古希腊数学

第二讲古希腊数学

《雅典学院》壁画介绍

拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。

《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。

位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。

台阶下的人物分为左右两组。左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。

图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。

1．论证数学的兴起

泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。

在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。

毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。该学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派内部的秘密。因此，后人很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。该学派虽然是一个多少有点宗教性质的组织，但主要致力于哲学与数学的研究。相传“哲学”(希腊文意为“智力爱好”)与“数学”(希腊文意为“可学到的知识”)这两个词原为毕达哥拉斯所创。

几乎所有的西方文献都将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。据传说，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰百牛祭神，但关于毕达哥拉斯如何证明该定理，始终是个迷。

毕氏学派的另一项几何成就是正多面体作图。他们称正多面体为“宇宙形”，一般认为，三维空间中仅有五种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，它们的作图都与毕达哥拉斯及其学派有关。在所有正多面体中，正十二面体最为引人注目。这是因为，它的每个面都是正五边形，其作图问题涉及到了一个有趣的概念，那就是后人所称的“黄金分割”。

尽管毕氏学派做出了许多的几何成就，但这个最尊崇的信条即是“万物皆数”。这里的

“数”仅指整数，分数则是两个整数之间的一种比值关系。毕氏学派对数进行了各种分类，除了偶数和奇数外，还定义了完全数、过剩数、不足数、亲和数等概念。关于“形数”的研究，强烈的反映了他们将数作为几何思维元素的精神。所谓n边形数，实际就是首项为1，公差为(n－2)的等差数列的部分和序列。

毕氏学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，它加强了数概念中的理论倾向，更多地融入了某种初等数论的智力因素，并且由于数形结合的观点，实质上又推动了几何学的抽象化倾向。其次，“万物皆数”为他们用数的理论解释天体运动、发现音乐定律等等提供了根据，这使得毕达哥拉斯学派成为通过数学来理解和分析自然现象的先驱。

随着古希腊民主力量的高涨，在政治上推崇贵族制的毕达哥拉斯学派受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉斯本人也逃离克洛托内，不久被杀。希波战争(前492-前449)以后，在作为古希腊民主政治与经济文化中心的雅典及其周边地区，先后涌现出众多的学术派别。这些学派主要从事哲学讨论，但他们的研究活动同时也极大地加快了古希腊数学的理论化进程。主要的学派有：

芝诺悖论叙述简单，结论合理，但却出人意料之外。人们免不了会觉得它肯定是诡辩，一定可以找出其毛病所在。但要澄清这些悖论，需要极限、连续以及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的回答。因此芝诺悖论与不可公度的困难一起，成为古希腊数学追求逻辑精确性的强大激励因素。

较晚的原子论学派在探讨无限性问题方面也产生过深远影响。该学派的代表人物德谟克利特(约前460-前370)认为，一切整体皆由离散单元组成。因此，该学派很自然地把圆锥看做是由一系列不可分的薄层叠成的，从而解决了其体积计算问题。这种认识可以说是不可分量理论的先驱。

雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。

柏拉图出身于名门贵族，以丰厚的家财开设了雅典学院。学院虽以哲学研究为主，但柏拉图认为数学是一切学问的基础。据说学院的大门上就写着“不懂几何者莫入”。柏拉图本人在数学上虽未取得什么具体成就，但对数学研究的方法却有颇多贡献。分析法与归谬法即被认为是他的思想。他给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理。

柏拉图的思想在他的学生与同事亚里士多德那里得到极大的发展和完善。亚里士多德对定义作了精密的讨论，并指出需要有不加定义的名词。他还深入研究了作为数学推理出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设。

亚里士多德最大的贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，从而创立了独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律，成为数学间接证明的核心。亚里士多德的开工逻辑被后人奉为演绎推理的典范，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。

欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，更是亚历山大数学学派的奠基人。欧几里得生平简历不详，根据有限的记载推断，他早年曾就学于雅典，在柏拉图学院接受过数学训练。应托勒密王之邀来到亚历山大，还曾经成为马其顿的老师。

欧几里得现存的著作有《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》和《镜面反射》等，而失传的还有《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、《辩伪术》等著述。

欧几里得对数学，或者说整个为类文明史的贡献，主要体现在他的鸿篇巨制《原本》中。这部杰作从问世之日起，便备受推崇，直到如今，已用世界各种文字出了1 000多版，

被誉为西方科学的“圣经”。

《原本》总结并推广了毕达哥拉斯学派的几何成就、欧多克斯的比例理论以及几乎所有此前的立体几何知识，此外还有大量的初等数论定理。在方法上，《原本》则通过完善安提丰的穷竭法，使其在面积、体积理论方面成一种有力的、成熟的证明工具，展现了古希腊数学的思想精髓和典型意义。

《原本》在几何学、比例理论、穷竭法、初等数论等方面取得了很大成就，不过，《原本》最大的功绩应在于它确立了数学中的演绎范式，这种范式要求一门科学中的每个命题必须是在它之前已建立了一些命题的逻辑结论，而所有逻辑链的共同出发点，则是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理：公理或公设。这就是后来所谓的公理化思想。正是在这一点上，欧几里得《原本》可以说是数学史上第一座理论丰碑。

“数学之神”阿基米德生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟随欧几里得的弟子学习数学，后返回故乡。在那里，他与亚历山大的朋友们一直保持着书信来往。他的许多成果都是通过一些颇似研究论文的书信得以保存下来的，如《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥面和旋转椭球》、《引理集》、《方法论》、《论平面图形的平衡或其重心》、《论浮体》、《砂粒计数》、《牛群问题》等。

阿波罗尼奥斯是亚历山大时期古希腊数学史上的又一位杰出人物。他的贡献涉及几何学和天文学，但最为重要的是他在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。他以欧几里得式的严谨风格写就的传世之作《圆锥曲线论》，可以说是古希腊演绎几何的最高成就。直至17世纪笛卡尔、帕斯卡掀起了几何学发展的新序幕，在此之前，还无人能够超越《圆锥曲线论》的成就。

希腊数学的衰落

崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服希腊各国，夺得了地中海地区的霸权，并建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明从此被务实的罗马文明所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域却远谈不上有什么显赫的功绩。不过，由于希腊文化的惯性影响以及一息尚存的宽松氛围，罗马统治下的亚历山大城仍然维持着学术中心的地位，并产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前30年到公元6世纪的这段时期，通常被称为古希腊数学的“亚历山大后期”。

亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。该时期开始阶段值得提及的几何学家恐怕只有海伦，其《量度》一书主要讨论各种几何图形的面积和体积计算，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式。海伦的几何学带有罗马科学明显的实用色彩，不少命题没有证明，这对亚历山大前期的数学家而言，完全是不可思议的。

亚历山大后期几何最富创造性的成就是三角学的建立。这方面卓越的代表人物首推托勒密(约100-170)。他的名著《天文学大成》既总结了前人的知识，又提出了不少新理论，为三角学的进一步发展和应用奠定了坚实的基础。《天文学大成》对三角学的贡献为托勒密在数学史上赢得了稳固的地位。

亚历山大后期的古希腊数学有一个重要特征，即突破了前期以几何学为中心的传统，在所有亚历山大后期的数学著作中，对古典希腊几何传统最离经叛道的当数丢番图的《算术》。这部具有东方色彩的问题集，用纯分析的途径独步一时数论与代数问题，可以看做希腊算术与代数成就的最高标志。该书尤以不定方程的求解而著称，以致我们今天常把求整系统不定方程的整数解问题叫做“丢番图分析”。

《算术》中最有名的一个不定方程是：将一个已知的平方数分为两个平方数。这问题之所以有名，主要因为17世纪法国数学家费马对该题所加的边注，引出了后来举世瞩目的“费马大定理”。

《算术》的另一贡献在于创用了一套特殊记号，使代数问题一改此前仅用文字叙述的方式。这些记号虽然还只具有缩写的性质，却不失为代数符号的滥觞。同时《算术》也表现出古希腊代数的一此弱点。丢番图对代数问题的解答，过于依赖高度的技巧，在方法上缺乏一般性。难怪有人说：研究了丢番图的100道题以后，还不知道怎样去解第101题。

亚历山大晚期的数学研究大都以评注前代名家著作的形式出现，帕波斯(约300-350)是这方面最出色的一位。他惟一传世的《数学汇编》就是一部荟萃前人成果的典型之作，在数学史上具有特殊意义。许多古希腊数学的宝贵资料仅仅是由于《数学汇编》的记载才得以保存下来。

《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲，此后的古希腊数学日趋衰微。女数学家希帕蒂娅(约370-415)之死昭示古希腊数学的彻底结束。希帕蒂娅是历史上第一位杰出的女数学家，其父为塞翁。她曾经注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作。公元415年，她被一群听命于主教西里尔的基督教暴徒残酷杀害。

当基督教在罗马被奉为国教后，希腊学术被视为异端邪说，异教徒惨遭迫害。盛极一时的古希腊学术中心亚历山大几经战火，学术著作被梵毁殆尽。早在公元前47年，亚历山大图书馆在罗马大帝凯撒攻城烧港时已遭重创。公元392年，疯狂的基督教徒又纵火烧毁了经过重建的亚历山大图书馆和另一处藏在大量希腊手稿的西拉比斯神庙。到公元640年，亚历山大学术宝库中残余的书籍被阿拉伯征服者付之一炬。古希腊数学至此彻底落下了帷幕