平行线应用问题一例

平行线应用问题一例

下面这个问题是在生活中遇到的一个实际问题。

例1 如果在A、B之间有两条彼此不平行的河流，假定每条河的河岸线基本互相平行，要分别在这两条河上建两座与河岸垂直的桥，希望使A村到B村的路程最近，试问桥架在哪里？假定它们的位置如图1所示。

分析：对于这样复杂的一个实际问题，一时无法找到解题思路，我们可以采用简化、退化的方法来探索思路。首先我们把上面这个问题简比成下面这个较易解决的问题。

例2 在一条河的两侧有两个村落A及B，河的两岸基本上互相平行，现在要在河上架一座和岸边垂直的桥，那么桥架在哪里，才能使从A村到B村的路程最近？两村及河的位置如图2所示。

分析：河的两岸基本上互相平行，可看作河的宽度是一定的。如何确定建桥的位置呢？我们再退化处理例2这个问题。

把河看作是没有宽度的直线l1，那么我们只要连接A、B，则AB与河l1的交点就是要找的点，为此有下面的解法。

解：如图3，从A处向河岸l2引一条垂线，在这条垂线上取一点C，使AC的长等于河的宽度，连结CB，则CB与l1的交点E就是要找的点，由E点做ED垂直于岸边l2，交l2于点D，DE就是桥所在的位置。

下面我们来证明折线ADEB最短。

证明：设在岸边l2上任取一点G，然后把桥建在GN处，连结AG、GN、NB、AD。

∴AC GN，AC DE，四边形ADEC和叫边形AGNC都是平行四边形。

折线ADEB＝AC＋CB，

折线AGNB＝AC＋CN＋NB，

CN＋NB＞CB。

这就是说把桥架在DE处，就能使A到B的路程最近。

从例2得到启发，例1这个较为复杂的问题。其解题思路变得很清晰了。

解(例1) 如图4所示，l1与l2，l3与l4分别表示两条河的两岸。

由A点做AC⊥l2，并使AC的长等于河l1l2的宽度，连结CB，交l2于点F，作EF垂直于l1，交l1于E，则FE就是第一座桥所在的位置。

由点F做GF⊥l3，使FG的长等于河l1l4的宽度。连接GB，交l4于点M，作MN⊥l4交l3于N，则MN就是第二座桥所在的位置。

其证明过程可以仿照例1的证明写出。

例1、例2作为一个系统的问题，是采用简化、退化的方法处理的一个范例。