人教版八年级数学上14.3因式分解教案
14．3因式分解
第1课时提公因式法
教学目标
1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系．
2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式．
教学重点
会用提公因式法分解因式．
教学难点
正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
同学们，我们先来看下面两个问题：
1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？
(2，3，5，7，9，10等)
2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．
对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题．
二、自主学习，指向目标
自学教材第114页至115页，思考下列问题：
1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解
2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系．
3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数．
三、合作探究，达成目标
探究点一因式分解的定义
活动一：填空并观察：
(1)计算：
x(x＋1)＝________；
(x＋1)(x－1)＝________.
(2)请你将下列各式写成乘积的形式：
①x2＋x＝________；
②x2－1＝________；
③am＋bm＋cm＝________.
展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？
反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形．
针对训练：见《学生用书》相应部分
探究点二公因式
活动二：填空：
①6与9的最大公约数是________；
②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________．
展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
小组讨论：归纳确定公因式的方法
【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的
针对训练：见《学生用书》相应部分
探究点三提取公因式法分解因式
活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商
2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2) 2a(b＋c)－3(b＋c)
小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？
展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2
【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解；
2．确定公因式的方法．
3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止．
五、达标检测，反思目标
1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C )
A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1)
C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1
2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
3．把下列各式因式分解：
(1)a(a－3)＋2(3－a)
解：原式＝a(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(a－2)
(2)9a2b3－6a3b2－3a2b2
解：原式＝3a2b2(3b－2a－1)
(3)－6x3－10x2－2x
解：原式＝－2x(3x2＋5x＋1)
(4)a(y－z)－4b(z－y)
解：原式＝a(y－z)＋4b(y－z)
＝(y－z)(a＋4b)
4．先因式分解再求值：5x(m－2)＋4x(2－m)，其中x＝0.4，m＝5.5.
解：原式＝(m－2)(5x－4x)
＝x(m－2)
＝0.4(5.5－2)
＝0.4×3.5＝1.4
●布置作业，巩固目标教学难点
1．上交作业：课本第119页1、4(1)．
2．课后作业：见《学生用书》．
第2课时平方差公式
教学目标
1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．
教学重点
应用平方差公式分解因式．
教学难点
灵活应用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
问题1：看谁算得最快：①982－22；②已知x＋y＝4，x－y＝2，则x2－y2＝________.
问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗？
你可以把这两个多项式写成两个因式积的形式吗？今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
二、自主学习，指向目标
自学教材第116页至117页，思考下列问题：
1．观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？
(1)左边是二次二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.
(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差．
2．乘法公式的平方差公式与因式分解的平方差公式的联系是互逆变形．
三、合作探究，达成目标
探究点一探究平方差公式
活动一：1.平方差(分解因式)公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
展示点评：公式特征(与乘法公式正好相反): 左边是两数的平方差，右边是这两数的和乘以这两数差的形式．(因此叫平方差公式)
小组讨论：运用平方差公式的条件有哪些？
【反思小结】运用平方差公式的条件：
(1)多项式是二项式，且两项符号相反(可转化为差的形式)；
(2)两项的绝对值分别可化为一个数(整式)的平方的形式．
针对训练：见《学生用书》相应部分
探究点二应用平方差公式因式分解
活动一：分解因式
(1)4x2－9；
(2)(x＋p)2－(x＋q)2.
解答过程见课本P116例3
例3分解因式
(1)x4－y4；
(2)a3b－ab.
展示点评：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？
展示点评：(继续分解到不能再分解为止)
小组讨论：归纳分解因式的一般步骤．
解答过程见课本P116例3
反思小结：1.分解因式的一般步骤：一提二套三分组即先看有没有公因式，若有提出公因式，再看能不能运用公式，若能运用公式进行分解；若不能则考虑分组，分组的原则：①分组后有公因式可提；②分组后有公式可套. 2.公式中的“a”，“b”可表示单项式也可表示多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来.3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式
2．对于多项式的因式分解要注意：
①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式
②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用公式分解因式
③第一步分解因式后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能再分解为止
五、达标检测，反思目标
1．下列多项式中，能否用平方差分解因式？
(1)x－xy；(2)x＋xy；(3)x2＋y2；(4)x2－y2；
解：(1)不能 (2)不能 (3)不能 (4)能
(5)－x 2＋y 2; (6)－x 2－y 2; (7)x 3－y 2; (8)x 4－y 4.
解：(5)能 (6)不能 (7)不能 (8)能
2．分解因式：
(1)a 2－125
b 2； 解：原式＝(a ＋15b )(a －15
b )
(2)－a 4＋16；
解：原式＝(4＋a 2)(4－a 2)
＝(4＋a 2)(2＋a )(2－a )
(3)x －xy 2；
解：原式＝x (1－y 2)
＝x (1＋y )(1－y )
(4)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2；
解：原式＝(2x ＋3y ＋3x －2y )·(2x ＋3y －3x ＋2y )
＝(5x ＋y )(5y －x )
(5)5m 2a 4－5m 2b 4；
解：原式＝5m 2(a 4－b 4)
＝5m 2(a 2＋b 2)(a 2－b 2)
＝5m 2(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )
(6)3xy 3－3xy ；
解：原式＝3xy (y 2－1)
＝3xy (y ＋1)(y －1)
(7)a 2－4b 2－a －2b ；
解：原式＝(a 2－4b 2)－(a ＋2b )
＝(a ＋2b )(a －2b )－(a ＋2b )
＝(a ＋2b )(a －2b －1)
3．简便计算：
(1)4292－1712；
解：原式＝(429＋171)(429－171)
＝600×258
＝154800
(2)5152×24－4852×24.
解：原式＝24×(5152－4852)
＝24×(515－485)(515＋485)
＝24×30×1000
＝70
●布置作业，巩固目标教学难点
1．上交作业：课本P119第2题，第4(2)题．2．课后作业：见《学生用书》．
第3课时完全平方公式
教学目标
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方公式进行因式分解．
教学重点
用完全平方公式法进行因式分解．
教学难点
灵活应用公式分解因式．
教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
2．在括号内填上适当的式子，使等式成立：
(1)(a＋b)2＝________；
(2)(a－b)2＝________.
(3)a2＋________＋1＝(a＋1)2；
(4)a2－________＋1＝(a－1)2.
展示点评：
(1)你解答上述问题时的根据是什么？
(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
(从左到右是乘法；从左到右是分解因式)
我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课就来研究如何利用完全平方公式来进行因式分解．
二、自主学习，指向目标
自学教材第117页至118页，思考下列问题：
1．观察完全平方公式：
________＝(a＋b)2；________＝(a－b)2
完全平方式的特点：
左边：①项数必须是________；
②其中有两项是________；
③另一项是________．
右边：________________________________________________________________________.
2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．
三、合作探究，达成目标
探究点一完全平方公式(因式分解)
活动一：我们把乘法公式中：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2等号右边的式子即： a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫做完全平方式．
展示点评：运用完全平方公式分解因式的方法同用平方差公式分解因式是一致的．
小组讨论：完全平方式的特征是什么？
【反思小结】完全平方式满足两个条件：(1)是一个三项式；(2)两数的平方和加上或减去这两数积的2倍．
针对训练：见《学生用书》相应部分
探究点二运用完全平方公式分解因式
活动二：把乘法公式逆向变形为：
a2＋2ab＋b2＝________；
a2－2ab＋b2＝________
可以发现，通过变形把一个完全平方式也变成了两个因式积的形式(平方也就是两个相同因式积的形式)，即：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
例1把下列多项式分解因式：
(1) 16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.
思考：若所要分解的多项式是三项式，应当考虑应用什么公式分解？
小组讨论：运用完全平方公式分解因式应注意什么问题？
展示点评：首先考虑用完全平方公式分解．
解答过程见课本P118例5
【反思小结】在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：1.先找平方项，再运用公式.2.若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式针对训练：见《学生用书》相应部分
活动三：把下列多项式分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36
展示点评：能提取公因式的首先应当提取公因式，再考虑应用公式分解，对于平方项的底数是多项式的要看作一个整体．
小组讨论：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
解答过程见课本P118例6
【反思小结】1.能提取公因式的要先提取公因式；2.灵活地将x＋y看作一个整体；3.分解因式必须进行到不能再分解为止．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．应用完全平方公式分解因式一定要熟记公式特征：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2
2．完全平方式的结构特征：
(1)项数必须是三项；(2)其中有两项是平方项且都是正的；(3)还有一项是两平方项底数乘积的两倍.
3．分解因式的一般思路：一提(提公因式法)二套(运用公式法)平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三项) 三分组(针对分解因式是三项式以上且不能直接分解的，要考虑分组分解．
4．分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止．
五、达标检测，反思目标
1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( C )
A．x2＋xy＋y2B．x2－2x－1
C．－x2－2x－1 D．x2＋4y2
2．多项式4a2＋ma＋25是完全平方式，那么m的值是( D )
A．10 B．20 C．－20 D．±20
3．－x2＋2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是__－(x－y)__．4．分解因式：
(1)y2＋2y＋1；
解：原式＝(y＋1)2
(2)16m2－72m＋81.
解：原式＝(4m－9)2
5．分解因式：
(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；
解：原式＝(x＋y＋3)2
(2)4xy2－4x2y－y3.
解：原式＝(－4xy＋4x2＋y2)(－y)
＝－y(2x－y)2
6．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求a2＋b2和ab的值．
解：由题意可得：
a2＋2ab＋b2＝25①
a2－2ab＋b2＝9②
由①＋②得：2(a2＋b2)＝34，a2＋b2＝17
由①－②得：4ab＝16，ab＝4
●布置作业，巩固目标教学难点
1．上交作业：课本P119第3题，第9题．
2．课后作业：见《学生用书》．
最新人教版八年级下册数学教案汇总版
八年级数学下册教学计划 一、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，起着承上启下的作用。下学期尤为重要，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。学生通过上学期的学习，算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步的认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，通过教育教学培养，绝大部分学生能够认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致志的进行学习与思考，学生的学习兴趣得到了激发和进一步的发展，课堂整体表现较为活跃。本学期将继续促进学生自主学习，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自身的体验获取知识与技能；努力实现基础性与现代性的统一，提高学生的创新精神和实践能力；进一步激发学生的数学兴趣和爱好，通过各种教学手段帮助学生理解概念，操作运算，扩展思路。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。关注学困生和女生。 二、教材分析 本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下： 第十六章二次根式 本章主要内容是二次根式的概念、性质、化简和有关的计算。本章重点是理解二次根式的性质，及二次根式的化简和计算。本章的难点是正确理解二次根式的性质和运算法则。 第十七章勾股定理 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。 第十八章平行四边形 四边形是人们日常生活中应用较广泛的一种图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的用处更多。因此，四边形既是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一。本章是在学生前面学段已经学过的四边形知识、本学段学过的多边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上做进一步系统的整理和研究，本章内容的学习也反复运用了平行线和三角形的知识。从这个角度来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化。 第十九章一次函数 一次函数通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数——一次函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。在教材中，通过体现“问题情境———建立数学模型——概念、规律、应用与拓展的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进行探索一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时在教学顺序上，将正比例函数纳入一次函数的研究中去。教材注意新旧知识的比较与联系，如在教材中，加强了一次函数与一次方程（组、一次不等式的联系等。
北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
分解因式--二次三项式的因式分解(用公式法)
初三代数教案 第十二章：一元二次方程 第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一） 教学目标： 1、使学生理解二次三项式的意义； 2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系； 3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式； 4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。 教学重点： 用公式法将二次三项式因式分解． 教学难点： 一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系． 教学过程： 二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力． 一、新课引入： （1）写出关于x的二次三项式？ （2）将下列二次三项式在实数范围因式分解． ①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1． 由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题． 二、新课讲解： ．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系． ①x2-2x+1=0； 解：原式变形为（x-1）（x-1）=0． ∴ x1=x2=1， ②x2-5x+6=0； 解原方程可变为
因式分解说课稿教案
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
最新华师大版八年级数学下册教案(全册)
2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分
子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0
1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分
《因式分解-公式法》教学设计1
14.3.2 公式法因式分解 班级： 姓名： 学号： 学习目标： 1、熟练掌握公式法，并能灵活选择平方差公式进行因式分解。 2、通过独立思考、小组讨论,进一步体验“整体的 思想”。 3、培养主动参与学习、认真严谨的学习态度。 学习重点:用公式法进行因式分解 学习难点:对平方差公式结构的理解以及灵活运用公式。 学习过程： 一、复习反馈 1、什么叫因式分解？ 。 2、计算：①(x+2)(x-2)=_________。把等号左右两边互换得 。 ②(y+5)(y-5)=_________。把等号左右两边互换得 。 思考:你能将多项式2x - 4与多项式2y -25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗? 二、引导探究 平方差公式 22b -a b -a )(b a =+） （ 把等号两边互换位置变形平方差公式得 语言描述：即两个数的 ,等于这两个数的 与这两个数的 的积。 平方差公式进行因式分解：2a - 2b =(a+b)(a-b) 1、因式分解。 ① 2x -1=________ 。 ② 9 - 2t =________。
2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①2x+2y②2x-2y ③-2x+2y④-2x-2y 思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ 三、巩固精炼 例3 分解因式: (1) 42x–9 (2) 2 （+ x q） x–2 p） （+ 你能仿照例3完成下面的题目吗？ 练习：比一比，看谁做得快！ 2、把下列各式分解因式。 (1)2m-4 (2) 2 4x-25 (3) -2y4+ 2x(4) 22） x-9 （+
3、课堂升华 例4 分解因式: (1)4x -4y (2) b a 3 – ab 练习：我能行！（小组合作比赛） 4、分解因式。 （1）2a - 2b 25 1 ; (2) 29a -24b ; (3)4y -y x 2; (4) 4a - +16. 四、课外拓展 1、用平方差公式进行简便计算: （1）1022-22 （ 2） 992-12
人教版初中八年级数学上因式分解教案
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
人教版八年级下册数学教案全册
八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设与进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识与基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题与解决问题的能力。 二、学情分析 八年级就是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来就是否能升学。我班优生稍少,学生非常活跃,有少数学生不求上进,思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩,缺乏自主学习的习惯,有部分同学基础较差,厌学无目标。要在本期获得理想成绩,老师与学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生就是学习的主体,教师就是教的主体作用,注重方法,培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下: 《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习与数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数与字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理与勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明与应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质与判定,还研究了矩形、菱形与正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章就是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质与应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要就是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势与离散情况,并通过研究如
《公式法因式分解》教学设计
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
最新人教版因式分解教案
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
八年级数学下册全册教案
16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间： 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知 很明显3、10、4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二 次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x>0）、 0、42、-2、 1 x y + 、x y +（x≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y≥0）；不是二 次根式的有：33、1 x 、42、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，31 x-在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?31x -才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和1 1 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 3 2 且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．x D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
最新人教版本八年级下册数学教学教案设计
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标: a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入: （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知: ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二 a ≥0）? （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，、 1 x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0）． 分析0． x>0、x ≥0，y ≥01x 、1 x y +． 例2．当x
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥ 1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展: 例3．当x +1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析11x +0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32 且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知，求 x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
苏教版初中数学八年级下册教案 全册
苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。
公式法1-平方差公式教学设计.3因式分解 -平方差公式》教案
3.3 公式法 用平方差公式--因式分解 江兆希 教学内容 课本第63～64页． 教学目标 1. 理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。 2. 使学生掌握用平方差公式分解因式； 3 理解多项式中如果有多重因式分解要分解彻底; 4.体会换元法、类比法、整体思想和转化思想。 重点、难点 重点：用平方差公式分解因式。 难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解和多重因式分解。 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 复习检查： 1）.还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式: 完全平方公式: 2）.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 3）.因式分解与整式乘法有什么关系？ 2 故事引入： 张老汉向地主租了一块 “十字型”土地，换成长方形土地的宽和长各为多少呢？ 二 合作交流，探究新知。1.公式探究：把平方差公式: 掉头 （22 a b -=（a+b ） (a-b )，运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法叫公式法。 这节课我们来学习用平方差公式来分解因式。板书 ()()22 b a b a b a -=-+()2222b ab a b a +±=±()()2 2b a b a b a -=-+
2 探究平方差公式的结构特点 1、左边有二项，是两个数的平方差的形式 2、右边是左边平方项的底数的和与差的积 语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 练习 议一议：下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？为什么？ 三 应用迁移，巩固提高 1 用平方差公式分解因式 [ 例1分解因式。 （1）解： （2） 归纳: 利用 平方差公式分解因式的步骤: 1. 改装 2.找a,b 3 .套公式 2 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。 练一练：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 例2 分解因式: 4 4)1(y x - 巩固练习：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 四、能力提升 智力竞赛游戏环节 五、反思小结 我们有什么收获? 注意： 1、分解因式的步骤是首先提公因式，然后考虑用公式 2、因式分解进行到每一个多项式的因式不能再分解为止。 3、计算中运用因式分解，可使计算简便 4、公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，运用了整体思想、转化思想。 22 22 254525252x y x y x y x y ()()()() -=-=+-()()[]()()[]y x y x y x y x --+-++=原式解 :()()xy y x y x y x y x y x 422=?=+-+-++=22x y x y （）（）+--
初二数学人教版因式分解_讲义
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
最新人教版八年级数学下册全册教案
义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师 二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ， 12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 2 )3(________ )(2=a 4
北师大版数学八下因式分解教案
第四章因式分解 4.1 分解因式 备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月 教学目标: 知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。 教学重难点： 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 教学过程： 创设情景，导出问题： 首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。 章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 探索交流，概括概念： 想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小明是这样做的：
（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？ （2）993-99还能被哪些正整数整除。 答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。 （2）还能被98，99，49，11等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。 议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。 做一做：计算下列各式： （1）（m+4）（m-4）= ; （2）（y-3）2= ； （3）3x（x-1）= ； （4）m（a+b+c）= . 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（）（） （2）m2-16=（）（）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 一、教学内容及授课目的 §教学内容：（1）整式的加减（2）整式的乘法（3）乘法公式与整式的除法 （4）因式分解 ◆教学目标：（1）掌握单项式与多项式的加减，并能够熟练对整式进行化简； （2）熟练运用整式的乘除法公式，掌握整式乘除法的运算步骤 （3）正确理解因式分解的意义，熟练十字相乘法的应用，能够将其应用在因式分解中。 ◆重难点：1.整式的乘除法与公式的应用 2．用十字相乘等方法将题目进行因式分解 二、授课提纲 整式的乘除： 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=?a a ；________32=??a a a 3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 7、单项式除法法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 8、单项式与多项式相乘的乘法法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加. 10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56；()()a ab a 4482-÷- 11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________；（3a －2b ）（2b+3a ） =___________； ()()11-+mn mn =；=--+-)3)(3(x x ；