高中数学难题100道教师版(1-10题)

高中数学难题100道（1-10题）

第1题（函数与求导题）

【湘南中学2019届高三试题】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若a>1,存在，使得（是自然对数的底数），

求实数的取值范围。

第2题（椭圆题）

1. 已知椭圆

的右焦点为F ，直线l

经过F 且与椭圆交于A ，B 两点． 给定椭圆的离心率为

．

①若椭圆的右准线方程为 ，求椭圆方程； ②若A 点为椭圆的下顶点，求

；

若椭圆上存在点P ，使得 的重心是坐标原点O ，求椭圆离心率e 的取值范围．

()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠()f x []12,1,1x x ∈-12()()1f x f x e -≥-e

a

第3题（函数与求导题）

已知函数2211

()()ln (1)124

f x x x x x a x =---++，a R ∈.

（1）试讨论函数()f x 极值点个数；

（2）当2ln22a -<<-时，函数()f x 在[1+∞，）上最小值记为()g a ，求()g a 的取值范围.

第4题（函数与求导题）

已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈ （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若2

1

()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.

第5题（函数与求导题）

已知函数

2

()()ln f x a x x x b =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为330x y --= （1）求,a b 的值；

（2）如果对任何0x >，都有()['()3]f x kx f x ≤?-，求所有k 的值；

第6题（函数与求导题）

(2018浙江)已知函数()ln f x x ．

(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．

设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．

（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．

第8题（函数与求导题）

已知函数．

若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；

若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围；

当时，设函数，其中e为自然对数底数，m为参数记函数，试确定函数的零点个数．

已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212

()()

2-<--f x f x a x x ．

第10题（函数与求导题） 已知函数2

()e =-x

f x ax ．

(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

高中数学难题100道（参考答案）

第1题（函数与求导题）

解：（Ⅰ）． 1分

因为当时，，在上是增函数， 因为当时，，在上也是增函数，

所以当或，总有在上是增函数， 3分 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的单调增区间为，单调减区间为． 6分 （Ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值

，的最大值为和中的最大值． 8分

因为， 令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；所以，当时，，即，

函数在上是增函数，解得； 12分

()ln 2ln 2(1)ln x x

f x a a x a x a a '=-=-++1a >ln 0a >(

)

1ln x

a a -R 01a <

)

1ln x

a a -R 1a >01a <<()f x 'R (0)0f '=()0f x '>(0,)∞+()'0f x <(),0-∞()f x (0,)∞+(),0-∞12,[1,1]x x ∈-12()()e 1f x f x --≥[1,1]x ∈-12max min ()()()()f x f x f x f x --≤max min ()()e 1f x f x --≥x ()f x '()f x ()f x [1,0]-[0,1][1,1]x ∈-()f x ()()min 01f x f ==()f x ()max f x ()1f -()1f 11

(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a

a

--=--=-

-+++1()2ln (0)g a a a a a

=-->2

2121()1(1)0g a a a a '=-=->+1

()2ln g a a a a

=--()0,a ∈+∞(1)0g =1a >()0g a >(1)(1)f f >-1a >(1)(0)e 1f f --≥ln e 1a a --≥ln y a a =-(1,)a ∈+∞e a ≥

第2题（椭圆题）

解：由题意可得，解得，，

椭圆方程为．

，，直线AB的方程为，

，，，

即直线AB方程为，

联立方程组，消元得，

或，

点横坐标为2b，．

设，，，

依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：，

由，得．

，

要使的重心是坐标原点O，则有

在上，得，

，

，

，

椭圆上存在点P，使得的重心是坐标原点O，则方程必成立．，，

椭圆离心率e的取值范围为．

第3题（函数与求导题）

解：（1）∵()1)ln 2f x x x a '=

---（， 记()(1)ln 2h x x x =--，则1()ln 1h x x x '=+-，211

()0(0)h x x x x

''=+>>时

∴()h x '在0+∞（，）上递增且(1)0h '=.

∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>.

∴()h x 在0,1（）上递减，在1+∞（，）上递增，

又0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，min ()(1)2h x h ==-， ∴当2a ≤-时，()0f x '≥，()f x 在定义域上递增，∴无极值点， 当2a >-时，()y f x '=有两变号零点，∴有两极值点.

（2）由（1）知，()f x '在[)1+∞，上递增，

又∵(1)20f a '=--<，(2)ln 220f a '=-->.

∴存在唯一实数(1,2)t ∈使()0f t '=，(1)ln 2a t t ∴=--，

()f x ∴在]1t （，上递减，在[),t +∞上递增，

22min 11

()()()ln (1)124f x g a t t t t a t ∴==---++

2211

ln 124

t t t t =--++ 又明显(1)ln 2a t t =--在[)1+∞，上递增，

∴对任意一个()2,ln 22a ∈--,都存在唯一()1,2t ∈与之对应，反之亦然. 设()u t =2211

ln 124

t t t t --++，()1,2t ∈

u (t)t(lnt 1)10'=-++<()u t ∴在1,2（）上递减，(2)()(1)u u t u ∴<<，

即722ln 2()4u t -<<

()g a ∴的取值范围为7

22ln 24

-（，）.

第4题（函数与求导题）

解：（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，又1'()ax

f x x

-=， 当0a ≤时，

'()0f x >恒成立，1

0,'()0,()x f x f x a

<<

>单调递增； 当0a >时，

10,'()0,()x f x f x a <<

>单调递增；1

,'()0,()x f x f x a

><单调递减； （2）由题2

1()ln (1)2g x x ax a x =-++-，1'()1g x x a x =+--

①当1a ≤时，

'()10g x a ≥-≥，此时()g x 单调递增，最多存在一个零点，不符合题意

②当1a >时，

2(1)1

'()x a x g x x

-++=

，令2()(1)1h x x a x =-++，此时(3)(1)0a a ?=+->，

令()0h x =两根分别为1212,()x x x x <，由121210,1x x a x x +=+>=，可以知道1201x x <<<

10,()0,'()0,()x x h x g x g x <<>>单调递增；当12,()0,'()0,()x x x h x g x g x <<<<单调递减； 2,()0,'()0,()x x h x g x g x >>>单调递增；

其中(1)0g =，12

12()0,()0,()0a g x g x g e

--

><<， (2(1))0g a +>，

因此有12

1

(,1)a x e

--

?∈使得1()0g x =，21x ?=使得2()0g x =；3(1,2(1))x a ?∈+使得3()0g x =

综上：(1,)a ∈+∞ 注1：当01x <<时，

211(1)22x -<，因此有11

()ln ln 22

g x x ax a x a <-++<++，令1

l n 02

x a ++

=，解得12a x e --= 注2：当1x >时，22111()ln (1)222g x x ax a x x x a x =-++-+>-+，令21

(1)02

x a x -+=，解得2(1)x a =+

第5题（函数与求导题）

解：（1）1

'()(21)f x a x x

=-+

，由题知'(1)3,(1)0f f ==，解得2,0a b == （2）令2

1()()['()3]2()ln [45]g x f x kx f x x x x kx x x

=-?-=-+--+，

1

'()2(21)(85)g x x k x x

=-+--，其中(1)0g =，又因()0g x ≤，则必有'(1)0g =，解得1k =

当1k =时，(1)(41)

'()x x g x x

-+=，

01,'()0,()x g x g x <<>单调递增；1,'()0,()x g x g x ><单调递减，()(1)0g x g ≤=，符合题意

综上：1k =

第6题（函数与求导题）

【解析】(1)函数()f x

的导函数1()f x x

'=

-， 由12()()f x f x ''=

1211

x x =， 因为12x x ≠

12

=．

= 因为12x x ≠，所以12256x x >．

由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=

=

．

设()ln g x x =，

则1

()4)4g x x

'=， 所以

所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12(

)(256)88ln 2g x x

g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)

a k m e

-+=，2

||1(

)1a n k

+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥，

()))0a f n kn a n k n k n --<-<≤ 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，

所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．

由()f x kx a =+

得ln x a

k x

-=

．

设ln ()x a

h x x -=

，

则22

ln 1()12()x a

g x a h x x x +--+'=

=，

其中()ln 2

g x x =

-． 由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤， 故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，

所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．

综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．

第7题（函数与求导题）

解：（1）若f （0）≤1，即：a 2

+|a|﹣a （a ﹣1）≤1．可得|a|+a ﹣1≤0， 当a≥0时，a

，可得a [0，]．

当a ＜0时，|a|+a ﹣1≤0，恒成立． 综上a

．

∴a 的取值范围：

；

（2）函数 f （x ）==

，

当x ＜a 时，函数f （x ）的对称轴为：x==a+＞a ，

y=f （x ）在（﹣∞，a ）时是减函数，

当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，

y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，

（3）F（x）=f（x）+=，

，

当x＜a时，=，

所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．

当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═

，

所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．

F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，

F′（a）=1﹣2a==．

所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，

所以F（a）＜，即F（a）＜0，

当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．

第8题（函数与求导题）

解：函数的导数为，

可得函数在处的切线斜率为，

由切线与直线平行，可得，

解得；

存在，使得不等式成立，

即为的最大值，

令，，，

由，即，

由于的导数为，即在递增，

且时，，

则为的极值点，

当时，递减，当时，递增，

则时，取得极大值，且为最大值1，

则；

当时，设函数，

，

则当，；

当，．

当时，，依题意，，无零点；

当时，，，

若，即，则e是的一个零点；若，即，则e不是的零点；

当时，，

所以此时只需考虑函数在上零点的情况．

因为3e^{2}-m'/>，所以

当时，0'/>，在上单调递增．

又，所以

当时，，在上无零点；

时，，

又，

所以此时在上恰有一个零点；

当时，令，得．

由，得；

由0'/>，得．

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为，

，

所以此时在上恰有一个零点；

综上，时，没有零点；

时，有一个零点；

时， 有两个零点．

第9题（函数与求导题）

【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，222

11

()1a x ax f x x x x

-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，

当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．

（ii ）若2a >，令()0f x '=

得，2a x =

或2a x =．

当(0,(,)22

a a x ∈+∞U 时，()0f x '<；

当x ∈时，()0f x '>．所以()f x

在

，

)+∞

单调递减，在单调递增．

(2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．

由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足2

10x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于

121212212121212

22

()()ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，

所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

1

2ln 0x x x -+<．

设函数1

()2ln g x x x x

=

-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．

所以2221

2ln 0x x x -+<，即1212

()()2f x f x a x x -<--．

第10题（函数与求导题）

【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e 10-+-≤x x ．

设函数2()(1)1-=+-x g x x e ，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ． 当1≠x 时，()0

()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．

（i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x

h'x ax x -=-．

当(0,2)∈x 时，()0h'x ． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e

=-

a

h 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2

e 4

②若(2)0=h ，即2

e 4

=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；

③若(2)0

e 4

>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点，

由(1)知，当0>x 时，2

e >x

x ，

所以3334224

1616161

(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a

． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2

e 4

=a ．