Leslie矩阵模型
Leslie 矩阵模型
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。
假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：
年龄属于i t ?的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为
),,2,1(n i x i Λ=，称T n x x x x ),,,(21Λ=为女性人口年龄分布向量，考虑x 随
k t 的变化情况，每隔
n
s
年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。设初始时间为0t ，n
ks
t t k +=0时间的年龄分布向量为
T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)(Λ=，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口
演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。
设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n
s
年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在
n
s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤
i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。
k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1(Λ=-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：
k t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)
(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经
n
s
年存活下来的人数，可以由下式表示：
用矩阵将上两式表示为：
记：
???
??
???????????=--00
000
0001
2112
1n n n b b b a a a a L ΛO O M M M O ΛΛ，??
????
?
?
????????=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()
(x L x
k k =
称L 为Leslie
矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口
增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。
利用Leslie 模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L 的特征值和特征向量有关。
矩阵L 有唯一的单重正特征值1λ，对应的特征向量为：
若1λ是矩阵L 的正特征值，则L 的任一个（实的或者复的）特征值
λ都满足：
若矩阵L 的第一行有两个顺序元素0,1>+i i a a ，则L 的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L 矩阵必有严格优势特征值。
若矩阵L 有严格优势特征值1λ，对应特征向量为1x ，则： 这表明时间k t 充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)
(k i
x 占总数∑=n
i k i x 1
)(的百分比几乎等于特征向量1x 中相应分量占分量
总和的百分比。
同时k t 充分大后，人口增长率
)
()
()1(k i
k i k i x
x x -+趋于11-λ，或说11>λ时，
人口递增；11<λ时，人口递减；11>λ时，人口总数稳定不变。
例1 加拿大人口数量预测问题
为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）
表1 加拿大人口统计数据
分析：
由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵L 如下所示，求解特征方程，
?????
???
???
????
?????????????????=098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000
000099621.0000000000099694.00000
00000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00
L 可以得到L 矩阵的特征值：0763.1=λ和特征向量：
通过上述过程大家可以发现，一旦L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab 求解程序如下：
clear all
L=zeros(10,10);
L(1,:)=[0,,,,,,,,,];
L(2,1)=;L(3,2)=;L(4,3)=;L(5,4)=;L(6,5)=;
L(7,6)=;L(8,7)=;L(9,8)=;L(10,9)=;
[v,d]=eig(L);
a1=d(1,1);
a2=v(:,1);
a3=v(:,1)./sum(v(:,1));
pie(a3)
legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')
结果：
图1 加拿大人口结构示意图
由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k
x占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占
i
分量总和的百分比。
如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。
Leslie人口模型及例题详解
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 )](,),(),([)(21t n t n t n t n m = 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n = ∑=m i i i t n b 1 )( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 )()1(t Ln t n =+ 其中，L =?????? ? ? ??--00000000 0121121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 t 1 +t
leslie人口增长模型
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
leslie人口增长模型模型
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
Leslie矩阵模型
Leslie 矩阵模型 本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。 假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间： 年龄属于i t ?的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为 ),,2,1(n i x i Λ=，称T n x x x x ),,,(21Λ=为女性人口年龄分布向量，考虑x 随 k t 的变化情况，每隔 n s 年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。设初始时间为0t ，n ks t t k +=0时间的年龄分布向量为 T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)(Λ=，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。 设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n s 年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在 n s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤第2讲 Leslie矩阵模型
3.4 Leslie 矩阵模型 本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。 假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间： n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =??? ???-=? 年龄属于i t ?的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为 ),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随 k t 的变化情况，每隔n s 年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即 将时间离散化）。设初始时间为0t ，n ks t t k +=0时间的年龄分布向量为 T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。 设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n s 年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在 n s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤Leslie矩阵
1提出：Leslie 在上世纪40年代为描述女性人口变化规律提出的矩阵。 矩阵P= ????????? ???????????--0000000000000110 1210n n n P P P F F F F F ，其中 1,...,,0,0;,...,1,0,0-=>=≥n i i P n j F i j 称矩阵P 为Leslie 矩阵。 注1：特点：Leslie 矩阵的特点是：非零元只出现在第一行和次对角线上。 2. 基本概念和性质 基本概念：设矩阵的特征值为n λλλ,...,,10，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：n λλλ≥≥≥...10，则称0λ为矩阵的主特征值，如果10λλ>，则称0λ为严格主特征值。 Leslie 矩阵P 的几个基本性质： （1）特征多项式为： )...(...)()()(110221011001n n N n n n F P P P F P P F p F p ---+-----=λλλλλ 它有唯一一个正的单特征值0λ（重数为1），且为主特征值。 (2) 如果λ为L 矩阵P 的一个非零特征值，则 T n n P P P P P P )...,...,,,1(1102100λ λλαλ-= 为与λ对应的一个特征向量。 (3) 若L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根0λ为严格主特征值。 (4)若m k k k ,...,,21是L 矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且m k k k ,...,,21互素，则0λ为严格主特征值。 3. Leslie 矩阵基本算法 将生物种群所有成员按年龄大小等间隔地划分为n 个年龄组，比如每10岁或每5岁或1岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以 每10岁或每五岁为一个时段。 种群是通过雌性个体的繁殖而增长的， 所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量仅指其中的雌性。 设时段k 第i 个年龄组的成员数量为 ()i x k ,0,1,2,,i=1,2,,n k = ，第 i 年龄组的繁殖率为 i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在一个时段内平均繁殖的数量，
考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)
考虑年龄结构的人口模型（Leslie 模型） 对Logistic 模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic 模型中反映出来。基于这一事实，Leslie 在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。 由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成m +1个组，即0,1,…,m 组，例如，可5岁（或10岁）一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年（或10年）为一个时段。记j 时段年龄在i 组中的女性人数为N （i ,j ），b i 为i 组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，i p 为i 组女性存活一时段到下一时段升入i +1组的人数所占的比例（即死亡率d i =1-i p ）同时假设没有人能活到超过m 组的年龄。实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m 组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b i 、i p 不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b i 、i p 事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。 根据以上假设可以得出以下j +1时段各组人数与j 时段各组人数之间的转换关系： ?????? ?-=+=++++=+-) ,1()1,(),0()1,1(),(),0(),0()1,0(10 10j m N p j m N j N p j N j m N b j N b j N b j N m m ΛΛΛ 显然，0,≥i j p b 。 简记??????????=),(),0(j m N j N N j M ， ?? ?? ? ?????++=+)1,()1,0(1j m N j N N j M 并引入矩阵 ??????? ???? ?????=--00 00000001 1 011 0m m m p p p b b b b A Λ M M M M ΛΛΛ 则方程组（4.28）可简写成
Leslie矩阵模型
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。 假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间： n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( 年龄属于i t 的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为 ),,2,1(n i x i ，称T n x x x x ),,,(21 为女性人口年龄分布向量，考虑x 随 k t 的变化情况，每隔 n s 年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。设初始时间为0t ，n ks t t k 0时间的年龄分布向量为 T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( ，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。 设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n s 年中平均生育的女婴数，0 i a ），存活率i b （第i 组女性在 n s 年仍活着的人数与原来人数之比，10 i b ），死亡率i b 1，假设i a ， i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。 k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1 k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( ）所生育的女婴的总数，可以由下式表示： ) 1()1(22)1(11)(1 k n n k k k x a x a x a x
基于GM(1_1)模型、Logistic模型、Leslie模型的单独二胎政策影响研究
基于 GM(1,1)模型、Logistic 模型、Leslie 模型的“单独二胎”政策影响研究 目录 摘要 1 1 问题背景和重述 2 2 问题分析 2 3 模型的假设与符号说明 3 3.1 模型的假设 3 3.2 符号说明 3 3.3 名词解释 3 4 问题一 4 4.1 模型分析 4 4.2 模型建立与求解 5 4.2.1 模型一：灰色 GM(1,1)预测模型 5 4.2.2 模型二：Logistic 模型的建立 6 4.2.3 模型三：Leslie 人口模型 8 5 问题二 14
5.1 模型分析 14 5.2 模型建立 14 5.3 模型求解 14 6 问题三 17 7 问题四 19 7.1 模型分析 19 7.2 模型建立 19 7.3 模型求解 19 8 问题五 21 9 模型的评价与改进 23 8.1 模型优点 23 8.2 模型缺点 23 10 参考文献 23 附录 24 附表： 24 代码： 26
基于 GM(1,1)模型、Logistic 模型、Leslie 模型的“单独二胎”政策影响研究 摘要 人口问题一直是我国面临的一大严峻考验。在人口问题中，人口数量、人口 结构则是人们关注的焦点。人口的数量和结构是影响社会经济发展的重要因素。从 20 世纪 70 年代后期我国实施计划生育政策以来，有效控制了人口的过快增长，对经济发展和人民生活改善做出了积极贡献。但其负面影响也开始显现，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口老龄化显现。因此，党的十八届三中全会提出开放单独二孩政策，许多省、市、自治区也相继出台了具体方案。 针对以上现实问题，本文以全国人口普查数据为基础，依次建立灰色 GM(1,1)模型、 Logistic 模型和 Leslie 模型，逐步深入地研究了原计划生育政策、单独二胎政策、全面二胎政策下未来我国人口总量与结构的特征。 针对问题一，采用灰色 GM(1,1)模型和 Logistic 模型就原计划生育政策下 人口数量进行预测，再采用 Leslie 模型进行人口数量和结构的预测。结果表明，GM(1,1)模型和 Logistic 模型在短期内预测较准确，长期预测时前者偏大，后者偏小。而 Leslie 模型不仅能够准确的预测短、长期的人口数量，还能预测人口结构，故之后的问题将采用其进 行预测评价。三个模型对 2020 年人口数量的预测分别为 14.32 亿、13.92 亿、14.68 亿，对 2050 年人口数量的预测分别为 17.180 亿、14.41 亿、15.09 亿。Leslie 模型表明，人口总量峰值为 15.17 亿，人口总量变化趋势为先大幅上升再小幅波动最后缓慢下降。 老龄化趋势为持续上升，到 2030 年老龄人口将超过少儿人口。性别比较稳定，其中男性占比 0.512，女性占比 0.488。
Leslie矩阵模型预测人口
L e s l i e矩阵模型预测 人口 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
Leslie 矩阵模型预测人口 Leslie 矩阵模型的基本概念 参数定义[11] 我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到： x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n 注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。 其他关于人口的参数： 1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率 2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率 Leslie 矩阵 1.转移过程 在一个时间周期内x k?1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子： 11(1)()(1()),1,2, k k k x i x i d i i n --+=-= (4-1) 下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间
周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1 ()2 k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预 测第一个递推关系如下： 111 1 ()() ()2 n k k k i x i b i x i --==∑ (4-2) 2. 人口发展模型 1 11111111 11 1 (0)(1)(1)()22 2 2 1(0) 00 001(1)00001(1) 0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------??- ? ?- ? =? ?- ? ? ?--?? (4-3) 其中 (0)(1)()k k k k x x x x n ?? ? ?= ? ??? 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----?? ? ?= ? ??? (4-4) 为了化简，我们记： 1 111111 1 11 1(0)(1)(1)()22 2 2 1(0) 00 001(1)00001(1) 0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------??- ? ?- ? = ?- ? ? ?--? ? (4-5) 则有简写： 1k k x L x -= (4-6) 则有递推公式: 10k k k x L x L x -== (4-7) 通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口 4.1 Leslie 矩阵模型的基本概念 4.1.1 参数定义[11] 我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到： x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n 注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。 其他关于人口的参数： 1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率 2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率 4.1.2 Leslie 矩阵 1.转移过程 在一个时间周期内x k?1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子： 11(1)()(1()),1,2, k k k x i x i d i i n --+=-= (4-1) 下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为 1 ()2 k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下： 1111 ()() ()2 n k k k i x i b i x i --==∑ (4-2) 2. 人口发展模型 1 11111111 11 1(0) (1)(1)()22 2 2 1(0) 00 001(1)00001(1) 0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------??- ? ?- ? =? ?- ? ? ?--? ? (4-3)
leslie模型人口预测程序
%WBS矩阵是按列存放了2005年城镇的女性比例，女性死亡率，农村女性比例，女性死亡率 WBS=[0.43,8.09,0.54,18.55;0.42,0.67,0.51,1.96;0.38,0.21,0.51,1.31;0.42,0.39,0.51,0.66;0.45,0.35 ,0.56,0.61;0.47,0.35,0.58,0.66;0.46,0.19,0.58,0.28;0.51,0.16,0.64,0.19;0.52,0.13,0.66,0.3;0.53,0.1, 0.68,0.35;0.59,0.16,0.78,0.28;0.57,0.17,0.74,0.39;0.61,0.15,0.85,0.36;0.63,0.22,0.89,0.25;0.68,0.2 7,0.98,0.33;0.79,0.12,1.1,0.44;0.8,0.24,0.95,0.52;0.8,0.28,0.78,0.63;0.87,0.4,0.74,0.59;0.73,0.24,0 .58,0.95;0.65,0.13,0.53,0.82;0.67,0.31,0.52,0.78;0.7,0.31,0.54,0.92;0.86,0.27,0.62,0.62;0.76,0.23, 0.56,0.8;0.74,0.32,0.57,1.12;0.81,0.36,0.57,0.65;0.8,0.2,0.57,0.91;0.77,0.21,0.54,0.88;0.85,0.36,0. 61,1.16;0.88,0.41,0.65,0.86;0.95,0.3,0.74,1.02;1,0.47,0.77,1.31;1.03,0.44,0.82,1.29;1.06,0.47,0.86 ,1.25;1.13,0.45,0.98,1.21;1.04,0.59,0.92,1.5;1.13,0.79,1.03,1.49;0.87,0.7,0.87,1.29;0.99,0.77,0.97, 1.57;1.02,0.72,0.97,1.42;1.01,0.9,0.91,1.74;1.21,0.85,1.04,1.38;0.87,1.08,0.82,1.98;0.5,1.28,0.45, 1.8;0.65,1.32,0.55,2.24;0.58,1.69,0.5,2.35;0.74,1.4,0.67,2.53;0.81,2.14,0.78,2.97;0.74,1.58,0.74,3. 14;0.78,2.3,0.8,3.5;0.78,2.21,0.77,3.19;0.69,2.64,0.74,3.67;0.7,2.88,0.74,3.87;0.59,3.65,0.63,4.55; 0.58,3.58,0.63,4.25;0.56,3.97,0.59,5.63;0.48,4.41,0.52,5.59;0.47,4.28,0.51,6.7;0.43,5.74,0.47,7.61 ;0.4,6.42,0.46,8.44;0.37,6.24,0.41,8.84;0.35,8,0.39,10.1;0.35,7.79,0.37,11.52;0.34,7.77,0.36,12.74 ;0.36,9.77,0.38,13.6;0.3,8.93,0.3,15.86;0.33,12.35,0.33,16.91;0.31,14.71,0.32,18.02;0.31,15.59,0. 32,22.65;0.31,16.52,0.33,24.85;0.27,17.63,0.29,24.93;0.27,20.88,0.3,31.72;0.23,24.65,0.26,35.49; 0.2,24.35,0.24,35.81;0.21,29.3,0.25,41.21;0.17,32.96,0.2,46.71;0.17,37.02,0.2,49.67;0.15,41.72,0. 18,56.38;0.12,47.67,0.15,66.39;0.12,56.08,0.16,67.87;0.1,58.44,0.13,74.28;0.09,62.81,0.11,85.12; 0.08,69.85,0.1,95.39;0.07,86.93,0.08,107.1;0.06,83.58,0.07,120.52;0.04,91.58,0.05,118.08;0.03,11 1.83,0.04,139.25;0.03,113.52,0.03,130.75;0.02,13 2.44,0.03,157.34;0.07,232.71,0.08,237.02]; %WR矩阵存放的是2005年城镇和农村女性总人口 WR=[3791447,4606484]; %WS矩阵按列存放城镇女性生育率，农村女性生育率 WS=[0.01 0.07 0.14 0.43 0.65 2.03 2.08 6.31 6.79 16.96 18.73 44.18 31.45 70.14 36.34 76.53 52.00 77.73 52.74 73.13 46.39 63.69 44.37 54.54 39.58 46.68 30.21 41.40 25.35 37.40 20.53 32.17 16.86 30.44 13.75 23.78 10.79 19.02 8.51 14.22
leslie模型的求解
用2010年数据预测未来5年，在matlab 中计算得到 由此可见，leslie 预测的误差相对比较小，准确度高。 附录 代码 g=[]; %输入标准化生育率预测值g k=[]; %输入出生人口性别比预测值 n=[]; %输入2010年年龄别女性人口数 m=[]; %输入2010年年龄别男性人口数 m0=m'; n0=n'; b=g*B; %计算年龄别生育率 d1=[]; %输入女性年龄别死亡率 d2=[]; %输入男性年龄别死亡率 s1=(1000-d1)./1000; s2=(1000-d2)./1000; 20112011.520122012.520132013.520142014.520159 年份 人数
M1=eye(90); %90维单位矩阵 for i=1:90 M1(i,:)=M1(i,:)*s1(1,i); end h=zeros(91,1); %生成零矩阵 N1=[b;M1]; L1=[N1,h]; i=1; X(:,i)=L1*n0; X(1,i)=X(1,i)*100/(100+k(i)); for i=2:51 X(:,i)=L1*X(:,i-1); X(1,i)=X(1,i)*100/(100+k(i)); end %计算未来50年女性预测人口数，记为X M2=eye(90) %90维单位矩阵 for i=1:90 M2(i,:)=M2(i,:)*s2(1,i); end h0=zeros(1,90); %生成零矩阵 N2=[h0;M2]; L1=[N2,h]; i=1; Y(:,i)=L2*m0; X(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; for i=2:6 Y(:,i)=L2*Y(:,i-1); Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; end %计算未来50年男性预测人口数，记为Y Z=X+Y; %总人数 T=sum(Z); g1=2011:2061; plot(g1,T,'r')
Leslie人口模型及例题详解
L e s l i e人口模型及例题 详解 Last revision on 21 December 2020
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n =∑=m i i i t n b 1)( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 其中，L =????? ?? ? ??--000000000121121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) s i > 0，i =1，2，…，m -1; (ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。 易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的： t 1 +t