束缚态和散射态
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()(x x V γδ-=束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态
束缚态：在势阱中E 散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在 在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论 2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有 )()(x x V γδ-=，)0(>γ 见右图。 在0≠x 处，0)(=x V 。 0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。 0 定态Schrodinger 方程为， 0)]([2d d 2 22=++ψγδψx E m x 积分?-→+ε ε εx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件， )0(2)0(')0('2ψγ ψψ m - =--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψ m =-- + 在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为 0)(''2=-ψβψx 其中02>-= mE β，)0( 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+， 利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。 考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态 ???<>=-0 )(x ce x ce x x x ββψ 或写成| |)(x ce x βψ-= c 为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按'ψ的跃变条件， c m c c ?-=--2/2 γββ 2/ γβm =∴ 因此可得出粒子能量的本征值 22 22022 γβm m E E -=-== 由归一化条件? ∞ ∞ -==1/||d ||22βψc x ， 可得出L m c /1/2=== γβ， γm L /2 =是势的特征长度。 这样归一化的束缚定态波函数可写为 L x e L x /||1)(-= ψ 这是δ势阱中的唯一束缚态。属于能量 22 02 γm E -=。 在L x ≥||中找到粒子的几率为 1353.0d |)(|222==-∞ ?e x x L ψ (b)奇宇称态 波函数可表为 ???<->=-0 )(x Ae x Ae x x x ββψ 由0=x 点波函数连续性条件可得0=A ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。 从物理上考虑，奇宇称态在波函数0=x 点必为0。而δ势阱又恰在点0=x 起作用。 所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。 2、δ势与方势的关系，'ψ跃变的条件 δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。 从δ势求解更为方便。'ψ不连续，但粒子流密度x j 连续。 以下仅讨论'ψ的跃变条件。 考虑粒子对方势垒的散射。 ?? ?><=ε ε||0 ||)(0 x x V x V 在其部，Schrodinger 方程为 0)(2d d 2 022 =--ψψ E V m x 考虑粒子能量0V E <情况，在势垒部（ε<||x ），波函数可表为 x x Be Ae x κκψ-+=)( 其中 /)(20E V m -= κ。 显然B A +=)0(ψ，而且)('x x Be Ae κκκψ--=。 现在让∞→0V ，0→ε，而对δ势垒，??- -== ε εε ε γγδx x x x V d )(d )(（？） 若保持γε=02V （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒)(x γδ。 利用)()('κεκε κεψ--=Be Ae ，)()('κεκεκεψBe Ae -=--得， )()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=---- 当+ →0ε，∞→0V （保持γε=02V ）时， 0/20→→ mV εκε 但 2202//2 γεεκm mV →→ 且当0→ε时，κεκε ±→±1e 代入)()()(')('κεκεκεκε κκεψεψe e B e e A ---=----， 由)()()(')('κεκεκεκε κκεψεψe e B e e A ---=----得 [][] )0(2) (2lim )2()2(lim )(')('lim 2 20 0ψγ εκκεκκεκεψεψεεε m B A B A = +=+=--+++ →→→ 即)0(2)0(')0('2ψγ ψψ m = -- + 此恰为前述'ψ的跃变条件。 2、束缚能级与透射振幅极点的关系 束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。 散射问题中我们取0>E ，而在势阱束缚态的0 对0>E 的透射振幅，1 21-?? ? ??+=k im S γ 如把0>E 的透射振幅解析延拓到0 先讨论δ函数势阱， )()(x x V γδ-=，)0(>γ 此时透射振幅由 1 21-??? ??+=k im S γ→1 21-?? ? ??-=k im S γ 其中 /2mE k = ，)0(>E 。 （注意已将势垒透射振幅表达式中的γγ-→） 如解析延拓到E <0能阈（k 为虚），由1 21-??? ??-=k im S γ，则S 有单极点（一阶极点 2 γ im k = ）。 此时，22 2222 γm m k E -== 由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。 对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关容。 作业：p82 13 §3.5 一维谐振子 经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等 量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等， 把场中的粒子看作谐振子 一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的例。 一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为： 2222 1 21)(x m kx x V ω== m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数 m k = ω是谐振子的角频率 二、薛定谔方程及解 0)]([22 22=-+ψψx V E m x d d 或0] 2 1[22 2222=-+ψωψx m E m x d d 理想的谐振子是一个无限深势阱。因为∞→||x 时，∞→)(x V ，0)(→x ψ为束缚态。 为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数， x αξ=， /ωαm =，ωλ /2E = 上述方程可化为 0)()()(d d 222 =-+ξψξλξψξ 这是个变系数常微分方程。 （1）先讨论±∞→ξ行为，求渐进解（此时λ可略去） 对方程0)()(d d 2 22=-ξψξξψξ 其解显然可以写为22 1~)(ξξψ±e ，因为 )()('ξξψξψ±=，)()()(''2ξψξψξξψ±=)(2ξψξ≈ 根据束缚态边界条件，有22 1~)(ξξψ-e ， （2）际解 利用)()(2 /2 ξξψξ u e -=，有， 2 /2/2/222d d )(d d )(d d ξξξξξξξ ξξξψ---????? ?+-=+-=e u u u e u e 2/222 2 22d d )(d d 2)(d d ξξξξξξξξψ-????? ?++--=e u u u u 代入方程（4）得所满足的方程， 0)()1(d d 2d d 22=-+-ξλξ ξξu u u 这就是所谓的Hermite 方程。 0=ξ为方程的常点。可在0=ξ邻域用幂级数展开。 计算表明，一般情况下解为无穷级数。 当∞→||ξ时，2 ~)(ξξψe ，不能满足有界条件。 为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。 可以证明，当12+=n λ时可以得出一多项式解 )()(ξξn n H u = 此时??? ???? -==+=+==-2 2d d )1()()()21()21(ξξξξξνωe e H u h n n E E n n n n n n ， n = 0, 1, 2, … 第二项称为n 界厄米多项式，宇称为n (-1)（？） 满足下列递推关系， ??? ? ? =+-=-+-0 )(2)(2)()(2d )(d 111ξξξξξξξn n n n n nH H H nH H )(ξn H 是ξ的n 次多项式。 ??? ????-=== 24)(2)(1 )(2 21 0ξξξξξH H H 归一化波函数为)()(222 1 x H Ae x n x n αψα-=， 是一个实函数 其中2 /1!2?? ? ??=παn A n 。 在求归一化系数A 时，要用到厄米多项式的正交关系， mn n m n n H H e δπξξξξ!2d )()(2 =? ∞ ∞ -- 所以归一化波函数为 2 222)(d d )1(!2)(n 2/2 /1x n x n n n e x e n x αααπαψ--?? ? ??= 最常用的几个态， 0=n ，基态，ω 210=E ，2 221 2 /10)(x e x απαψ-??? ??=（偶宇称） 1=n ，第一激发态，ω 231=E ，222 1 2 /11)(x xe x ααπαψ-??? ??-=（奇宇称） 2=n ，第二激发态，ω 252=E ，2221 2 22 /12)12(2)(x e x x ααπαψ--?? ? ??=（偶宇称） 线性谐振子波函数 线性谐振子位置概率密度 线性谐振子 n =11 时的概率密度分布 虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。 讨论： ①微观一维谐振子能量量子化 一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→ →∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的自由，完全可以选那些没有一定宇称的态作为本征态，但在多数情况下，这只会徒增麻烦。但 定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可 Majorana束缚态的量子输运性质的理论研究自意大利粒子物理学家Ettore Majorana发现Majorana费米子以来,这种新型的奇特粒子一直备受物理学家们的亲睐。这种粒子与正常的费米子不同,它总是成对出现,其反粒子是其自身,且由于它服从非阿贝尔分数量子统计,可以有望借助它实现拓扑量子计算。 至今为止,很多理论及实验已经证实了Majorana费米子的存在。如具有强自旋-轨道耦合的半导体加强磁场作用,邻近s波超导体时,在量子线的末端出现一对Majorana束缚态。 本文采用非平衡态格林函数方法和散射矩阵理论,较为系统的分析了各种机制对Majorana束缚态形成的影响以及当Majorana束缚态与量子点耦合时,系统的量子输运性质。我们利用Oreg模型以及量子点环结构,针对不同理论模型及系统参数下输运性质的相关物理量进行分析对比,最终得出一些有意义的结果。 本文主要展开以下方面的理论研究:首先,将存在Majorana束缚态的纳米线串联到外电路中,研究了超导对势,自旋-轨道相互作用以及磁场空间的不均匀性对电导的影响,考察了上述几种外场在Majorana束缚态形成过程中所扮演的不同角色。经分析发现,磁场空间的不均匀性对Majorana束缚态的影响占主导地位,而超导背景的不均匀性对Majorana束缚态的破坏性作用相对较小。 接下来,研究了存在侧向耦合Majorana零模式的量子点系统的输运性质。计算结果表明,当两个电极与量子点间的耦合方式相同时,零偏压极限下,局域Andreev反射和电极间普通的输运具有相同的值,使得零偏压电导值等于e2/2h,恰巧是共振隧穿电导值的一半。 具体来讲当Majorana束缚态与单量子点耦合时,零偏压电导值与量子点的 ) ()(x x V γδ-=束缚态和散射态 量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态 束缚态：在势阱中E 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+， 利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。 考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态 ???<>=-0 )(x ce x ce x x x ββψ 或写成| |)(x ce x βψ-= c 为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按'ψ的跃变条件， c m c c ?-=--2/2 γββ 2/ γβm =∴ 因此可得出粒子能量的本征值 22 22022 γβm m E E -=-== 由归一化条件? ∞ ∞ -==1/||d ||22βψc x ， 可得出L m c /1/2=== γβ， γm L /2 =是势的特征长度。 这样归一化的束缚定态波函数可写为 L x e L x /||1)(-= ψ 这是δ势阱中的唯一束缚态。属于能量 22 02 γm E -=。 在L x ≥||中找到粒子的几率为 一个束缚态原子的光学腔中的光子阻塞 K.M.Birnbaum1,A.Boca1,https://www.360docs.net/doc/404866527.html,ler1,A.D.Boozer1,T.E.Northup1&H.J.Kimble1 在低温时，足够小的金属半导体装置表现出“库伦阻塞”效应，在这装置中的电荷转移是以电子和电子的相互作用位基础的。例如，当半导体上的电荷能量远远高于热运动能量时，在金属半导体内的一个电子能够阻塞其他电子的流动。类似的“光子阻塞”效应已经被用于在光学系统中的光传输；这涉及了在非线性光学腔中的光子与光子的相互作用[4-13]。这里我们记述了在原子腔强耦合情况下含有一个束缚态原子的光学腔中光线传输的光子阻塞的观察。第一个光子在原子腔系统中的受激阻塞了第二个光子的传输，因而将一个光子泊松流转变为一个非聚束的子泊松流。这由传输场的光子统计测量来确定。我们对光子阻塞的观察表现出了一种相对于传统非线性光学和激光物理学的优势，形成一种包括逐个的原子和光子的动力学过程的体系。 微电子装置中的电子传输和强耦合光学系统中的光子传输两者的类比在文献[5]中首次提及。作者们提到类似于电子库伦阻塞的效应对光子与光子在非线性光学腔内的相互作用而引起光子的这种效应也是可能的。在这个方案中，由电磁导入透明（EIT）引起的强色散相互作用使得腔中的第一个光子的出现阻塞了第二个光子的传输，进而引起一种传输场中产生有序的光子流。 最初的问题[6]解决之后，后续的工作确定了这样的光子阻塞对于一种多能态EIT结构的腔内只存在单个原子的结构中[7-9]是确实可行的。光子阻塞在其他的设定中也具有可能性，包括与库伦阻塞[10]类似的效应以及局部等离子体表面的隧道贯穿效应[11]。光子阻塞同样也被预测可以出现在与腔场模型耦合的二能级原子体系中[4/9/12/13]。如图1a所展示的，潜在的物理机理与jaynes-cummings本征态能级不吻合。频率为 ω的光子的共振吸收产生了|1， - －>（其中|n,(+)->表示第n激发态的上能级（+）和下能级（-））态阻塞了第二个频率为 ω的 - 光子的共振吸收，由于第二个光子与|2，±>态是共振失谐的。 与电子直接通过库仑斥力相互作用不同，光子与光子间的相互作用必须通过介质的中间作用。此外，这个效应的验证需要场中的量子统计测量；相较而言，库伦阻塞可以由平均传输效果直接推论出。在自由空间下的单个原子间的色散，例如，这是一个光子阻塞[16]的简单实例，尽管（荧）光场的分布大大于4π并且光场强度被腔场的自发衰变率所限制。相反，可调的腔场体系使得空间上平行的光子出射模式具有可能性，该模式的出射率由腔场的衰变 ) ()(x x V γδ-= 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 束缚态和散射态 量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态 束缚态：在势阱中E )0(2)0(')0('2ψγ ψψ m - =--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψ m =-- + 在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为 0)(''2=-ψβψx 其中02>-= mE β，)0( 一维定态波函数宇称的 讨论 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→→∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的 一维定态波函数宇称的讨论 一、一维定态波函数 波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（t z y x ,,,ψψ=，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。 二、简并能级与非简并能级 能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数s 、自旋磁量子数ms(s 是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n 有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n 下有n2种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En 是n2度简并的，表示同一个能级En 下电子最多可以有n2种运动状态。对于线性谐振子来说，n 与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。 三、对一维定态波函数宇称的理解 1.对宇称的理解 引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用∧P 标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(→ →∧-=x x P ψψ。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的自由，完全可一维定态波函数宇称的讨论
定态薛定谔方程讲义
Majorana束缚态的量子输运性质的理论研究
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存在一个束缚态原子的光学腔中的光子阻塞(翻译)
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一维定态波函数宇称的讨论
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