几何中的函数问题(一)
几何中的函数问题
金汇学校初三数学备课组
教学目标：
以四边形为载体探究几何图形中两个变量的数量关系，了解、掌握在几何图形背景中建立函数解析式常见的方法；研究几何图形的性质,沟通函数与几何的关系,体验函数在几何图形中的应用；进一步感悟和运用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想解决综合问题。 教学重点与难点：
探求几何图形中两个变量之间的函数关系，寻找解题规律，并正确写出函数定义域。 教学过程：
问题1：已知正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，联结PC ，过点P 作PE ⊥PC ，交AB 于点E ，如图1所示。
求证：PE=PC .
（学生独立思考并解答，让学生体会随着点P 的运动,变量PE 、 PC 之间的关系）
问题2：如果把条件中的正方形改为梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，
∠ABC ＝
90，并设AD =3，AB =4，BC =6,（如图）若将一个直角顶点P 放在对角线BD 上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB （或AB 思考：图中哪些量在变化？
探究一：当Q 在AB 的上 时试探究PQ 、PC 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（说明：以问题（1）为铺垫，从几何图形入 手，根据几何图形的特点,运用几何图形的有关 性质，来找到两个变量PQ 、PC 之间的关系。）
探究二、在图2中，联结AP ，且点Q 在线段AB
上时，设点B Q 、之间的距离为x ，
APQ PBC
S y S △△，其中APQ S △表
示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函
数解析式，并写出函数定义域； 说明：（1）解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段，利 图1
D
C
B A E P 。 O
C 用图形的性质、面积计算公式等建立动点与线段、面积之间的函数关系式；
（2）求函数的定义域时，画出所有运动状态，在“极限图形”中 求出x 等于多少？y 存在还是不存在？
探究三：当Q 在AB 的延长线上的 时，设x DP =，点B Q 、之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；
说明：建立线段与线段之间的函数解析式主要 的途径是利用图形的性质如相似三角形的性质
勾股定理、锐角三角比等。
探究四、在探究三条件下，若△ADP 是等腰三角形时，
求BQ 的长
三、课堂小结：
1、建立线段与线段之间的函数关系式
解决这类问题的一般方法是：利用特殊三角形的边角关系、相似三角形对应边成比例等关系式，把线段与线段之间的函数关系式表示出来 2、建立线段与面积之间的函数关系式
根据题设条件，利用面积计算公式或相似三角形性质定理等方法，建立线段与面积之间的函数关系式
3、建立动点与线段、面积之间的函数关系式根据题设条件和动点位置的变化，利用特殊图形的性质、面积计算公式或相似三角形性质定理等方法，建立动点与线段、面积之间的函数关系式
4、解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 四、课堂作业：（第（1）（2）必做，第（3）尽力完成） 1、如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠．
MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD
交于点F ，联结AF ．
（1）求的值B cos
C Q C
（2）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （3）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．
2、已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点
B 不重合），M 是线段DE 的中点．
（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；
（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．
教案设计说明：
本节课的教学内容是在几何图形中,通过点或线段的运动变化,引出线段与线段、线段与几何图形的面积之间的函数关系。以几何图形为载体，通过图形的全等、相似等有关知识来确定函数解析式，是将平面几何问题与函数知识巧妙结合的一种题型，在解题的过程中覆盖了初中阶段学习的几乎全部的数学思想：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、类比思想、方程思想、函数思想、整体思想、数学模型思想、抽象概括思想、字母表示数的思想等，是学生学习中的难点，也是学生解决问题的盲点。本节课以2009年中考25题为背景，从具有正方形特色问题引入，指导学生寻找解决问题的突破口，然后改变问题背景，把解决问题的策略从全等引到相似，让学生在解决问题过程中亲身体验并感悟从几何图形入手,根据几何图形的特点,运用几何图形的有关性质,来找到两个变量之间的关系，通过设、表、列获得函数解析式，进一步归纳得到基本解题步骤。
B A
D M
E C
B A
D C 备用图
C
D
C
B
A 备用图
立体几何动点问题
立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） ） 解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ， 且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。 二、几何体的截痕
例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率 ， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点， 在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23． 四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别 此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（ ） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解 知识梳理 10 min. 1、一次函数的概念 若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图象 ①一次函数y=kx+b 的图象是一条经过（0,b ）（- b k ，0）的直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。 ②在一次函数 y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
（1）当0x =时，y 的值是多少？ （2）当0y =时，x 的值是多少？ （3）当x 为何值时，0y >？ （4）当x 为何值时，0y <？ 答案：解：（1）当0x =时，1y =-；（2）当0y =时，1 2 x =； （3）当12x > 时，0y >；（4）当12 x <时，0y <． 例2、如图，直线 对应的函数表达式是（） 答案：A 例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发, 他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:【 】
几何图形中的函数问题
D C B A 几何图形中的函数问题 1如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD . （1）如果∠A =?50，∠B =?80，求证：AB CD BC =+. （2）如果AB CD BC =+，设∠A =?x ，∠B =?y ，那么y 关于x 的函数关系式是_______. 2.如图，P 是矩形ABCD 的边CD 上的一个动点，且P 不与C 、D 重合，BQ ⊥AP 于点Q ，已知AD=6cm,AB=8cm ，设AP=x(cm),BQ=y(cm). (1)求y 与x 之间的函数解析式并求自变量x 的取值范围； （2）是否存在点P ，使BQ=2AP 。若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由。 3.如图，矩形EFGH 内接与△ABC ，AD ⊥BC 与点D ，交EH 于点M ，BC=10cm ， AD=8cm ， 设EF=x cm ，EH=y cm ,矩形EFGH 的面积为S cm2， ①分别求出y 与x ，及S 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围； ②若矩形EFGH 为正方形，求正方形的边长； ③ x 取何值时，矩形EFGH 的面积最大。 A B D A B C D E F M H G
5．如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x, CE=y (l ）如果∠BAC=30°，∠DAE=l05°，试确定y 与x 之间的函数关系式； (2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由． 6.已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2. （1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分） （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）； D C A B E F D C A B E F H G
一次函数与几何综合(一)(讲义及答案).
一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
1
? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．
立体几何动态问题专题
立体几何的动态问题 立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。 动点轨迹问题 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义） 1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB ＝30°，则点P的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支 式题如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点满足∠＝π 6 ，若动 点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________． 3．（2015春?龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题： ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆； ③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆； ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1
一次函数的应用题型总结(经典实用!!!!)
一次函数的应用题型总结（经典实用） 用一次函数的解决实际问题。 类型一根据题目中信息建立一次函数关系式或找出符合题意的图像，再根据函数的性质解决问题； 1、学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（） 2、．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（） 1 / 7
4、从甲地到乙地，汽车先以速度，行驶了路程的一半，随后又以速度()行驶了余下的一半，则下列图象，能反应汽车离乙地的距离(s)随时间(t)变化的函数图象的应为（） 5.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是( ) (A) (B) （C）（ 6、为加强公民的节水意识，某市对用水制定了如下的收费标准，每户每月用水量不超过l0吨时，水价每吨l.2元，超过l0吨时，超过部分按每吨1.8元收费。该市某户居民，8月份用水吨 （），应交水费元，则与的关系式为__________ 7、购买作业本每个0．6元，若数量不少于13本，则按8折优惠． （1）写出应付金额y元与购买数量元之间的函数关系式： （2）求购买5本、20本的金额； （3）若需12本作业本，怎样购买合算? 8、一个蓄水池有153m的水，用每分钟3 5.0m的水泵抽水，设蓄水池的含水量为) (3 m Q， 抽水时间为分钟） (t。 ⑴写出Q关于t的函数关系式⑵求自变量t的取值范围⑶画出函数图象 2 / 7
中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二
的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
最新一次函数的应用典型练习题
一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费0.2元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收0.11元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ x y 2 1
7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用 水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. (3)若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓 球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的 付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系 式. （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？ 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这 两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系 式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合 算？
几何图形中的动态问题
几何图形中的动态问题 ★1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周．设点P从点A出发经x(x>0)秒后，△ABP的面积是y. (1)若AB＝8cm，BE＝6cm，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式； (2)已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝12 5x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式． 第1题图 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°， 又∵AB＝8cm，BE＝6cm，
∴AE＝AB2＋BE2＝82＋62＝10厘米，如解图①，过点B作BH⊥AE于点H， 第1题解图① ∵S△ABE＝1 2AE·BH＝1 2AB·BE， ∴BH＝24 5cm，又∵AP＝2x， ∴y＝1 2AP·BH＝24 5x(0 ∴AE ＝DE ， ∵y ＝12 5x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)， 当点P 运动至点D 时，可联立得，?????y ＝125x y ＝32－4x ， 解得x ＝5， ∴AE ＋ED ＝2x ＝10， ∴AE ＝ED ＝5cm ， 当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0， ∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8， ∴AE ＋DE ＋AD ＝16， ∴AD ＝BC ＝6cm ，∴BE ＝3cm ， 在Rt △ABE 中， AB ＝ AE 2－BE 2＝4cm ， 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝12 5cm ， 专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并 证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不 变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图① (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分） 第2题图② 第2题图③ C B A l 2 l 1 x y 2018年高考数学压轴 题突破140之立体几何五种动态问题和解题 绝招 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招中高考数学名师张芙华2018-01-29 06:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。 类型二立体几何中动态问题中的距离问题 一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. ~ 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨元;超过10吨时,超过的部分按每吨元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. … 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x ： （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，此人与燃放的烟花所在地约相距多远 x y 2 1 7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； [ (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准 (3)若某户居民该月用水吨，则应交水费多少元若该月交水费9元，则用水多少吨 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒5元，现 两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式. . （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式； @ （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元 （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合算 10、预防“非典”期间，某种消毒液A市需要6吨，B市需要8吨，正好M市储备有10吨，N市储备有4吨，预防“非典”领导小组决定将这14吨消毒液调往A市和B市，消毒液的运费价格如下表,设从M市调运x吨到A市. （1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式； （2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少 二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与几何综合 1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），以OA 为边在第四象限内作等边△AOB ，点C 为x 轴的正半轴上一动点（OC ＞2），连接BC ，以BC 为边在第四象限内作等边△CBD ． （1）试问△OBC 与△ABD 全等吗？并证明你的结论； （2）直线AD 与y 轴交于点E ，在C 点移动的过程中，E 点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝1 2 x m -+（m >0）与x 轴，y 轴分别交 于点A ，B ，过点A 作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点D ，C 点坐标（m ，0），连接 CD ． （1）求证：CD ⊥AB ； （2）连接BC 交OD 于点H （如图2），求证：DH ＝ 3 2 BC ． y =-1 2 x y =-1 2 x 图1 图2 3.如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB落在x轴正 半轴上，直线 48 33 y x =-经过点C，与x轴交于点E． （1）求四边形AECD的面积； （2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式； （3）若直线l1经过点F（-3 2 ，0）且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着 y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积． 4.已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）． （1）求直线l1，l2的表达式； （2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF． ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）； ②若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标． 立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B 一、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式; 特点:所给问题中已经明确告知为一次函数 ．．．．关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为:y=kｘ+ｂ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。 常见题型：销售问题中售价与销量之间常以表格形式给出的有规律的变化,蕴含着一次函数关系；行程问题中的路程与时间的关系常给出函数的图像（多是直线或折线)； 【典型例题赏析】 1.（2010 江苏连云港)（本题满分１0分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件6０元.经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量ｙ(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系. 售价 ｘ(元） …７0 90 … 销售量y（件) … ３０0 ０ 1000 … (１)求销售量y（件)与售价x(元)之间的函数关系式； （2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 ０00 元？ 2.已知A、B两城相距60０千米，甲、乙两车同时从Ａ城出发驶向Ｂ城, 甲车到达B城后立即沿原路返回.图２是它们离A城的距离y（千米） 与行驶时间x(小时)之间的函数图像。 (1）求甲车在行驶过程中y与x之间的函数关系式； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇．求乙车的速度. ３．（201０浙江湖州)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为ｘ(时）,两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系. （1)根据图中信息,求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离; D C B A 几何图形中的函数问题 1如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD 、 (1)如果∠A =?50,∠B =?80,求证:AB CD BC =+、 (2)如果AB CD BC =+,设∠A =?x ,∠B =?y ,那么y 关于x 的函数关系式就是_______、 2、如图,P 就是矩形ABCD 的边CD 上的一个动点,且P 不与C 、D 重合,BQ ⊥AP 于 点Q,已知AD=6cm,AB=8cm,设AP=x(cm),BQ=y(cm)、 (1)求y 与x 之间的函数解析式并求自变量x 的取值范围; (2)就是否存在点P,使BQ=2AP 。若存在,求出AP 的长;若不存在, 说明理由。 3、如图,矩形EFGH 内接与△ABC,AD ⊥BC 与点D,交EH 于点M,BC=10cm, AD=8cm, 设EF=x cm,EH=y cm ,矩形EFGH 的面积为S cm2, ①分别求出y 与x,及S 与x 的函数关系式,写出x 的取值范围; ②若矩形EFGH 为正方形,求正方形的边长; ③x 取何值时,矩形EFGH 的面积最大。 5.如图,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=x, CE=y (l)如果∠BAC=30°,∠DAE=l05°,试确定y 与x 之间的函数关系式; (2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时,(l)中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由. 6、已知:在矩形ABCD 中,AB =10,BC =12,四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上,AE =2、 (1)如图①,当四边形EFGH 为正方形时,求△GFC 的面积;(5分) (2)如图②,当四边形EFGH 为菱形,且BF = a 时,求△GFC 的面积 (用含a 的 A B C D P Q A B C D E F M H G 中考一次函数应用题 近几年来,各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题,这种类型的试题,由于条件多，题目长，很多考生无法下手,打不开思路,在考场上出现了僵局,在这里,我特举几例，也许对你有所帮助。 例1已知雅美服装厂现有A种布料7０米，B种布料5２米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共８０套。已知做一套Ｍ型号的时装需要Ａ种布料0.６米,B种布料0.9米,可获利润45元;做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产Ｎ种型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 y与x的函数关系式,并求出自变量的取值范围; （1)求 （２)雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少? 例2某市电话的月租费是2０元,可打６0次免费电话(每次3分钟）,超过６0次后，超过部分每次０.13元。 y(元)与通话次数x之间的函数关系式; (1）写出每月电话费 （2）分别求出月通话50次、1０0次的电话费； （3)如果某月的电话费是27.８元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1５3０吨，乙种货物１15０吨,安排用一列货车将这批货物运往广州,这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢5０节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元,用一节B 型货厢的运费是0.８万元。 y（万元）,用A型货厢的节数为x(节),试写出y与x之间的函(1）设运输这批货物的总运费为 数关系式； （２）已知甲种货物3５吨和乙种货物1５吨，可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节Ｂ型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数,有哪几种运输方案?请你设计出来。 （3)利用函数的性质说明,在这些方案中,哪种方案总运费最少?最少运费是多少万元? ---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；(完整版)一次函数与几何图形综合题,精选十道,道道经典。
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