2020届河北省邢台市高三第一次摸底考试数学(理)试题

2020届河北省邢台市高三第一次摸底考试

高三数学试卷(理科)

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若21i z i

-=+，则z z += A.－1 B.1 C.－3 D.3

2.设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若A

B φ=，则a 的取值范围为 A.(1，2) B.(,1)(2,)-∞+∞ C.[1，2] D.(,1][2,)-∞+∞

3.若曲线sin(4)(02)y x ??π=+<<关于点(

,0)12π对称，则?=

A.23π或53π

B. 3π或43π

C. 56π或116π

D. 6

π或76π 4.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是 A.2x －2y >x 2 B.x y 12

22log (1+x)->

C. 2y －2x >x 2

D. y x

1222log (1+x)->2x －2y >x 2

5.如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =

A.AC AD -

B.22AC AD -

C.AD AC -

D.22AD AC -

6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC

中，

BC AC =些信息，可得sin234°＝

B.=

C.-

D.7.若函数2

22,1()log (1),1x x f x x x ?+≤=?->?在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为 A.[0，17] B.(－ ∞，17 ] C. [1，17] D. [1，＋∞)

8.如图，图C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点A (2，15)，则圆C 的半径为

A. B.8 C. D.10

9.为了配平化学方程式22232aFeS bO cFe O dSO ++点燃

＝＝，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入

A.32,,23c d a c b c c +==

=+ B.32,,13

c d a c b c c +===+ C.322,,22c d a c b c c +===+ D.322,,12c d a c b c c +===+ 10.2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡。6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍然留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元(不含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元。若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为

A. 20.5元

B.21元

C.21.5元

D.22元

11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AA 1、BC 、C 1D 1的中点，现有下面三个

结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线A 1G 与C 1F 所成角为60°；③AC ∥平面EFG 。其中所有正确结论的编号是

A.①

B.②③

C.①②

D.①③

12.函数31()(3)2

x f x x x e x =---在区间[－3，2)∪(2，3]上的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活。网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为 ▲

14.设a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边。已知asinA ＝2bcosAcosC ＋2ccosAcosB ，则tanA ＝ ▲

15.已知直线y ＝a 与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 在左、

右顶点分别为A 1、A 2，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为 ▲ 16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥AC ，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且CD ＋PD ＝3，若四棱锥P －ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为 ▲ ；当四棱锥P －ABCD 的体积取得最大值时，二面角A －PC －D 的正切值为 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在公差为d 的等差数列{a n }中，a 1d ＝6，a ∈N ，d ∈N ，且a 1>d 。

(1)求{a n }的通项公式；

(2)若a 1、a 4、a 13成等比数列，求数列11n n a a +???

???的前n 项和S n 。

18.(12分)

如图，在三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为菱形，D 为AB 的中点，△ABC 为等腰三角形，∠ACB ＝2π，∠ABB 1＝3

π，且AB ＝B 1C 。

(1)证明：CD ⊥平面ABB 1A ；

(2)求CD 与平面A 1BC 所成角的正弦值。

19.(12分)

某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)。

(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90)内的概率；

(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：

50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90。从这12个数据中随机选取4个，记X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差。

参考数据：若Y ～N(2

,μσ)，则()0.6827P Y μσμσ-<<+=， (22)0.9545,(33)0.9973P Y P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+=

20.(12分)

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a>b>0)的长轴长为，焦距为2，抛物线M ：y 2＝2px(p>0)的准线经过C 的左焦点F 。

(1)求C 与M 的方程；

(2)直线l 经过C 的上顶点且l 与M 交于P 、Q 两点，直线FP 、PQ 与M 分别交于点D(异于点P)，E(异于点Q)，证明：直线DE 的斜率为定值。

21.(12分) 已知函数2211()(2ln 1)(ln 2)42

f x x x ax x x =----。 (1)讨论了()f x 的单调性；

(2)试问是否存在(,]a e ∈-∞，使得1()3sin 44a f x π>+

对[1,)x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=??=+?

(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 232ρθ=，

(0)2π

θ<<。

(1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)已知β为锐角，直线l ：θ＝β()R ρ∈与曲线C 的交点为A(异于极点)，l 与曲线M 的交点

为B ，若OA OB ?=，求l 的直角坐标方程。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知a 、b 、c 为正数，且满足a ＋b ＋c ＝3。

(1)3≤；

(2)证明：9412ab bc ac abc ++≥。