九年级数学 二次函数易错题(Word版 含答案)

九年级数学 二次函数易错题（Word 版 含答案）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线()2

1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y

轴的负半轴交于点C ．

()1求点B 的坐标．

()2若ABC 的面积为6．

①求这条抛物线相应的函数解析式．

②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0）；（2）①2

23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为

1133313++??或53715337-+-??

． 【解析】 【分析】

（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；

（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1

2

(1?a)?(?a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；

②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】

解：()1当0y =时，()2

10,x a x a -++=

解得121,.x x a ==

点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C

0,a ∴<

∴点B 坐标为()1,0．

()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <

1,AB a OC a ∴=-=-

ABC 的面积为6,

()()1

16,2a a ∴

--?= 123,4a a ∴=-=．

0,a <

3a ∴=-

22 3.y x x =+-

②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-

则03,k =-

3k ∴=．

,POB CBO ∠=∠

∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为

则2

3,

23,y x y x x =??

=+-?

1112x y ?=??∴??=??(舍去)

，2212x y ?+=????=??∴点的P

坐标为1322??+ ? ???

； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-

则2

3,23,y x y x x =-??=+-?

1152x y ?-=??∴??=??舍去)

，2252x y ?-=????=??

∴点P'的坐标为53715337,??

-+- ? ???

综上可得，点P 的坐标为1133313,??++ ? ???或53715337,??

-+- ? ???

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析

【解析】 【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

?

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.

(3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

?

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

3

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

?

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为2

1

,233

t t t ??-++ ??

?

过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2

13,6233

DG t CG t t ??=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴= 在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1133303t t ??

---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD ++=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

3．已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；

（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，

()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，

OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内

角为60，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：

PA 平分MPN ∠．

【答案】（1）21b a =-；（2）2

2y x =-；（3）见解析.

【解析】 【分析】

（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2

12)x -+、点N 的坐标为2(x ，

2

2

2)

x

-+，由O、M、N三点共线可得出2

1

2

x

x

=-，进而可得出点N及点'

N的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'

N在直线PM上，进而即可证出PA平分MPN

∠．

【详解】

解：（1）把点()

0,2

-、()

2,0

-分别代入，得

2

420

c

a b c

=-

?

?

-+=

?

．

所以21

b a

=-．

（2），如图1，

当120

x x

<<时，()()

1212

x x y y

--<，

12

x x

∴-<，

12

y y

->，

∴当0

x<时，y随x的增大而减小；

同理：当0

x>时，y随x的增大而增大，

∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上，

b

∴=．

OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，

ABC

∴?为等腰三角形，

又ABC

?有一个内角为60?，

ABC

∴?为等边三角形．

设线段BC与y轴交于点D，则BD CD

=，且30

OCD

∠=?，

又2

OB OC OA

===，

·303

CD OC cos

∴=?=，·301

OD OC sin

=?=．

不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为31)．

点C在抛物线上，且2

c=-，0

b=，

321

a

∴-=，

1

a

∴=，

∴抛物线的解析式为22

y x

=-．

（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)

x-，点N的坐标为

2

(x，2

2

2)

x-．

如图2，直线OM的解析式为()

11

y k x k

=≠．

O、M、N三点共线，

1

x

∴≠，

2

x≠，且

22

12

12

22

x x

x x

--

=，

12

12

22

x x

x x

∴-=-，

()

12

12

12

2x x

x x

x x

-

∴-=-，

12

2

x x

∴=-，即2

1

2

x

x

=-，

∴点N的坐标为

1

2

(

x

-，

2

1

4

2)

x

-．

设点N关于y轴的对称点为点'N，则点'N的坐标为

1

2

(

x，2

1

4

2)

x

-．

点P是点O关于点A的对称点，

24

OP OA

∴==，

∴点P的坐标为()

0,4

-．

设直线PM的解析式为24

y k x

=-，

点M的坐标为1(x，212)

x-，

2

121

24

x k x

∴-=-，

2 1

2

1

2

x

k

x

+

∴=，

∴直线PM的解析式为

2

1

1

2

4

x

y x

x

+

=-．

()

22

2

11

1

22

1111

224

224

·42

x x

x

x x x x

+-

+

-==-，

∴点'

N在直线PM上，

PA

∴平分MPN

∠．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；

②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．

4．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-

3

2

，

15

4

），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3

【解析】

【分析】

（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；

（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求

得ME 的长度，从而得出M

坐标 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），

∴93030

a b c c a b c -+=??=??++=?

，解得：123a b c =-??

=-??=?，

所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）∵A （-3，0），B （0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°， 又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，

∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，

联立2

23

y x m

y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴3∴点M （-23）或（-2，3 【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

5．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线

向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；

（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：

①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；

②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；

（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

将C（0，3）代入上式，得：

3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；

令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3； ∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；

②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；

当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，

∴P 2、D 2关于x 轴对称；

设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：

30

3k b b +=??

=?

， 解得13k b =-??=?

；

∴y=﹣x+3；

设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；

解得x 1=2，x 2=3（舍去）；

∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）；

∴x 2﹣4x+3=1，

解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，

即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.

6．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2

y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点()

0,3C ，点()3,0B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；

②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足1

2

MCB ACO ∠=

∠，请直接写出点M 的横坐标．

【答案】（1）23233

=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】 【分析】

（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；

（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足1

2

MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案． 【详解】

解：（1）由题意得：

120933b

a a

b ?-=??

?=++?

解得323

a

,b 故抛物线的解析式是23233=++y x x .

图（1） 图（2） （2）①设直线BC 的解析式为3. ∵直线BC 过点B （3，0）， ∴3则k=33

-

， 故直线BC 解析式为y=3

3 设直线m 解析式为3

y

x b ，且直线m ∥直线BC 当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值. 令23323b 3+=+

23-33333

0x x b

当2Δ

(-33)-43(333)0b 时

直线m 与抛物线有唯一交点 解之得：73

,b

代入原式可求得：32

x = ∴D 353

(2

图（3）

过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积，

∴D 3532? ??

②存在，点M 的横坐标为313+2 解题提示：如图3

符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方） ∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°， ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E （33+0）

设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0

(323)3k

解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3y

x

∴23233(32)3y x x y x ?=+?

??=?

解得：x 1=0，x 23－1

∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15° ∴在Rt △COF 中， ∠CFO=45° ∴3∴F 30）

∴直线CF

的解析式为-3y x

∴2323

3-3y x x y x ?=-

++???=+?

解之得：30x =（舍去），4

3+2x

即点M 的横坐标为：23-1或3+2 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．

7．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）存在．P （﹣

34，1916

）．（3）1539(,)24M --

21139(,)24M - 3521

(,)24M

【解析】 【分析】

（1）将A,B,C 三点代入y ＝ax 2+bx+4求出a,b,c 值，即可确定表达式；

（2）在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3，构建△DCB ≌△GCB ，求直线BG 的解析式，再求直线BG 与抛物线交点坐标即为P 点，

（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论. 【详解】

解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

∴

40

16440

a b

a b

-+=

?

?

++=

?

解得

1

3

a

b

=-

?

?

=

?

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣3

2

）2+

25

4

．

∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，

∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）

∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

连接CD，∴CD∥x轴，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，

再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得

k＝﹣1

4

，b＝1，

∴BP解析式为y BP＝﹣1

4

x+1．

y BP＝﹣1

4

x+1，y＝﹣x2+3x+4

当y＝y BP时，﹣1

4

x+1＝﹣x2+3x+4，

解得x1＝﹣3

4

，x2＝4（舍去），

∴y＝19

16

，∴P（﹣

3

4

，

19

16

）．

（3）

1

539 (,)

24

M--

2

1139 (,) 24

M-

3

521 (,) 24

M理由如下，如图

B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线

3

2

x=，

设N(3

2

，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)

第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,

∴4-3

2

=0-m，∴m=

5

2

-

∴﹣m2+3m+4=

39 4 -,

∴

1

539 (,)

24

M--；

或∴0-3

2

=4-m，

∴m=11 2

∴﹣m2+3m+4=

39 4 -,

∴

2

1139 (,) 24

M-；

第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，

∴3

22 2

m

∴m=5 2

∴﹣m2+3m+4=21 4

∴

3

521 (,) 24

M

综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为

1

539 (,)

24

M--

2

1139 (,) 24

M-

3

521 (,) 24

M.

【点睛】

本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.

8．如图1所示，抛物线2

23

y x bx c =

++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为

7

2

，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；

（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；

（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；

（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．

【答案】（1）2214433

y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】