福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题

福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量()1,2,1a =--，(),1,b x y =-．若//a b ，则（ ） A ．1x y += B ．1x y -= C ．0x y +=

D ．1x y -=-

2．已知数列{}n a 的通项公式为()2*

29n a n n n N =-+∈．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，

则n S 取得最大值时n 的值为（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

3．函数2ln ||

2

x y x =

+的图像大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

4．已知直线:1l y x =+，椭圆2

2:13

x C y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线

段AB 的中点的坐标为（ ） A ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭

B ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭

C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭

5．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．1423b b b b +≤+

B ．4132b b b b ≤--

C ．3124a a a a ≥

D ．3124a a a a ≤

6．已知()f x '是偶函数()()R f x x ∈的导函数，()11f =．若0x ≥时，

()()30f x xf x '+>，则使得不等式()()3

202220221x f x -->成立的x 的取值范围是

（ ） A ．()2021,+∞ B ．(),2021-∞ C ．()2023,+∞

D ．(),2023-∞

7．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线

22

122

x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近

线分别为x 轴和y 轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”()

0,0n

y mx m n x

=+>>

也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y mx =和y 轴）．设m =，

n =“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）

A ．

B ．4

C ．

D ．8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．c a b <<

二、多选题 9．已知数列{}n a 的通项公式为32n n

n k

a +=，若数列{}n a 为递减数列，则实数k 的值可能为（ ） A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

10．函数1

()cos (0)2

f x x x x =

+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等差数列 B ．4176

a π

=

C ．20211sin 2

S =

D ．()37tan a a +=

11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且A ，B 在其准线上的射影分别为1A ，1B ，则下列结论正确的是

（ ）

A ．若直线l x ⊥轴，则2A

B = B ．1212

x x ⋅=

C ．124y y ⋅=-

D ．112

A F

B π

∠=

12．若函数()()()e x

f x x a a R =-∈，则（ ）

A ．函数()y f x =在()0,∞+单调递增，则1a <

B ．函数()()g x xf x =有三个单调区

间

C ．方程()0f x x +=有且仅有一个根

D ．函数()()y f f x =有且仅有一个零点

三、填空题 13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个

球……．设各层球数构成一个数列{}n a ，其中11a =，23a =，36a =，则5a =______．

14．已知点1F 为双曲线2

2:14

x C y -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 相交于

P ，Q 两点．若13PF =，则1QF =______．

15．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.

16．若函数()()21

3ln 32x ke x f x x x k R x x

=--+-∈恰有两个极值点，则k 的取值范围是

______．

四、解答题 17．已知数列{}n a ，12n n T a a a =⋅⋅⋅，且22T =，38T =. (1)若{}n T 为等比数列，求n a ； (2)若{}n a 为等比数列，求n T .

18．如图所示，四边形ABCD 为矩形，2EA EB BC ===，EA EB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 为CE 中点.

(1)证明：BF AC ⊥；

(2)求DF 与平面BDE 所成角的正弦值.

19．已知函数()()2

1e x f x x ax =--.

(1)当0a =时，是否存在k ，使得直线y kx =与函数()f x 的图象相切，如果存在求k 的值，否则说明理由； (2)讨论()f x 的单调性

.

20．椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭

，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，且2AF FB =，求AB ． 21．已知函数()1

ln f x x a x x

=-

-，其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；

(2)证明：(

)2

2132

ln 21n

i n n i i n n =--⎛⎫>

⎪+⎝⎭

∑.

22．已知函数()cos 2x f x e x =+-，()f x '为()f x 的导数. （1）当0x ≥时，求()'f x 的最小值； （2）当2

x π

≥-时，2cos 20x xe x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围.