13.4.最短路径(2)—造桥选址问题
造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
三．合作探究：（同学合作，教师引导）
1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1）.
（2）. 2．探究新知：
问题2造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢
四．感悟与反思：
A ·
·B A ·
·B
(完整版)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧 最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于 直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则 点C 就是所求的点． 、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边 OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A OM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在 连接A ′，A ″，分 别交 B
最短路径问题教案
课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时） 内容分析 1.课标要求 “课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。 2.教材分析 知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。 能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。 思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思 想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性， 所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。 3.学情分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NB AM+ +最小?”需要将其转化为“当 MN 点N在直线2l的什么位置时，NB AM+最小?”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
(完整版)八年级最短路径问题归纳小结
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
最短路径问题练习题
13.4课题学习最短路径问题 六街中学：罗云膑1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或 B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求． 解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，
中考数学复习指导：对造桥选址问题的再认识
对“造桥选址问题”的再认识 问题A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短? (假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 教科书的分析是: 把河的两岸看成两条平行线a和b (图1),N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题可以转化为: 当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小? 由于河岸宽度是固定的，因此当AM + NB最小时，AM+MN+NB最小.这样，问题就进一步转化为:当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小? 这两段分析我们能看懂、能理解，也指明了解题的方向.而接下来的一段分析让我们费解: 如图2，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，则AA'=MN ,AM+NB = A' N+NB.这样，问题就转化为:当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB 最小? 我们经过认真的辩论后认为:此时桥MN并未确定，只是任意的一个位置，所以平移AM 的目的只是将点A移动到点A'.事实上，将“点A移动到点A'”即是忽略河宽，将河的两岸重合 在这种认识下，我们提出了一种新的解题思路，供同学们参考，将河岸a向b平移，直至重合，如图3.相应地，点A也平移到A'，由平移性质，AA'长即为河宽，根据两点之间线段最短，连结A' B，与直线b相交于点N，点N即为造桥处. 作法如图4，过点A作河岸a的垂线，在垂线上截取AA' 等于河宽， 连结A'B交b于点N，作MN垂直于b并交a于点M，则MN为所造之
桥.此时路径AMNB是最短 证明在河上任架一座异于MN的桥M'N' (显然M'N'与MN相等)，连结AM'、BN'、A'N'.由AA'MN，可知四边形AMN A'是平行四边形，所以AM＝A'N.同理四边形AM'N'A'也是平行四边形，所以AM'=A'N'.故AM+MN+NB＝A' N+MN+NB＝A'B＋MN＜A' N'+N' B+M' N'＝AM'+M'N'+N'B，即AM+MN+NB最小. 拓展思考若A与B之间有两条河(如图5)，你能找出使A到B路径最短的造桥地点吗? 同学们自己试一试吧.
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题 一、教学设计理念 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．所以在课堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。 二、教学对象分析 八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。一直以来，学生对多媒体环境下的几何探究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助，学生本身具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。(1)最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。(2)解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“在直线l异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难。(3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。 三、教学目标 1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。 2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。 3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。 4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。 四，教学重点
gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法
有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
造桥选址问题教案
13.4课题学习最短路径问题(2) 造桥选址问题 教师:朱巧 一、教学目标 1、知识与技能 理解利用平移的方法,解决最短路径问题。 2、过程与方法 (1)在观察、操作、归纳等探索过程中,培养学生的实际动手能力; (2)在运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感态度与价值观 (1)体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气与信心; (2)会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识; (3)使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 二、教学重点与难点 1、教学重点 理解如何利用平移,解决造桥选址中的最短路径问题。 2、教学难点 理解路径最短的证明方法。 三、教具:多媒体、三角板 四、教学过程 （一）、知识点回顾 1、两点所有的连线中,线段最短。 2、连接直线外一点与直线上各点的所以线段中,垂线段最短。 应用1:利用轴对称的方法解决最短路径选取问题。 利用轴对称 的方法把已 知问题转化 为容易解决 的问题,这 就是“两点 的所有连线 中,线段最短”的应用。 (二)、提出问题 如果把一条直线l变成两条直线,会变成生活中的什么问题呢？ (三)、新课学习
图(1) 图(2) 环节一:(情境设置)简单介绍著名桥梁专家茅以升、 环节二:把实际问题转化为数学问题、 如上图(1),A 与B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN 、桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？(假定河的两岸就是平行的直线,桥要与河垂直、) 分析图(2):把河的两岸瞧成两条平行线 a 与b ,N 为直线b 上的一个动点,MN 垂直于直线b,交直线a 于点M,这样,上面的问题可以转化为下面的问题,当点N 在直线b 的什么位置时,AM+MN+NB 最小？ 引导学生发现,由于河宽就是固定的,即MN 不变,求AM+MN+NB 的最小值只要求AM+NB 的最小值即可。 环节三:请同学们各抒己见如何求AM+MN+NB 的最小值、 环节四:用几何画板展示造桥选址问题、 通 过 几 何 画 板 的 动 画 演 示, 让 学 生找到动点N 在什么位置时, AM+MN+NB 最小。 环节五:如何证明AM+MN+NB<1111AM M N N B ++ ? 环节六:引导学生归纳方法:利用平移变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而做出最短路径的选择。 (四)、拓展应用 拓展1:如图,如果A 、B 两地之间有两条平行的河, 我们要建的桥都就是与河岸垂直的。我们如何找到这个 最短的距离呢？ (请学生分组讨论,如何作图,并请学生代表上台演示) 拓展2:如图,荆州古城河在CC`处直角拐弯,从A 处到 达B 处,需经两座桥:DD`,EE`(桥宽不计),设护城河以 及两座桥都就是东西、南北方向的,如何架桥可使 ADD`E`EB 的路程最短？ (请学生分组讨论,如何作图,并请学生代表上台演示) (五)、小结:造桥选址问题,要使所得到的路径最短,就就是 要通过平移,使得除桥长不变外,把其它路径平移在一条直 线上,从而做出最短路径的选择。这就是“两点所有的连 线中,线段最短”的第二个应用。
最短路径问题
最短路径问题 摘要 在图论当中，任意两点间的最短路径问题，运用Dijkstra 算法，Flord 算法，匈牙利算法等都可以就解决这类相关问题,本文主要就是运用图论相关知识，来分析问题的。 在问题一中，需要为货车司机选择一条从地点1到地点11的最短时间问题，其实际归结为求一个两点间最短路径问题，运用运筹学中的网络模型相关知识，建立了一个一个0-1线性模型，并最终求的其结果，最短时间为21，货车司机的运输路线为1891011v v v v v →→→→。 运用Floyd 算法解决问题二，并且运用Matlab 软件编程，Floyd 算法与Matlab 软件编程所得出的结果一致，最后得出了一个最短航程表，及任意两点间的最短航程图。 本文的最大亮点在于将问题二进行更深一步的拓展，从问题实际出发，从公司的差旅费用最小出发，利用Mtlab 软件编程的出了公司到个城市间差旅费用最小图，从而更能为公司节省成本。 任意城市间差旅费用最小 其次是本文结果的准确性，问题一运用Lingo 软件编程，和WinQSB 软件，所得出结果都是一致的，问题二更是运用Floyd 算法，Matlab 软件编程，WinQSB 软件，大大地保证了结果的准确性，并且十分恰当地运用WinQSB 软件将作图功能，把每一提的最短路径都清晰的描绘出来，更加直观地将结果展现出来。 关键字：Matlab Lingo WinQSB Floyd 算法 0-1规划
一、 问题重述 问题一需要解决的问题是在一个城市交通网络中（图一），如何从地点1找到一条时间最短路径通往地点11，在这个城市交通网络中，有单向道，也有双向道，即如何处理一个有向图与无向图结合的图论问题，并且是一个两点间的最短路径问题： 图（一） 问题二阐述的是某公司员工往来于六个城市间，给出了这六个城市间的直达航班票价（表二），需要为这家公司提供出这六个城市间任意两点间的最小航班费用表 05040251050015202515010204020100102525201005510 2525550∞ ?? ??∞???? ∞∞?????? ∞?? ∞?? 表（二） 二、问题分析
图论中最短路径问题
图论最短路径问题 在消防选址中的应用 【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路 安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Floyd 算法；消防 1 引言 图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。 2 图论基本概念 2.1 图的定义 有序三元组),,(?E V G =称为一个图，其中： (1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边； (3)?是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类 在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为 ),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为),(E V D =；既有无向边又有有 向边的图叫做混合图。 2.3 权 如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图， ij W 称为边),(j i V V 上的权。
最短路径问题
最短路径问题 （导学案） 洪湖市龙口镇和里中学 龚宝金 教学目标： 1知识与技能：理解和掌握解决最短距离问题的一般思想方法 2.过程与方法：培养学生转化思想和数形结合思想 3.情感态度与价值观: 通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌生感 和畏惧感，提高学生解决问题的信心和解决问题的能力。 教学重点：利用轴对称作图确定使距离最短的点 教学难点：数形结合思想与数学建模思想的培养 教学过程 一． 温故而知新1. 在公路l 两侧有两村庄，现要在公路l 旁修建一所候车亭P ，要使候车亭到两村庄的 距离之和最短，试确定候车亭P 的位置。 ★思考：本题运用了 。 随堂练习一. 1. 造桥选址问题：如图，A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何 处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） ★思考：本题运用了 。 二．温故而知新2. 如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L 建一泵站P 分别向A 、B 两村庄同时供水，要使泵站P 到A 村、B 村的距离之和最短，确定泵站P 的位置。 ★思考：本题运用了 。 A B
随堂练习二： 1. 如图,已知正方形ABCD ，点M 为BC 边的中点， P 为对角线BD 上的一动点，要 使PM+PC 的值最小，请确定点P 的位置。 2. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为AB 、BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一动点，要使 PM+PN 的值最小，试确定点P 的位置。 三．合作探究——拓展与延伸. 1.如图，点P 在∠AOB 内部，问如何在射线OA 、OB 上分别找点C 、D ， 使PC+CD+DP 之和最小？ 2. 饮马问题: 如图牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回 到B 处，请画出最短路径。 第1题图 第2题图 B A
课例造桥选址问题
课例造桥选址问题 中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0112-02 造桥选址问题在现实生活中有着广泛的应用，在一条河上造桥，利用桥的长度始终保持不变，通过平移桥到河的岸边，再利用两点之间线段最短，从而达到最佳的建造一座桥选址的问题，有了在一条河道上建一座桥的基础，可以得到在两条河道、三条河道、直到在n条河道分别建造两座桥、三座桥、n 座桥的方法。利用平移变换进行造桥选址问题，是平移变换的一个重要应用，体现了数学源于生活，同时用运用于生活。从而达到平移知识的迁移在实际生活中的具体应用。 一、背景介绍 本节内容是我校实施的省级科研课题：“初中数学“课题学习”校本化实施与评价的行动研究”研究实施方案的研讨内容之一。本节内容经过了几位教师的执教与研讨，本文展示的是笔者的实践设计与实录。 （一）内容与学情分析
“造桥选址问题”是人教版《数学》八年级上册第十三章“轴对称”的最后一节“课题学习”的第二节内容。比“将军饮马”问题较难，本节内容的解决主要是平移知识的综合应用。是对学生动手操作能力的一个考查，本节的难点在于如何把问题转化为“两点之间，线段最短的问题”，在解决的过程中渗透了化归的思想。 （二）目标与目标解析 1.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用； 3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想，体会利用作图解决最短路径问题。 达成目标的标志是：能够将实际问题中的“河”的两岸抽象为数学中的“平行线”，把实际问题抽象为线段和最小问题。通过学生独立思考、合作讨论、教师点拨等方式；能利用平移将线段的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求路径最短；在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟化归的转化思想， （三）教学思路与理念
初中最短路径问题
最短路径问题（珍藏版） 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结 点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题 1】 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P ，使 PA +PB 值最小． 连 AB ，与 l 交点即为 P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为 AB ． 【问题 2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P ，使 PA +PB 值最小． 作 B 关于 l 的对称点 B ＇ 连 A B ＇，与 l 交点即为 P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为 A B ＇． 【问题 3】 作法 图形 原理 在直线l 1 、l 2 上分别求点 M 、N ，使△PMN 的周长最小． 分别作点 P 关于两直线的 对称点 P ＇和 P ＇，连 P ＇P ＇与两直线交点即为 M ，N ． ， 两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段 P ＇P ＇＇的长． 【问题 4】 作法 图形 原理 在直线l 1 、l 2 上分别求点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周长最小． 分别作点 Q 、P 关于直线 l 1 、l 2 的对称点 Q ＇和 P ＇ 连 Q ＇P ＇，与两直线交点即为 M ，N ． 两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P ＇P ＇＇的长．
13.4课题学习最短路径问题 精品导学案 新人教版3
L A B L A B A O B P 第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题 一.学习目的 1.掌握利用轴对称，平移等变化把问题转化为易解决的问题。 2.在解决问题中培养学生转化思想和数形结合思想。 3.数学来源于实际服务于生活，激发数学学习兴趣。 二.学习重难点 用对称作法确定最短距离。 三.学习过程 第一课时最短路程 （一）构建新知 1.阅读教材85～87页 （1）如图，已知直线L的两侧有两村庄A、B， 若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？ （2）如图，已知直线L的同侧有两村庄A、B。 ①若要在L上找一点到两村庄的路程 相等，应怎样选址？ ②若要在L上找一点到两村庄的路程 最短，应怎样选址？ （3）造桥选址问题：如图，A、B两地在綦河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） （二）合作学习 1.如图，点P在∠AOB内部，问如何在射线OA、O B上 分别找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。
x y –1 –2 –3123 –1 –2 1 2 3 4 O A B N M A B C D x y –1 –21234 –1 –2 1 2 O B E F A C A B C M N （三）课堂检查 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点 B（－2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离 之和最小，则P点的坐标是_______。 2.如图，在正方形ABC D中，点E 是BC上的一定点，点P是BD上的 一动点，要使PE+PC的值最小， P应在BD的什么位置？ 3.如图，已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边 的中点，P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小， 试确定点P的位置。 4.如图，在△AB C中，M是边AB上的点，N是边BC上的 一点，在边AC上找一点P，使MN＋PN的值最小。 5.如图，以矩形OABC的顶点，OA所在的直线 为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系，已知OA=4，OC=2，点E、F分别是边AB、BC 的中点，在x轴、y轴上存在点N、M，使得四边 形MNEF的周长最小。这是N，M的坐标是____________和 （四）学习评价 （五）课后练习 1.学习指要42～43页 教学反思 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。 2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题复习课程
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问 题
专题十一：最短路径——造桥选址问题 【导例引入】 导例：如图1，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是 ． 【方法指引】 （1）如图，在直线l 上找M 、N 两点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小，且MN=d 。 方法：将点A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于直线l 的对称点A"，连接A"B 交直线l 于点N ，将点N 向左平移d 个单位到M ，点M 、N 即为所求，此时AM+MN+NB 最小为A"B 。 （2）如图，1l ∥2l ，1l ，2l 之间距离为d ，在1l ，2l 分别找M 、N 两点，使得MN ⊥1l ，且AM+MN+NB 最小。
l于点N，将点N向上平方法：将点A向下平移d个单位到A′，连接A′B交直线 2 移d个单位到M，点M，N即为所求，AM+MN+NB的最小值为A′B+d。 （3）如图，点P，Q在∠AOB内，分别在OA，OB上找点C，点D，使四边形PCDQ的周长最小. 方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小 本质为转化思想： （1）化同侧为异侧（对称变换）， （2）平移定距离（平移变换）， （3）化折线为直线（两点之间线段最短） “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。【例题精讲】 类型一：两定点两动点形成最短路径型
中考数学专题最短距离问题
中考数学专题最短距离问题 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、A是直线A同旁的两个定点． 问题：在直线A上确定一点A，使A的值最小． 方法：作点A关于直线A的对称点A，连结A交A于 点A，则A的值最小 模型转化应用： 在锐角三角形中探求线段和的最小值 如图1，在锐角三角形ABC中，AB=A,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 在等边三角形中探求线段和的最小值 （2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值 （2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 在等腰梯形中探求线段和的最小值 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值为． 在菱形中探求线段和的最小值 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为． 在正方形中探求线段和的最小值 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则 DN+MN的最小值为．
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为 P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ， 点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一 点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C