高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1

//,2

EH BD EH BD = 同理，1

//,2

FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭

同理，

AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

A

H

G

F

E

D

C

B A

E

D

B

C

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外

∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥

又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥

BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又1111A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 111

A C

B D ⊥即 同理可证

11A C AD ⊥， 又

1111

D B AD D ⋂=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B

A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

N M

P

C B

A

6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，

且EF AC =

， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG

12

//AC = 12//FG BD =

，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，

∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,P

A P

B =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥ （2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1

22

PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且

1

12

MQ BC ==

，∴MN =

考点：三垂线定理

A

1

10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG

∵1D G

EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E

⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ⋂=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO

又1

AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，

1AC AA A

⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E

为BC 的中点．

（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222

AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角

在Rt PAD ∆，PD =，在Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴0

30DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A BC P --的大小． 证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD

（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥

且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，

PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥

（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥ ∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角

在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴0

45PBG ∠=

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，

1A A AC A

⋂=，

∴DB ⊥平面11A ACC ，而1

AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，223

4

MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194

A M a =

．∵222

11A O MO A M +=，∴1

A O O M ⊥

．

∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=， ∴ AH ⊥平面BCD ． 考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

A

C

证明：连结AC

B D A

C ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影

∴⊥⊥⎫

⎬⎭

⇒⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，

∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22

a ，

AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21

a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥

平面BSC ．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）