）

二、填空题

1.如下左图,矩形的两条对角线夹角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则该矩形对角线的长是

__________.

2.如上右图.已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是__________.

3.矩形除具有平行四边形性质外，还具有性质：

①_____________________________;

②_____________________________.

4.矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OBA=__________.

5.矩形的对角线相交成60°角，对角线长为10厘米，则矩形的宽为

__________. 6.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.

7.判定一个四边形是矩形，能够先判定它是__________，再判定那个四边形有一个__________或再判定那个四边形的两条对角线__________.

8. ABCD的两条对角线相交于一点O，若△AOB是等边三角形，AB=2 cm,则ABCD的面积等于__________.

三、选择题

1.如下左图，过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E，则△AEC是（）A.等边三角形B.等腰三角形

C.不等边三角形

D.等腰直角三角形

2.如上右图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（）

A.5 cm

B.10 cm

C.15 cm

D.7.5 cm

3.下列命题中正确的是（）

A.有一个角是直角的四边形是矩形

B.三个角是直角的多边形是矩形

C.两条对角线相等的四边形是矩形

D.两条对角线相等的平行四边形是矩形

4.在矩形ABCD中，

AB=2AD，E是CD上一

点，且AE=AB，则∠CBE

等于（）

A.30°

B.22.5°

C.15°

D.以上答案都不对

四、解答题

1、如左下图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若

∠CAE=15°，求∠BOE的度数.

§3.2.1证明(三

)

2、如右上图ABCD，四内角平分线相交于E、

F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形

一、判定题

1.对角线相等的四边形是菱形( )

2.菱形的对角线互相平分( )

3.对角线垂直的四边形是菱形( )

4.只有菱形才可能对角线互相垂直( )

5.邻边相等的平行四边形是菱形( )

二、填空题

1.邻边相等的平行四边形是__________.

2.菱形的一个角是150°，假如边长为a，那么它的高为__________.

3.假如菱形的周长等于它的一组对边距离的8倍，那么它的四个角分别是__________度.

4.菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是__________.

5.菱形除具有平行四边形的性质外，还具有一些专门性质，四条边__________，对角线__________.

6.菱形的一个内角是120°，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是__________.

7.要判定一个四边形是菱形，能够第一判定它是一个平行四边形，然后再判定那个四边形的一组__________或两条对角线__________.

8.将矩形四边形中点顺次连结，形成的四边形是__________.

三、选择题

1.四边相等的四边形是( )

A.菱形

B.矩形

C.正方形

D.梯形

2.菱形的面积等于( )

A.对角线乘积

B.一边的平方

C.对角线乘积的一半

D.边长平方的一半

3.下列条件中，能够判定一个四边形是菱形的是( )

A.两条对角线相等

B.两条对角线互相垂直

C.两条对角线相等且垂直

D.两条对角线互相垂直平分

4.在ABCD中，下列结论中，不一定正确的是( )

A.AB=CD

B.AC=BD

C.当AC⊥BD时，它是菱形

D.当∠ABC=90°，它是矩形

四、解答题

1.如左下图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、AF.

求证：AE=AF

§3.2.2证明(三

)

2.在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.

求证：四边形AECF是菱形

一、判定题

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形

2.有一个角是直角的菱形是正方形

3.两条对角线互相垂直的矩形是正方形

4.四边都相等的矩形是正方形

5.正方形具有矩形和菱形的所有性质

6.既是矩形又是菱形的图形是正方形

二、填空题

1.正方形的性质：①正方形的四个角__________，四条边__________，②正方形的两条对角线__________，同时__________.

2.正方形的对角线长为10 cm，则正方形的边长是__________.

3.正方形的判定方法：①____________的菱形是正方形.②____________的矩形是正方形.

4.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少__________度能够与原图形重合.

三、选择题1.下列命题正确的是

A.四角相等且两边相等的四边形是正方形

B.对角线相等的平行四边形是正方形

C.对角线垂直的平行四边形是正方形

D.对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形

2.如图，正方形

ABCD的对角线

AC是菱形AEFC

的一边，则∠F AB

等于

A.135°

B.45°

C.22.5°

D.30°

四、解答题

1.如左下图，ABCD和AEFG差不多上正方形.

求证：BE=DG

2.（1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形？

（2）顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点，分别组成什么四边形？

§3.2.3证明(三)

一．选择题（每小题2分，共12分） 1．一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，

则等腰梯形的两底的一个锐角为 （ ） A ?30 B ?45 C ?60 D ?75

2．在Rt ⊿ABC 中，∠ACB =?90，∠A =?30，AC =cm 3，则AB 边上的中线为 （ ） A cm 1 B cm 2 C cm 5.1 D cm 3 3．等边三角形一边上高线长为cm 32，那么

那个等边三角形的中位线长为 （ ）

A cm 3

B cm 5.2

C cm 2

D cm 4

4．下列判定正确的是 （ ） A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 两角相等的四边形是梯形

C 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

D 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 5．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是 （ ）A 矩形B 菱形C 正方形 D 平行四边形 6．直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离 （ ）

A 相等

B 不相等

C 可能相等也可能不相等

D 互相垂直 二．填空题：（每小题3分，共24分）

7．已知菱形的周长为cm 40，一条对角线长为cm 16，则那个菱形的面积为 ； 8．如图：EF 过平行四边形ABCD 的对角线交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，已知AB =4，BC =5，OE =5.1，那么四边形EFCD 的周长为 ；

9．已知，如图：平行四边形ABCD 中，AB =12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 ； 10．⊿ABC 中，AB = AC =13，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，则D 点到AB 的距离为 ；

11．如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C =?90，AC = BC ，

AB =30，矩形DEFG 的一边在AB 上，顶点G 、

F 分别在AC 、BC 上，D 、E 在AB 上，若D

G ：GF =1：4，则矩形DEFG 的面积为 ； 12．在⊿ABC 和⊿ADC 中：下列论断：①AB =

AD ；②∠BAC =∠DAC ；③BC = DC ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写

出一个真命题是： ；

13．如图，在⊿ABC 中，∠C =?90，∠B =?15，

AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于D ，DB =10，那么AC = ； 14．在⊿ABC 中，∠C =?90，周长为cm )325(+，斜边上的中线CD =cm 2，则

Rt ⊿ABC 的面积为 ；

单元测试

证明(三)

三．（6分）

15．作图题：已知三个村庄的位置如图，三村联合打一口井，向三个村庄供水，使水井到三个村庄的距离相等，水井的位置设在何处？请用尺规画出水井位置，不写作法，保留痕迹。

A

?

B

?

C

?

四．解答证明题：

16．（8分）在平行四边形ABCD中，BC = 2AB，E为BC中点，求∠AED的度数；

17．（10分）如图，四边形ABCD中，AD = BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，BE = DF，求证：四边形ABCD是平行四边形；18．如图：在⊿ABC中，∠BAC =?

90，AD ⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG 是菱形；

19．（10分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为2

9，求正方形边长；

20．（10分）如图AD是⊿ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形；

21．如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，AE为∠BAD 的平分线，交GC的延长线于E，求证：BD = CE；

D

B

F

参考答案

3.1.1平行四边形的性质

一、1.CD BC ∠C ∠B 64 116 2.30 10 3.26 cm 4.2∶1 30 60 120 5.4 二、1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 三、1.解：∵ABCD 的周长为20 cm ∴AD +DC =

2

1

×20=10(cm) 而△ADC 的周长为16 cm. 即AD +DC +AC =16 ∴10+AC =16，∴AC =6，∴对角线AC 的长为6 cm.

2.证明：∵AB ∥CD

∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴在△AOB 和△COD 中

??

?

??∠=∠=∠=∠4321CD AB ∴△AOB ≌△COD ∴AO =CO ，BO =DO 3.（1）补全图形，略

（2）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADE =∠CBF

∴在△ADE 和△CBF 中，

∴??

?

??=?=∠=∠∠=∠CB AD CFB AED CBF ADE 90 ∴△ADE ≌△CBF ，∴AE =CF 3.1.2平行四边形的判别

一、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 7.× 8.√ 9.√

二、1.平行四边形2.平行四边形

3.平行四边形

4.18 三、1.C 2.C 3.B 4.C 四、1.已知：四边形ABCD ，AC 与BD 为它的对角线，交于点O ，且AO =CO ，BO =DO ，

求证：四边形ABCD 为平行四边形.

证明：在△ABO 和△CDO 中

??

?

??=∠=∠=DO BO COD AOB CO AO ∴△ABO ≌△CDO ∴AB =CD

同理可证△ADO ≌△CBO ∴AD =BC

∴四边形ABCD 为平行四边形. 2.证明：连结BD ，与AC 交于点O

∴AO =C O ，BO =DO ，

又∵AE =CF ，∴EO =FO

∴四边形EDFB 为平行四边形 3.1.2三角形的的中位线

一、1.第三边 第三边 2.平行四边形

3.7.5

4.四 二、1.A 2.B 3.D

三、1.证明：∵F 、G 是AB 、AC 的中点

∴FG ∥BC 且FG =

2

1BC ∵CD ⊥DB 且E 是BC 的中点 ∴DE =

2

1

BC ， ∴FG =DE

2.答：最多有三个，如图

EFGH 、FMHN 、EMGN 证明：提示三角形中位线定理.

3.2.1矩形

一、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二、1.10 2.120（平方单位）

3.①对角线相等 ②四个内角均为90°

4.30°

5.5厘米

6.矩

7.平行四边形 内角是直角 相等

8.43 cm 2

三、1.B 2.A 3.D 4.C

四、1.解：在矩形ABCD 中， ∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =

2

1

∠BAD =45° 又∵∠CAE =50°，∴∠BAO =∠BAE +∠CAE =60°

△AOB 为等边三角形， ∴OB =AB ，∠ABO =60°

∴∠OBE =∠ABC －∠ABO =90°－60°=30° ∵∠BAE =45°，∠BEA =45° ∴AB =BE ，OB =BE ∴∠BOE =

2

301802180?

-?=

∠-?OBE =75°

2.证明：如图在ABCD 中，

∵AE 、BG 、CG 、DE 分别为四个内角平分线

∴∠1=∠2=90°，∠3+∠4=90°

在△ABH 中∠AHB =90°=∠GHE ，在△AED 中∠AED =90°

同理可证∠GFE =90°，∠HGF =90° ∴四边形EFGH 为矩形. 3.2.2菱形

一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 二、1.菱形2.

2

a

3.30° 150° 30° 150°或150° 30° 150° 30°

4.40 cm 2

5.相等 互相垂直且平分一组对角

6.4厘米，43厘米

7.邻边相等 互相垂直

8.菱形

三、1.A 2.C 3.D 4.B

四、1.证明：在菱形ABCD 中，AB =AD =BC =CD ，∠B =∠D

又∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴BE =DF

∴在△ABE 和△ADF 中，AB =AD ，∠B =∠D ，BE =DF

∴△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF 2.证明：（证法不惟一）∵O 是AC 的中点， ∴AO =C O

又在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠2 ∴在△AOE 和△COF 中，∠1=∠2，AO =CO ，∠AOE =∠COF =90°

∴△AOE ≌△COF ，∴AE =CF 又EF 是AC 的垂直平分线， ∴AE =CE ，AF =CF ∴AE =CE =AF =CF

∴四边形AECF 是菱形 3.2.3正方形及其应用

一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√

二、1.①是直角 相等 ②相等 互相垂直平分于 2.52cm 3.一个内角是直角或对角线相等 一组邻边相等或对角线垂直 4.90 三、1.D 2.C

四、1.证明：∵四边形ABCD 、AEFG 差不多上正方形，

∴AB =AD ，AE =AG

又∵∠BAE +∠EAD =90°，∠DAG +∠EAD =90°

∴∠BAE =∠DAG ，∴△BAE ≌△DAG ∴BE =DG

2.（1）平行四边形 （2）顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形，顺次连结菱形各边中点所组成的图形是矩形，顺次连结正方形各边中点所成的图形是正方形 单元测试参考答案：

一选择题（每小题2分，共12分）

1．B ；2．A ；3．C ；4．C ；5．B ；6．A ； 二．填空题：（每小题3分，共24分） 7．2

96cm ；8．12；9．36；10．13

60；

11．100；12．①，③?②或①，②?③；

13．5；14．4

3

3-；

三．15．有铅笔作图痕迹，有点O 为所作点为水井的结论。

四．16． 证1：∵ E 为BC 中点，∴BE = EC =2

1

BC ，

∵BC = 2AB ∴AB = BE = EC = DC ∴∠BAE =∠BEA ，∠CED =∠CDE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠B +∠C =?180

∴∠BAE +∠BEA+∠CED +∠CDE +∠B +∠C =?360

∴2（∠BEA +∠CED ）+?180=?360 ∴∠BEA +∠CED =?90

∴∠AED =-?180（∠BEA +∠CED ）=?=?-?9090180

其他证法正确的也给分。

17．证：∵BE = DF ，EF = EF ， ∴BE + EF = DF + EF ∴BF = ED ∵AD = BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴⊿AED ≌⊿CFB ∴AD = BC ∴∠ADB =∠CBD ∴AD ∥BC

∴四边形ABCD 是平行四边形 18．证：

∵CE 平分∠ACB ，EA ⊥CA ，EF ⊥BC ∴AE = FE ∵∠1 =∠2

∴⊿AEC ≌⊿FEC ∴AC = FC ∵CG = CG ∴⊿ACG ≌⊿FCG ∴∠5 =∠7 =∠B ∴GF ∥AE ∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ∴AG ∥EF ∵AG =GF （或AE = EF ）

∴四边形AGFE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

用其他方法证明也可。

19．解：设正方形的边长为x

∵AC 为正方形ABCD 的对角线 ∴AC =x 2

2

9222==?=?=x x x CB AE S AEFC 菱形∴

92=x ∴3±=x 舍去3-=x

答：正方形的边长为3。

20．证：∵F 、G 、E 分别为AB 、AC 、BC 的中点，

∴FG ∥BC ，FE ∥GC

∴EF = GC =2

1AC ∵在Rt ⊿ADC 中，

∵DG 为斜边AC 边上的中线 ∴DG =2

1AC

∴EF = DG ∵FG ∥BC ∴FG ∥DE 且FG ≠DE

∴四边形EDGF 是等腰梯形。（其他证法合理也给分）

21．证：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD ∴AC = BD 且有：AB = DC ，∠BAD =∠CDA =?90 AD = AD ∴⊿BAD ≌⊿CDA

∴∠1 =∠4∵AH ⊥BD

∴∠2 +∠3 =?90，而∠1 +∠2 =?90 ∴∠3 =∠1 =∠4∵AE 平分∠BAD ∴∠3 +∠5 =∠6 +∠4 ∴∠5 =∠6 ∵AH ⊥BD ，EG ⊥BD ∴AH ∥GE ∴∠5 =∠E ∴∠E =∠6

∴AC = CE = BD ∴BD = CE