高中数学立体几何证明题汇总

高中数学立体几何证明题汇总

立体几何常考证明题

1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。

1）证明EFGH是平行四边形。

2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。

1）证明AB垂直于平面CDE。

2）证明平面CDE垂直于平面ABC。

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。

证明A1C平行于平面BDE。

4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。

证明AD垂直于面SBC。

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。

1）证明C1O平行于面AB1D1.

2）证明AC1垂直于面AB1D1.

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。

1）证明AC垂直于平面B1D1D。

2）证明BD1垂直于平面ACB1.

7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。

1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。

2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面

EB1D1平行于平面FBD。

8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。

证明BD垂直于平面ACD。

9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。

1）证明XXX垂直于AB。

2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。

10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。

证明平面D1EF平行于平面BDG。

11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。

1）证明A1C平行于平面BDE。

2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。

12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。

1）证明：连接DE，假设DE不垂直于平面PAE，即DE 与平面PAE有交点F，则EF为平面PAE内的线段，且EF>0.连接AF和PF，由于PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AF，即PA与AF重合或平行。若PA与AF平行，则PAF为

平面ABCD内的平行四边形，而PA=AF=4，AB=2，矛盾。

因此，PA与AF重合，即AF为平面PAE内的线段，且AF>0.又因为E为BC的中点，所以DE平分BC，即BE=EC。连接PF，因为PA垂直于平面ABCD，所以PF垂直于平面ABCD，即PF为平面ABCD内的线段。又因为AF平行于平面BCD，

所以PF垂直于AF，即PF为平面PAE内的线段。因此，PF

为平面PAE和平面ABCD的公共垂线，且PF=2.由于PA=4，

所以AP>PF，即APF为平面PAE内的三角形。又因为PAE

为平面ABCD的一部分，所以APF为平面ABCD内的三角形。根据勾股定理可得，AF=√12，PF=2，AP=2√3，由此可得，

AP²+PF²=AF²，即APF为直角三角形，且∠AFP=90°。又因为PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于平面AFP，即DE垂

直于平面PAE。因此，DE垂直于平面PAE。

2）解答：连接DP，由于DE垂直于平面PAE，所以DP

垂直于DE，即DP为平面PAE内的线段。又因为PA垂直于

平面ABCD，所以DP垂直于平面ABCD，即DP为平面

ABCD内的线段。因此，DP为平面PAE和平面ABCD的公

共垂线。根据勾股定理可得，AD=4，AP=2√3，PD=√19，由

此可得，AP²+PD²=AD²，即APD为直角三角形，且

∠ADP=90°。又因为PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于

平面ADP，即直线DP与平面PAE所成的角为90°。

13、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是

∠DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且

平面PAD垂直于底面ABCD。

1）证明：连接GP，因为G为AD的中点，所以GP垂直

于AD，即GP为平面PAD内的线段。又因为PAD为等边三

角形，所以GP为PAD的高，即GP垂直于平面PAD。因此，GP垂直于平面PAD和平面ABCD的交线为BG，即BG垂直

于平面PAD。

2）证明：连接AO，因为PAD为等边三角形，所以AO

为PAD的高，即AO垂直于平面PAD。又因为底面ABCD为

菱形，所以AC垂直于BD，即AC为平面ABCD内的线段。

因此，AO和AC在平面ABCD内交于点O。连接BO，因为

底面ABCD为菱形，所以BO垂直于平面ABCD，即BO为平面ABCD内的线段。又因为AC垂直于BD，所以BO垂直于BD，即BO为平面BDC内的线段。因此，BO为平面PAD和

平面BDC的公共垂线。又因为BG垂直于平面PAD，所以BG与AO所成的角为90°。因此，AD垂直于PB，即AD垂直于平面PBD。

3）解答：二面角A-BC-P的大小为arccos(1/3)。

14、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O。

证明：连接BM和A1O，因为M为CC1的中点，所以BM垂直于CC1，即BM为平面A1B1C1内的线段。又因为AC交BD于点O，所以AO垂直于BD，即AO为平面

BC1D1内的线段。因此，A1O和BM在平面BC1D1内交于点P。连接PP1，因为P和P1都在平面BC1D1内，所以PP1垂直于平面BC1D1.又因为BM垂直于平面A1B1C1，所以PP1垂直于BM，即PP1为平面A1B1C1和平面BC1D1的公共垂线。又因为A1O垂直于平面BC1D1，所以A1O与PP1所成的角为90°。因此，A1O垂直于平面MBD，即A1O垂直于平面MBD。

15、如图，在三棱锥A-BCD中，BC=AC，AD=BD，作

BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥XXXH。

证明：连接CH和AD，因为BC=AC，所以BCD为等腰

三角形，即CD垂直平分BC，即BE为CD的中线，所以

BE=ED。又因为BE⊥CD，所以BE为平面BCD内的高，即BE垂直于平面BCD。因此，BE垂直于平面BCD和平面ABCD的交线为CH，即CH垂直于平面BCD。又因为

AH⊥BE，所以AH垂直于BE，即AH为平面BCD内的线段。因此，AH垂直于平面BCD和平面ABCD的交线为CH，即

CH垂直于平面ABCD。

16、证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C垂直于

平面BC1D1.

证明方法一：连接A1D1和BC，因为A1D1垂直于平面BC1D1，所以A1D1垂直于BC，即A1D1为平面BCD内的线段。又因为AC垂直于BD，所以A1C垂直于BC，即A1C为

平面BCD内的线段。因此，A1D1和A1C在平面BCD内交于点P。连接BP，因为A1C垂直于平面BC1D1，所以BP垂直

于A1C，即BP为平面A1BC内的线段。又因为A1D1垂直于

平面BC1D1，所以BP垂直于A1D1，即BP为平面A1BD内

的线段。因此，BP为平面A1BC和平面A1BD的公共垂线。

又因为A1D1和A1C在平面BCD内交于点P，所以BP垂直

于平面BCD。因此，A1C垂直于平面BC1D1.

证明方法二：连接A1D1和BC1，因为A1D1垂直于平面BC1D1，所以A1D1垂直于BC1，即A1D1为平面B1CD1内

的线段。又因为A1C垂直于平面BC1D1，所以A1C垂直于

BC1，即A1C为平面B1CD1内的线段。因此，A1D1和A1C

在平面B1CD1内交于点P1.连接BP1，因为A1C垂直于平面BC1D1，所以BP1垂直于A1C，即BP1为平面A1B1C内的

线段。又因为A1D1垂直于平面BC1D1，所以BP1垂直于

A1D1，即BP1为平面A1B1D内的线段。因此，BP1为平面

A1B1C和平面A1B1D的公共垂线。又因为A1D1和A1C在

平面BC1D1内交于点P1，所以BP1垂直于平面BC1D1.因此，A1C垂直于平面BC1D1.

17、过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，证明：平面ABC垂直于

平面BSC。

证明：连接SB和SC，因为∠BSC=90°，所以SB和SC

互相垂直，即SB为平面SCA内的垂线，SC为平面SAB内的垂线。因此，SB和SC在平面SAB和平面SCA的交线为SA，即SA垂直于SB和SC。又因为∠ASB=∠ASC=60°，所以

∠BSA=∠CSA=60°，即SA为平面ABC内的高。因此，平面ABC垂直于平面BSC。