高三数学毕业班摸底测试试题

四川省双流中学高2014级高三毕业班摸底测试

数学模拟试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90 分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.“0

30α=”是“1

cos 22

α=

”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件

2．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s ，则

（A ）5x = ，2s < （B ）5x =，2s > （C ）5x >，2s < （D ）5x >，2s > 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240

4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 （A ）3 （B ）4

（C ）5 （D ）6 5．用数学归纳法证明：n n <-++++

1

21...31211，（)1,*>∈n N n 时，第一步应验证的不等式是 （A ）2211<+

（B ）331

211<++ （C ）34131211<+++ （D ）23

1

211<++

6．在ABC ?中，已知2BD DC =，则AD =

（A）

13

22

AB AC

-+（B）

13

22

AB AC

+

（C）12

33 AB AC

+（D）

12

33

AB AC

-

7．若实数x,y满足

1

x y

x

x y

+≥

?

?

≥

?

?-≥

?

，则下列不等式恒成立的是

（A）1

y≥（B）2

x≥（C）220

x y

++≥（D）210

x y

-+≥

8．若2

1

2

1

S x dx

=?，2211

S dx

x

=?，321x

S e dx

=?，则123

,,

S S S的大小关系为（A）123

S S S

<<（B）

213

S S S

<<

（C）231

S S S

<<（D）

321

S S S

<<

9．已知a,b,l是不同的直线，α,β，γ是不重合的平面，有下列命题：

①若aβ

⊥,αβ

⊥，则//

aα；②若//

aα，a b

⊥，则bα

⊥；

③若//

a b，l a

⊥，则l b

⊥；④若αγ

⊥，βγ

⊥，，则//

αβ.

其中正确命题的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）4

10．已知

1

F、

2

F分别是双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的左右焦点，A为双曲线的右顶点，

线段

2

AF的垂直平分线交双曲线于P，且

12

3

PF PF

=，则该双曲线的离心率是（A）3（B）2（C）

117

-+

（D）

117

+ 11．已知抛物线23

y x

=-+上存在关于直线0

x y

+=对称的相异两点,A B，则AB等于（A）3（B）4（C）32（D）42

12. 如图，已知正方体

1111

ABCD A B C D

-的棱长是1，点E是对角线

1

AC上一动点，记(03)

AE x x

=<<，过点E平行于平面

1

A BD的

截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体积为()

V x则函

数()

y V x

=的图象大致为

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知命题P：x R

?∈，25

x=，则?P为．14．若函数()

f x的导函数为'()

f x，则函数32

()'(1)

=-?

f x x f x在x=处取得极

小值.

15．已知

22

1

4

x y

m

+=的离心率为

3

．则m=．

16．已知函数2

()()x

f x x a e =-，的两个极值点为12,x x ，且1212x x x x +≥，则实数a 的

取值范围是

三、解答题.共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分10分）

已知数列{}n a 的第一项11a =，且1()1n

n n

a a n N a *+=∈+． （Ⅰ）设1

n n

b a =

，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）数列{}n c 前n 项的和记为n T ，若1n n n c a a +=，求n T 的取值范围． 18．（本小题满分12分）

在ABC ?中，4sin sin 2cos()1A C A C --=.

（Ⅰ）求角

B 的大小；

（Ⅱ）若(1,AC =，求a c +的取值范围．

19．（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ?是正三角形，AC 与BD 的交点

M 恰好是AC 中点，又030CAD ∠=，4PA AB ==,点N 在线段PB 上，且

1

3

PN NB =. （Ⅰ）求证：//MN 平面PDC ；

（Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值．

20．（本小题满分12分）

某高校在一次自主招生中，对20名已选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中，随机抽取一名，抽到语言表达能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2

5

. （Ⅰ）求log n m 的值.

（Ⅱ）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率. 21．（本小题满分12分）

如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3，曲线2

2:C y x b =-被x 轴截

得的线段长等于1C 的长半轴长.

（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的方程；

（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点

O 的直线l 与2C 相交于点,A B ，直线,MA MB 分

别与1C 相交与,D E ． 证明：MD ME ⊥.

22．（本小题满分12分）

已知函数2()(21)ln f x ax a x x =-+-

，2

()2ln g x a x x

=-，其中a R ∈． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求)(x f 的单调区间；

（Ⅲ）若存在2

1

[,e ]e

x ∈，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．

参考答案

一、选择题：

二、填空题： 13.0

0,25x x R ?∈≠； 14．16或1 ； 15.6； 16．(]1,2-

三、解答题： 17．解：（1）

11

,1n n n n n

a a

b a a +=

=+，1

1n n b b +∴-=，11b

= {}n b ∴是等差数列．

（2）

1,n n n b b n a

=

=，1n a n

∴=； 111(1)1n c n n n n =

=-++，111n T n ∴=-+，1,12n T ??∈????

18

．解：(1)

4sin sin 2cos(

)2cos()1A C A C A C --=-+=

1cos()2A

C ∴+=-，1cos 2

B ∴=，又0B π<<，3B π∴=.

(2)

(1,AC =,b ∴=

2sin ,2sin a A c C ==；

22(sin sin )2sin 2sin(

))36

a c A C A A A ππ

∴+=+=+-=+， 250,3666A A ππππ

<<∴<+<， a c ∴+∈

19．解：(1)证明：在正三角形ABC 中，BM =，

在ACD ?中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥， 所以AD CD =，

因为0

30CAD ∠=

，所以DM =

所以:3:1BM MD =， 所以

1

3

PN DM NB MB ==，所以//MN PD ， 又MN ?平面PDC ，PD ?平面PDC ， 所以//MN 平面PDC .

（2）建立如图直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(4,0,0)B

，(2,C ， 设二面角P BC A --的平面角为θ，平面PBC 的法向量1(,,)n x y z =

，

(4,0,4),(2,4)PB PC =-=-，

440240

x z x z -=??

?

+-=??令3x =

，则y =3z =；1(3,3,3)n =， 平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =， 1212

21

cos n n n n θ?=

=

?. 20．解：（1）由题意得：

62

205n +=，1420m n ++=， 4,2m n ==，log 2n m =;

（2）设至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率为P ；

从语言表达能力良好的9名学生中任意抽取2名共有36个结果， 在这9人中逻辑思维能力都不优秀的有6人， 从这6人中任取2名学生共有15个结果；

15713612

P ∴=-

=. 21．解 ：（Ⅰ）由题意知3c e a =

=，则2a b =，又2a b =， 解得2,1a b ==,

故曲线1C 的方程为2

214x y +=

故曲线2C 的方程为2

1

y x =-

（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为

y kx =，11(,)A x y ，22(,)B x y .

由2

1

y kx y x =??

=-?得2

10x kx --=，则1212,1x x k x x +==- 又点M 的坐标为(0,1)-， 所以MA MB k k =

1212

11

y y x x ++

=2121212

()1

k x x k x x x x +++

=

221

11

k k -++=-- 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.

22．解：（1）当2a =时，2

()25ln f x x x x

=--

， 252

()2f x x x

'=-

+/, (1)1f '=-/，又(1)0f =，

∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=；

（2）2212()a f x a x x +'=-+/=

2

(2)(1)

x ax x --． 当1

2a =

时，()0f x '≥/恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当12

a >时，当1

(0,)x a ∈,(2,)+∞时，()0f x '≥/，函数()f x 为增函数；

当1

(,2)x a ∈时，()0f x '≤/，函数()f x 为减函数；

当102a <<时，当(0,2)x ∈,1

(,)a +∞时，()0,f x '≥/函数f （x ）为增函数；

当1

(2,)x a

∈时，()0f x '≤/,函数()f x 为减函数；

（3）()()f x g x ≥等价于22

(21)ln 2ln ax a x a x x x

-+-≥--，

即ln 0ax x -≥， 分离参数a 得ln x a x

≥

，令ln ()x

h x x =，

若存在2

1,a e e ??

∈???

?

，使不等式()()f x g x ≥成立，

即min ()a h x ≥．2

1ln ()x

h x x -'=

当1

(,)x e e

∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；当2

(,)x e e ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数． 而1()h e e

=-,2

2

2()h e e =

． ∴h（x ）()h x 在2

1,e e ??????

上的最小值为e -，

∴a e ≥-．