八年级数学全等三角形的证明归类

八年级数学全等三角形的证明归类

初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相

等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件

例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD

?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD

AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ）

二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件

例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD

∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）

在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF

∠A=∠D

AB=DE

A

第2图

∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）

例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

∵CE=FB

∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ）

∵AB=DC AE=DF

CF=BE

∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE

三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件

例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ，

∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，

∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ）

四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件

例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。

证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形

∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中，

∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）

E

F

E

D

C

B

A

B

五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件

例1已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE．求证：△ABC≌△DCB．证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC（对顶角）∴△AED≌△ACD （ASA）∴EC=EB

∴EC+AE=EB+DE（即AC=DB）

在Rt△ABC和Rt△DCB中

∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC（公共边）

∴△ABC≌△DCB (HL)

七是中点等分线段对应相等是第三个条件

例1，如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

求证：△AED≌△EBC．

证明：∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED

O

E

D

C

B

A

∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC ∵DC ∥AB

∴∠DCE ＝∠BEC

∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC

∴△AED ≌△EBC

八是其他情形

对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：

一是公共角相等是第三个条件

例1．如图，CA ⊥BF 于A ，BE ⊥CF 于E ，若AC =BE

求证：△AFC ≌△EFB

证明：∵CA ⊥BF BE ⊥CF ∴∠CAF=∠BEF=90°

在 △AFC 和△EFB 中

∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F （公共角） AC =BE ∴△AFC ≌△EFB

（AAS ）

二是对顶角相等是第三个条件

例1如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，∠CFM=∠E BE=CF 。

求证：△BEM ≌△CFM 证明：∵∠CFM=∠E

∠CMF=∠BME （对顶角） BE=CF

∴△BEM ≌△CFM （AAS ）

三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件

例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB ，∠B=∠ACD CD=DE 求证：△EFD ≌△DAC

B

A C

D

F

21E

M

F

E

C

B

A

证明∵EF//AB

∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED

∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD

∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD

在△EFD和△DAC中

∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE

∴△EFD≌△DAC

四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件例1．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC

又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

例2．在△ABC中，?

AC=，直线MN经过点C，且

ACB，BC

=

∠90

BE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求MN

AD⊥于D，MN

证：①ADC

?；

?≌CEB

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

（2）略

五是垂直相交的角是90°是第三个条件

例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

求证：MB=MD，ME=MF

（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．

在Rt△DEM和Rt△BFM中

∵∠DME=∠BMF ∠DEC=∠BFA DE=BF

∴RtCBFM（AAS）∴MB=MD，ME=MF （2）略

六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件

例1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠1=∠2，

求证：△ABD ≌△ACD

∴△ABD ≌△ACD （ASA ）

七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件

例1．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC

。求证：△ABF ≌△AEC ；

证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF 在△ABF 和△AEC 中，

∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），

八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件

例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC ≌△DCB

证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB ）在△AOB 和△DOC 中∵∠ABC=∠DCB BC=BC

∠4=∠3

∴△ABC ≌△DCB

九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件

例1：如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的

A

E B

M C

F

.

3

4

21

D

C

B

A

中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，

求证：△CFD ≌△BED ．

∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE

又∵∠DCH=∠B=45o CD=DB

∴△CFD ≌△BED

十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件

十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件

例1．AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中

∵AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD ≌△ACD （SSS ） ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC

在△BDF 与△FDC 中

∵BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF

∴△FBD ≌△FCD

十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件

例1．如图，已知在△ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，

并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40°从而∠BDP ＝40°＝∠ACP

△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC 又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP

?斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

例2 D为等腰Rt ABC

求证△CDE≌△ADF

?斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

证明：连接D，D为等腰Rt ABC

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA DE≌△ADF（ASA）

十三其他情形

无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。

突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。