河北省唐山市高三数学摸底考试试题文

河北省唐山市高三数学摸底考试试题文

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2

{0,1,2,3},{20}A B x x x ==-< ，则A∩B＝ A.{0，1，2} B.{0，1} C. {3} D.{1}

2.已知p ，q ∈ R ，1＋i 是关于x 的方程x 2

＋px ＋q ＝0的一个根，则p·q＝ A.－4 B.0 C.2 D.4

3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，S 15＝150，则公差d ＝ A.6 B.5 C.4 D.3

4.已知a ＝ln3，b ＝log310，c ＝lg3， 则a ，b ，c 的大小关系为 A.c

5.函数21

()x f x x

-=的图像大致为

6.双曲线C ：x 2

－y 2

＝2的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点。若

PO PF

=，则S△OPF＝

A.1

4

B.

1

2

C.1

D.2

7.已知

2

sin()

2410

απ

=

－，则sinα＝

A.

12

25

- B.

12

25

C.

24

25

- D.

24

25

8.右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M。在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则

A.P(A)>P(M)

B.P(A)

C.P(A)＝P(M)

D.P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关

9.右图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图，若先后输入x＝1900，x＝2400，则输出的结果分别是(注：xMODy表示x除以y的余数)

A.1900是闰年，2400是闰年

B.1900是闰年，2400是平年

C.1900是平年，2400是闰年

D.1900是平年，2400是平年 10.将函数f(x)＝sin2x 的图像上所有点向左平移4

π

个单位长度，得到g(x)的图像，则下列说法正确的是

A.g(x)的最小正周期为2π

B.(,0)4

π

是g(x)的一个对称中心

C.x ＝

34π是g(x)的一条对称轴 D.g(x)在(0,)2

π

上单调递增 11.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，3S n ＝a n ＋2，则数列{S n } A.有最大项也有最小项 B.有最大项无最小项 C.无最大项有最小项 D.无最大项也无最小项

12.在三棱锥P －ABC 中，∠BAC＝∠PBA＝∠PCA＝90°，PB ＝PC

P 到底面ABC 的距离为l ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为

C.4π

D.34

π

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知a ＝5，b ＝(2，1)，且a∥b，则向量a 的坐标是 。

14.若x ， y 满足约束条件20

210220x y x y x y -+≥??

-+≤??-+≤?，则z ＝3x －y 的最大值为 。

15.

己知直线0x -+=过椭圆22

221x y a b

+=(a>b>0)的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，

交y 轴于点C ，若2FA FC =，则该椭圆的离心率是 。

16.已知函数f(x)＝(e x

－ax)(lnx －ax)，若f(x)<0恒成立，则a 的取值范围是 。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分)

某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A 、B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：

(1)通过茎叶图比较A ， B 两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；

(2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流：

根据所得分数，估计A ，B 两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由。 18.(12分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知△ABC 的面积：2

1tan 6

S b A =。 (1)证明：b ＝3ccosA ；

(2)若22,5a c ==，求tanA 。 19.(12分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E 是PC 的中点。

(1)求证：PA∥平面BED ；

(2)若直线BD 与平面PBC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积。 20.(12分)

已知F 为抛物线C ：x 2

＝12y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋4与C 相交于A ，B 两点。 (1)O 为坐标原点，求OA OB ?；

(2)M 为C 上一点，F 为△A BM 的重心(三边中线的交点)，求k 。 21.(12分)

己知函数f(x)＝axsinx ＋bcosx ， 且曲线y ＝f(x)与直线2

y π=

相切于点(

,)22

ππ

。

(1)求f(x)；

(2)若f(x)≤mx 2

＋1，求实数m 的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cosθ。以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点M(－1，－33)且倾斜角为α。 (1)求圆C 直角坐标方程和直线l 的参数方程；

(2)己知直线l 与圆C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α。 23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 设函数()211f x x x =-++。 (1)画出y ＝f(x)的图象；

(2)若()f x m x n ≤+，求m ＋n 的最小值。

唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案

一．选择题：

A 卷：DACBD CDCC

B AA B 卷：DACBD ADCCB

AC

二．填空题：

（13）(25，5)或(－25，－5) （14）0 （15）

3

3

（16）( 1

e

，e )

三．解答题：

17．解：

（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …6分 （2）A 选手直接晋级的概率更大． 用C A 表示事件“A 选手直接晋级”，C B 表示事件“B 选手直接晋级”．由茎叶图得

P (C A )的估计值为(5＋3)÷20＝820＝

2 5

， P (C B )的估计值为(5＋2)÷20＝720

，

所以，A 选手直接晋级的概率更大．

…12分

18．解：

（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 6b 2

tan A 得3c sin A ＝b tan A ．

因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin A

cos A

，

又因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ．

…4分 （2）由（1）得b ＝3c cos A ＝35cos A ，所以2bc cos A ＝30cos 2

A ．

…6分

由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos A ，

所以8＝45cos 2A ＋5－30cos 2

A ，

解得cos 2

A ＝ 1 5，

…10分

因此sin 2A ＝ 4 5

，即tan 2

A ＝4．

由（1）得cos A ＞0，所以tan A ＞0， 故tan A ＝2．

…12分

19．解：

（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，

∴PA ∥EO ，又PA 平面BED ，EO 平面BED ， ∴PA ∥平面BED ． …4分 （2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ，

又由题意可知CD ⊥BC ，且PD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面PCD ，则BC ⊥DE ．

由PE ＝EC ，PD ＝DC ，则PC ⊥DE ，且PC ∩BC ＝C ，

∴DE ⊥平面PBC ，所以∠DBE 即为直线BD 与平面PBC 所成的角．

…8分 设AD ＝x ，在Rt△DBE 中，DE ＝2，BD ＝4＋x 2

，则

sin ∠DBE ＝DE BD ＝ 1

2

，解得x ＝2．

…10分

∴四棱锥P ?ABCD 的体积V ＝ 1 3×PD ×S 矩形ABCD ＝ 8

3

．

…12分

20．解：

（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将l 的方程代入C 得：x 2

－12kx －48＝0，

所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，即y 1y 2＝(x 1x 2)

2

12

2

＝16， 从而OA →?OB →＝x 1x 2

＋y 1y 2

＝－32．

…6分

（2）依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，

因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9， 从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ， y 3＝9－(y 1＋y 2)

＝9－x 21＋x 2

2

12

＝9－(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2

12

＝1－12k 2

． …10分

因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，

所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2

＝124．

故k ＝612或－612

．

…12分

21．解：

（1）由f ( π 2)＝a π2＝ π

2

得a ＝1．

…2

分

f '(x )＝x cos x ＋(1－b )sin x ，

由f '( π 2

)＝1－b ＝0得b ＝1．

所以f (x )＝x sin x ＋cos x ．

…4分

（2）令g (x )＝mx 2＋1－f (x )＝mx 2

－x sin x －cos x ＋1，

由g (x )≥0得g (2π)＝4π2

m ≥0，所以m ≥0．

显然g (x )为偶函数，所以只需x ≥0时，g (x )≥0． …6分

g '(x )＝2mx －x cos x ＝x (2m －cos x )，

A C

E

D

P O

当m ≥

1

2

时，g '(x )≥0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )≥g (0)＝0，

从而m ≥ 1 2

时，f (x )≤mx 2

＋1成立． …8分

当0≤m ＜ 1

2时，因为y ＝2m －cos x 在(0， π 2

)上单调递增，

又x ＝0时，y ＝2m －1＜0；x ＝ π

2

时，y ＝2m ≥0，

所以存在x 0∈(0， π

2

]，使得2m －cos x 0＝0，

因此x ∈(0，x 0)时，2m －cos x ＜0，g '(x )＜0，即g (x )在(0，x 0)上单调递减， 所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜g (0)＝0，与g (x )≥0矛盾，

因此0≤m ＜ 1

2

时不成立．

综上，满足题设的m 的取值范围是m ≥ 1

2． …12分

22．解：

（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2

＝4ρcos θ，

因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2

，

所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2

＝4．

直线l ：???x ＝－1＋t cos α，

y ＝－33＋t sin α

（t 为参数，0≤α＜π）．

…5

分

（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，

将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2

－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，

因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π

6

)，

…8分

所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2

(α＋ π 6)＝1．

因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π

6

，

从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π

3

．

(10)

分 23．解：

（1）f (x )＝?????－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2，

3x ，x ＞ 1

2

． …3分

y ＝f (x )的图象如图所示：

…5分

n，解得n≥2．

m|x|＋n≥3|x|．（※）

若m≥3，（※）式明显成立；若m＜3，则当|x|＞n

3－m

时，（※）式不成立．

…8分

另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．

故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．

因此m＋n的最小值为5．…10分