透视投影详解

透视投影

透视投影是用中心投影法将形体投射到投影面上，从而获得的一种较为接近视觉效果的单面投影图。它具消失感、距离感、相同大小的形体呈现出有规律的变化等一系列的透视特性，能逼真地反映形体的空间形象。透视投影也称为透视图,简称透视。在建筑设计过程中，透视图常用来表达设计对象的外貌，帮助设计构思，研究和比较建筑物的空间造型和立面处理，是建筑设计中重要的辅助图样。

透视投影符合人们心理习惯，即离视点近的物体大，离视点远的物体小，远到极点即为消失，成为灭点。它的视景体类似于一个顶部和底部都被切除掉的棱椎，也就是棱台。这个投影通常用于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映的方面。

在平行投影中，图形沿平行线变换到投影面上；对透视投影，图形沿收敛于某一点的直线变换到投影面上，此点称为投影中心，相当于观察点，也称为视点。平行投影和透视投影区别在于透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。当投影中心在无限远时，投影线互相平行，所以定义平行投影时，给出投影线的方向就可以了，而定义透视投影时，需要指定投影中心的具体位置平行投影保持物体的有关比例不变，这是三维绘图中产生比例图画的方法。物体的各个面的精确视图可以由平行投影得到。另一方面，透视投影不保持相关比例，但能够生成真实感视图。对同样大小的物体，离投影面较远的物体比离投影面较近物体的投影图象要小，产生近大远小的效果.

透视投影的原理和实现

by Goncely

摘要：透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。掌握透视投影的原理对于深入理解其他3D渲染管线具有重要作用。本文详细介绍了透视投影的原理和算法实

现，包括透视投影的标准模型、一般模型和屏幕坐标变换等，并通过VC实现了一个演示

程序。

1 概述

在计算机三维图像中，投影可以看作是一种将三维坐标变换为二维坐标的方法，常用到的

有正交投影和透视投影。正交投影多用于三维健模，透视投影则由于和人的视觉系统相似，多用于在二维平面中对三维世界的呈现。

透视投影（Perspective Projection）是为了获得接近真实三维物体的视觉效果而在二维的

纸或者画布平面上绘图或者渲染的一种方法，也称为透视图[1]。它具有消失感、距离感、相同大小的形体呈现出有规律的变化等一系列的透视特性，能逼真地反映形体的空间形象。透视投影通常用于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映的方面。

2 透视投影的原理

基本的透视投影模型由视点E和视平面P两部分构成（要求E不在平面P上）。视点可以认为是观察者的位置，也是观察三维世界的角度。视平面就是渲染三维对象透视图的二维

平面。如图1所示。对于世界中的任一点X，构造一条起点为E并经过X点的射线R，R

与平面P的交点Xp即是X点的透视投影结果。三维世界的物体可以看作是由点集

合 { Xi} 构成的，这样依次构造起点为E，并经过点Xi的射线Ri，这些射线与视平面P的

交点集合便是三维世界在当前视点的透视图，如图2所示。

图1 透视投影的基本模型[2]

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图2 透视图成像原理[6]

基本透视投影模型对视点E的位置和视平面P的大小都没有限制，只要视点不在视平面上即可。P无限大只适用于理论分析，实际情况总是限定P为一定大小的矩形平面，透视结果位于P之外的透视结果将被裁减。可以想象视平面为透明的玻璃窗，视点为玻璃窗前的观察者，观察者透过玻璃窗看到的外部世界，便等同于外部世界在玻璃窗上的透视投影（总感觉不是很恰当，但想不出更好的比喻了）。

当限定P的大小后，视点E的可视区间（或叫视景体）退化为一棱椎体，如图3所示。该棱椎体仍然是一个无限区域，其中视点E为棱椎体的顶点，视平面P为棱椎体的横截面。实际应用中，往往取位于两个横截面中间的棱台为可视区域（如图4所示），完全位于棱台之外的物体将被剔除，位于棱台边界的物体将被裁减。该棱台也被称为视椎体，它是计算机图形学中经常用到的一个投影模型。

图3 有限视平面的可视区间[3]

图4 透视投影的视椎体模型[3]

3 透视投影的标准模型

设视点E位于原点，视平面P垂直于Z轴，且四边分别平行于x轴和y轴，如图5所示，我们将该模型称为透视投影的标准模型，其中视椎体的近截面离视点的距离为n，远截面离视点的距离为f，且一般取近截面为视平面。下面推导透视投影标准模型的变换方程。

图5 透视投影的标准模型[4]

设位于视椎体内的任意一点X (x, y, z) 在视平面的透视投影为Xp (xp, yp, zp)，从点X和

Xp做z轴的垂线，并分别在X-Z平面和Y-Z平面投影，图6是在X-Z平面上的投影结果。

图6 透视投影的相似三角形[6]

根据三角形相似原理，可得：

xp/n = x/z, yp/n = y/z

解上式得：

xp = x*n/z, yp = y*n/z, zp = n.

上式便是透视投影的变换公式，非常简单，不是吗？需要说明的是，由于透视点始终位于视平面，所以zp恒等于n，实际计算的时候可以不考虑zp。另外还可以从照相机模型来考虑透视投影。将视点E想象为一个虚拟的照相机，视平面想象为胶片，那么图5 也是一个标准的照相机模型。

PS：上述讨论都是基于矩形视平面来考虑的，其实我们可以取视平面为任意形状，比如圆形，此时视景体变为一个圆锥体，当然现在好像还没有圆形的显示装置。另外，我还曾考虑将视平面取为凹面或凸面，此时的投影结果应该是哈哈镜效果吧（纯属想象，没有验证）。还可以想象将视平面放在E的另外一面，这时的投影图像是倒置的，但是不是更接近人的视觉成像模型？另外还可以考虑有两个甚至更多视点的透视投影，总之充分发挥你的相像，或许能得到意想不到的结果。

4 透视投影的一般模型

令世界坐标系的x轴指向屏幕的右方，y轴指向屏幕的上方，z轴指向屏幕外（右手坐标系）。我们在讨论标准模型的时候，曾假设E的坐标为原点，其实视点E除了有位置属性外，还有姿态属性，通常用[L U D]表示（D3D中用的是[R U D]表示），其中L表示视点的左向（Left），U表示上方（Up），D表示朝向（Direction）。在标准模型中，有L=[-1,0,0]T , U=[0,1,0]T , D=[0,0,-1]T。

透视投影的一般模型研究视点E在任意位置，任意姿态下透视图的生成算法。思路很简单，先将一般模型变换为标准模型，然后使用标准模型的透视投影公式便能计算透视结果。下

面研究一般模型变换为标准模型的数学公式。

设一般模型中的点X，其对应在标准模型中的点为Y，那么当视点位于E，姿态为R时，

X和Y有如下关系：

X = E+RY

反过来有：

Y = R-1 (X-E)

通常取R为正交阵，即R-1 =R T，故有

Y = R T (X-E)

把上式改写成齐次矩阵（Homogeneous matrix ）的形式有：

式中H view便是透视投影从一般模型到标准模型的变换矩阵。

5 转换为屏幕坐标

对于透视投影的标准模型，视平面的坐标模型如图 7 所示，它的坐标原点位于视平面的中心， x 轴正向水平向右， y 轴正向垂直向上。要把透视投影的结果在计算机屏幕上显示的话，需要对透视图进行坐标变换，将其从视平面坐标系转换到屏幕坐标系。

图7 视平面坐标模型

计算机屏幕的坐标模型如图 8 所示，它的原点位于屏幕的坐上角， y 轴正向垂直向下。设视平面的宽度为 Wp ，高度为 Hp ；屏幕的宽度为 Ws ，高度为 Hs 。

图8 屏幕坐标模型[5]

令视平面坐标系中的点（ xp, yp ）对应于屏幕坐标系中的点（ xs, ys ），它们的变换关系如下：

xs = a*xp + b;

ys = c*yp + d

由图 7 和图 8 可知，视平面中的（ 0, 0 ）点对应于屏幕坐标系中的中心点（ 0.5*Ws-0.5, 0.5*Hs-0.5 ）（ PS ：由于屏幕坐标系是离散坐标系，所有屏幕右下点的坐标为（ Ws-1, Hs-1 ），而不是（ Ws, Hs ））；另外，视平面的（ -0.5*Wp, -0.5*Hp ）对应于屏幕的（ 0, 0 ）点。将上述两种取值代入变换方程可以得出：

上式便为视平面坐标系到屏幕坐标系的变换方程。

6 透视投影的实现

6.1 载入3D模型

使用Matt Fairfax实现的Model_3DS类支持3DS模型文件的载入，该类的实现非常简单，而且很容易使用，具体可参考[7]。由于本文的DEMO只需要其中的模型载入功能，所以

对源代码进行了删减，去掉了纹理加载（暂不需要）和渲染（我们自己实现）代码，在析

构函数中添加了资源释放代码。

6.2 视图变换

为表示透视投影的一般模型，实现了KCamera类，除保存视点的位置和姿态，还保存视

图变换矩阵m_kmView，随着视点位置和姿态的变化，视图矩阵也不断更新，更新算法详见第4节。对于世界坐标系中的任何一点v(x, y, z)，通过v = m_kmView*v将其变换到透

视投影的标准模型坐标系，详见KCamera::Transform函数。

6.3 透视变换

KFrustum类用来对透视投影的标准模型进行建模，其成员包括视平面的尺寸大小，以及

近截面和远截面的z轴坐标。KFrustum通过Project函数将视图变换的结果变换为透视坐标。算法的原理见第3节，代码实现如下：

void KFrustum::Project(KVector3& v)

{

// xp = x*n/z, yp = y*n/z, zp = n.

float fFactor = GetNear()/v.z;

v.x *= fFactor;

v.y *= fFactor; v.z = GetNear(); }