直线与圆的方程专题复习

高中数学专题复习--直线与圆的方程

一、重点知识结构

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法．

直线的倾角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章重点之一，点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线1l 到2l 的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；

圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点．

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；

5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大．

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．

直线

【例题】

例1已知点),2,16(),4,1(C B 点A 在直线033=+-y x 上，并且使,21=?ABC S 求点A 的坐标．例2已知直线l 的方程为,01243=-+y x 求直线1l 的方程, 使得：

(1) 1l 与l 平行, 且过点(－1,3) ; (2) 1l 与l 垂直, 且1l 与两轴围成的三角形面积为4.

例3过原点的两条直线把直线01232=-+y x 在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角．

例4圆062

2=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点,求c 为何值时,O OQ OP (⊥为原点) ．例5已知直线b x y +-=2与圆015242

=-+-+y x y x 相切,求b 的值和切点的坐标．

例6某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a bm am (,＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？例7预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？

例8已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x 千克,y 千克,z 千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B .

，y ，z 的值，使成本最低．

【直线练习】

一、选择题

1．设M =1

201

10,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为 ( )

A .M ＞N

B .M =N

C.M ＜N

D.无法判断

2．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为（） A ．()02，

B ．

(

)

06，

C ．??

??03

，

D ．()04，

3．圆022

=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最短距离为（）

A ．2

B ．

5 C ．

3 D ．

9 4．如果AC <0且BC <0, 那么直线,0=++C By Ax 不通过 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是 ( )

A ．(0, 10)

B ．[]010,

C ．??

????331,31

D ．()[)-∞+∞,,010

6．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为 ( )

A ．232,?? ??

B ．258256,?? ??

C ．(3, 4)

D ．(4, 3)

7．如果直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线y = x 对称, 那么 ( )

A ．a b =

6, B ．a b =

=-1

6, C ．a = 3, b = －2 D ．a = 3, b = 6 8．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线

l 的斜率是 ( )

A ．-13

B ．－3

C ．13

D ．3

9．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边, 则直线sin A x ay c ·++=0与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是 ( )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

二、填空题

10．直线042=--y x 上有一点,P 它与两定点)4,3(),1,4(B A -的距离之差最大.则P 点坐标是___． 11．自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆07442

=+--+y x y x 相切，则光线l 所在直线方程为_________． 12．函数2

cos 1

sin )(--=

θθθf 的最大值为_________，最小值为_________．

13．设不等式12-x ＞)1(2

-x m 对一切满足||m ≤2的值均成立，则x 的范围为_________．三、解答题

14．已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数x y 2log =的图象交于C 、D 两点．

(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． 15．设数列{a n }的前n 项和b a n b n n na S n ,),,2,1(,)1( =-+=是常数且0≠b ．

(1)证明：{a n }是等差数列； (2)证明：以(a n ,n

S n

－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程； (3)设a =1,b =2

,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围．

例题参考答案

例1解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| = 29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为29

2811|-y ，∵?AB C 面积为21，∴

2129

|2811|2921=-?y ， ∴11141170-=

或y ，故点A 坐标为（1170,11177）或（11

,1175--）．例2解： (1) 由条件, 可设l ′

的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得－3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′

的方程为 3x +4y －9=0． (2) 由条件, 可设l ′

的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -=, 令x =0, 得3

y =, 于是由三角形面积43

421=?-?=

n n S , 得n 2

=96, ∴64±=n ∴直线l ′

的方程是06434=+-y x 或06434=--y x ．例3解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点，则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角． ∵2=CA BC ，∴??

???

=+?+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）. 又2=DB AD ，∴??

???=+==+?+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k .

∴1393

13413134|1|

=?+-=

+-=OD

OC OD

OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ．例4解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5

121c y y +=?, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5

21-=?c x x , ∵OP ⊥OQ,∴

211-=?x y x y ,∴527

4512--=+c c ，解得c = 3．例5解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,

整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令?= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5

)

2(2+=

b x ，得x =－2或x = 6，代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，

∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）．

例6解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.

由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n xCA =

x a a -αcos αsin , .αcos α

sin tan x

b b xCB k BC -=

= 于是t a n ACB =

AC BC AC BC k k k k ?+-1α

cos )(α

sin )(αcos )(αsin )(2?+-+?-=++-?-=b a x x

ab b a x x b a ab x b a

由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤α

cos )(2αsin )(b a ab b a +-?-,当且仅当

=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳．

例7解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

为??

?????≥≥≤≥≤+0

,05.120002050y x x y x y y x 由???????

==???==+72007200,20002050y x x y y x 解得

∴A 点的坐标为(7200，7

200

)

由??

???==???==+27525

,5.120002050y x x y y x 解得

∴B 点的坐标为(25，

) 所以满足约束条件的可行域是以)0,0(),2

,25(),7200,7200(O B A 为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数y x z +=在可行域内的最优解为),2

,25(但x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.

故有买桌子25张，椅子37张是最好选择．

例8解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．

（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥?=--?

++≥?及得，46320

3130

x y x y +≥??-≥?，

所以，75450.x y +≥所以，40075400450850,c x y =++≥+=

当且仅当4632050

, 313020x y x x y y +==???

-≥=??

即时等号成立．所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域0

0463203130

x y x y x y ≥??≥?

?+≥??-≥?上使得

40075c x y

=++最大的点．不难发现,应在点)20,50(M 处取得．

【直线练习】参考答案

一、选择题： ABACB DAAC

1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =

x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . ． 2．解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a

所以有????

?==??????=-+-=-+-06

)3()3()1()1(222222b a b

b a b b a ．二、填空题：

10.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6）． 11.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切．答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 12.解析：f (θ)=

cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：34

13.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：2

3217+<

<-x 三、解答题：

14.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,

A (x 1,log 8x 1),

B (x 2,log 8x 2).

因A 、B 在过点O 的直线上，所以

8118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则

8222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC =

===

由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.

(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13 将其代入

8118log log x x x x =

,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83). 15.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，

有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.

(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有2

1)1(2)1()1(2)1()11()1(

11=--=--+--+=----b n b n a b n a a

a b

n n na a a S n S n n

∴所有的点P n (a n ,n

S n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21

为斜率的直线上.此直线方程为

y －(a －1)=

(x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 2

)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是

???????>-+->-+->+-2222

22222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ??

??>+->+

->-0

108041750

)1(222r r r r r 即

由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜

25－2或r ＞2

+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25

+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,2

－2)∪(4+6,+∞).

高中数学专题复习——圆

【例题】

①

② ③

P n

P n+1

x 例1设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为3

1 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率．

例2设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；

（2）当m 变化且0≠m 时,求证：2C 的圆心在一条定直线上,并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程．例3已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．

例4已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围．

例5已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．（1）如果3

4||=

AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．例6有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得

商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．例7在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111???y x P y x P

),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数

)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相

切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1

()n N +∈．（1）求证：数列}1{n

x 是等差数列；

（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +???++=21,求证：2

3π

n T ．例8已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22

(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆

123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：(1)求圆n C 的半径

n r ；(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21n

C ；(3)求和)111(lim 223

n C C C +++∞

→ .

【圆·练习】

1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（）

(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心

2、点()

M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点,则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．相切或相交

3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆52

=+y x 所得弦长等于4,则以|a |、|b |、|c |为边长确定的?一定是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）不存在

4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是（）

(A )23- (B ) 23+ (C)

226- (D) 2

3- 5、已知集合?

?????∈--==R y x x y y x p 、,25),(2

及{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的

取值范围是（）

（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-

6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（）．（Ａ）21±

（Ｂ）22± （Ｃ）2221-或（Ｄ）2

221或- 7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离为1，则R 的取值范围为（）．（A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1

8、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：

交于A 、B 两点,则AB 所在的直线方程是_ _． 9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是_ _． 10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为_ _．

11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是_ _． 12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程． 13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB ．求m 的值． 14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．

例题参考答案：

例1解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）

依题意：.3

,4==

∠=∠AB k BAM ABM π

M A ,M B 的斜率k 满足:11313

1=+-k

k 解得:k A C =2,21=-BD k

例2解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）

则??

???++-=++-=+--2

22223122

3m a b m a m b 解得：???+=+=112m b m a

∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--

（2）由?

?+=+=11

2m b m a 消去m 得a －2b +1=0

即圆C 2的圆心在定直线x －2y +1=0上。设直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，则

m k

m m k 21)1()12(2

=+++-+

即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k

∵直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：

?????=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k 解之得：??

???=-=4743b k 所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4

743

+-=x y 例3解：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ）由于CM ⊥l ，∴k CM ?k l = －1 ∴k CM =

-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，即x －y +b －a =0

CM=

+-a b

∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2

)3(922

+--

=-=a b CM

CB MB

，222

b a OM += ∴222

)3(9b a a b +=+-- ②

把①代入②得 0322=--a a ，∴12

-==a a 或当2

,23-==

b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0 故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0 例4解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.

由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.

（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：

22|m |2

|1||m |<

，即

22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时

, ||||m m 即 13m 13m >-<或.

∴当2

2m 2

2<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，

圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.

例5解：（1）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由3

24||=AB ，

可得,3

1)3

22(1)2

||(||||2222=-=-=AB MA MP

由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，

故55-==a a 或，所以直线AB 方程是

;0525205252=+-=-+y x y x 或

（2）由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22x y a -=-

由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）代入（**）消去a ，并注意到2

(22≠=

-+y y x 例6解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A （－5，0），B （5，0）.

设某地P 的坐标为（x ，y ），且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地运费为a 元/km.

由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费，

即22)5(3y x a ++22)5(y x a +-≤，整理得222)4

15()4

25(≤++y x .

所以，以点C )0,4

25(-为圆心，4

15为半径的圆就是两地居民购货的分界线.

圆内的居民从A 地购货费用较低；圆外的居民从B 地购货费用较低；

圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 、B 两地之一购货. 例7解：（1）依题意，⊙n P 的半径2

n n n x y r ==， ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，

11+++=∴n n n n r r P P , 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ,

两边平方，化简得1214)(++=-n n n n y y x x , 即2

14)(++=-n n n n x x x x .

01>>+n n x x ， ∴112++=-n n n n x x x x , 111

2()n n

n N x x ++?

-=∈． ∴ 数列?

???n x 1是等差数列．

(2) 由题设，11=x ，∴

212)1(111-=??-+=n x n x x n n , 4

)

12(-=

===n x y r S n

n π

πππ,

n n S S S T +???++=21??????-++++=222

)12(1513

11n π≤??????-?-++?+?+)12()32(15313111n n π ＝???????????

?---++-+-+)121321()5131()311(211n n π＝??????--+)1211(211n π 23)12(223πππ<--=n ．例8 解：(1)在直角梯形1n ODC C -中,

AC=1－n r ,n CC =1＋n r ,1n CC -=1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1n C B -=1-n r －n r . ∴有n AC =

，n BC =

1n EC -=

1n EC AB -==n n AC BC +

∴()()()()()()2

1212121221111------+=

--++

--+n n n n n n n n r r r r r r r r

∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r . 由此可得1111

-n n

r r .

∴{n

r 1}成等差数列, 11r =.

∴

n n r r n =?-+=1)1(111

,∴2

r n =

(2)公切线长为n l =2(1)n n n C ==

=-.

(3)

22223111n C C C +++111112(1)2()2()2231n n =-+-++--＝12(1)n

∴)1

11(lim 22322

n n C C C +++∞→ =2. 【圆参考答案】

ACAAC BC

8、2x +y =0 9、122- 10、22+-=+=x y x y 或 11、(x －1)2＋(y －2)2=13或(x －3)2＋(y －4)2=25

12、解：设圆心坐标为P (a , b ), 则圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2=25,

∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a ＋2)2＋(b －6)2=25, 又以M (5, 4)为中点的弦长为25， ∴ |PM |2=r 2－52, 即(a －5)2＋(b －4)2=20,

联立方程组??

???=-+-=-++20)4()5(25

)6()2(2

222b a b a , 两式相减得7a －2b =3, 将b =237-a 代入得 53a 2－194a ＋141=0, 解得a =1或a =

53141, 相应的求得b 1=2, b 2=53414

, ∴ 圆的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝25或(x －

53141)2＋(y －53

414)2

＝25 13、解：由题设△A P B 是等腰直角三角形，∴圆心到y 轴的距离是圆半径的2

倍将圆方程02422=++-+m y x y x 配方得：m y x -=++-5)1()2(22 圆心是P(2,－1)，半径r=m -5

∴225?=-m 解得m= －3

14、解：在△A OP 中，∵OQ 是∠A OP 的平分线 ∴

===OP

OA PQ

AQ 设Q 点坐标为（x ，y ）；P 点坐标为（x 0，y 0） ∴?????

=-=??

?++=++=

即y y x x y y x x 23

2232

120212200

00 ∵ P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上运动，∴x 02+y 02=1

即1232232

=??? ??+??? ??-y x ∴94322

=+??? ?

?-y x

此即Q 点的轨迹方程。

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套直线的倾斜角和斜率一、教学目标 (一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：

∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.

直线与圆的方程、直线的方程已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ）当 x 1 = x 2 时， =900 ，不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0）特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴）（ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知方程说明斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平行于 y 轴的直线两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和平行于坐标轴的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜

(word完整版)高中数学必修二直线与方程及圆与方程测试题.docx

一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

直线和圆的方程知识与典型例题

直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已知点， k ──斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零

直线和圆的方程

简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是；例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.

直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题

直线与圆的方程单元测试卷含答案

直线与圆的方程单元测试卷一。选择题 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ B ）（A ）2、4、4；（B ）-2、4、4；（C ）2、-4、4；（D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<-