矩形的判定和性质(新)

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900

； 4.矩形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性 矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2

1

AC ）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD 中，AE?⊥BD ，?垂足为E ，?∠DAE=?2?∠BAE ，?那么，?∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

A

E

D

C

B

O

练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC

交于点E ．试求BE 与CE 的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．

例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；

A

D

C

B 图1

F E

练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

A B

C

D

E

练习2：（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

考点二：面积法

例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4， BE⊥AC于E．试求出BE的长．

练习1：如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分 BAC。若BE=4，AC=15，则 AEC面积为（）

A.15

B. 30

C. 45

D. 60 。

A

B C

E

D

A

C

B

D

P

Q

O

D

C

B

A

练习2：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=3

4cm.

(1)判定△AOB的形状.

（2）计算△BOC的面积.

练习3：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED的面积。

B

A

C

D

E

C'

考点三：矩形对角线平分且相等

例1：矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm ，则矩形的对角线长为

cm。

练习1：矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．

A．57.5° B．32.5°

C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°

练习2：矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm；则矩形的对角线长；

练习3：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC＝。

考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1

2 AC．

H E C D A B 练习1：如图，矩形ABCD 的对角线AC 交BD 于D ，E 为CB 延长线上一点，连接AE ，M 为AE 中点且BM ⊥DM 于点M ，

（1）连接OM ，若AD=8，CD=6，求OM 的长。 （2）求证：AD+BE=2AO

考点四：角平分线

例1：已知，四边形ABCD 是矩形，CH ⊥BD ，H 为垂足，AE 是∠BAD 的平分线，交HC 的延长线于E 。 求证：CE=BD 。

例2：矩形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数； A D O B E C

C

D A B

E F G

例3：（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .

（1）试找出一个与△AED

全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC

于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由.

练习1：如图，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，BE=DE ，P 为BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 。 求证：PF+PG=AB 。

课后练习：

1、矩形的两条对角线的夹角为60°，?一条对角线与短边的和为15，?对角线长是________，两边长分别等于________

2、矩形周长为36cm ，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．

3、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．

4、如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，在CD 上取上一点M ，使AM=AB ，则∠MBC=_______．

5、已知：如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF=CE ，DE=2，矩形的周长为16，求AE 的长．

6、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

7、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）

A ．10

B ．16

C ．18

D ．20

B

C

F

O

y

x

图 1

O

P

4 9

图 2

8、（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.

⑴求证：EF+GH=5cm；

EF的值．

⑵求当∠APD=90o时，

GH